Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai – Toán 11 Bài 33 – Gia Sư SV

Đạo hàm cấp hai mô tả tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp một. Trong chuyển động, từ tọa độ lấy đạo hàm ra vận tốc, rồi lấy tiếp đạo hàm ra gia tốc.

Mục tiêu: Tính đạo hàm hai lần; sử dụng đúng đơn vị; giải bài chuyển động và phân biệt vận tốc với tốc độ.

Kiến thức nền: hàm số, giới hạn, mũ–lôgarit và lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Định nghĩa

Nếu f có đạo hàm $f^{'}$ trên một khoảng và $f^{'}$ lại có đạo hàm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp hai: $f^{''} = (f^{'})^{'}$ . Không bình phương đạo hàm cấp một để có đạo hàm cấp hai. Mỗi lần lấy đạo hàm đều phải dùng đúng quy tắc hàm hợp.

Ghi nhớ: chuyển động

Với tọa độ s(t), $v (t) = s^{'} (t)$ và $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ . Nếu s tính bằng m, t tính bằng s thì v có đơn vị m/s và a có đơn vị m/s². Tốc độ là $| v (t) |$ ; vận tốc có thể âm vì biểu thị hướng chuyển động.

Đọc kết quả có ý nghĩa

Gia tốc bằng 0 tại một thời điểm không bắt buộc vận tốc bằng 0. Gia tốc dương nghĩa là vận tốc đang tăng, nhưng nếu vận tốc âm thì tốc độ có thể giảm. Khi hàm tọa độ chỉ mô tả trong một khoảng thời gian, chỉ nhận các thời điểm thuộc khoảng đó; không nhận nghiệm âm nếu t được tính từ lúc bắt đầu.

Đạo hàm của x² tại 1 bằng 2. Tiếp tuyến có hệ số góc 2 và đi qua M(1;1), nên có phương trình y = 2x − 1.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Lấy đạo hàm hai lần

Tính đạo hàm cấp hai $y = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ .

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$ .
$y^{''} = 12 x^{2} - 4$ .

Ví dụ 2. Hàm lượng giác hợp

Tính đạo hàm cấp hai $y = \sin (3 x)$ .

$y^{'} = 3 \cos (3 x)$ .
$y^{''} = 3 [- 3 \sin (3 x)] = - 9 \sin (3 x)$ .

Ví dụ 3. Gia tốc và vận tốc khác nhau

Vật có $s (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 2 t$ m, $t \geq 0$ . Tính vận tốc, gia tốc tại t=1 s.

$v (t) = 3 t^{2} - 6 t + 2$ , $a (t) = 6 t - 6$ .
$v (1) = - 1$ m/s và $a (1) = 0$ m/s².
Gia tốc bằng 0 nhưng vật vẫn có tốc độ 1 m/s, đang chuyển động theo chiều âm.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

f″ không phải (f′)².
Gia tốc dương không luôn đồng nghĩa nhanh dần.
Không quên hệ số bên trong ở lần đạo hàm thứ hai.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Cho $s (t) = t^{3} + 2 t$ . Tính gia tốc tại t=1.

Xem lời giải

$v = 3 t^{2} + 2$ , $a = 6 t$ , tại t=1 được 6.

Bài tự luyện 2

Cho $s (t) = t^{3} + 2 t$ . Tính gia tốc tại t=2.

Xem lời giải

$v = 3 t^{2} + 2$ , $a = 6 t$ , tại t=2 được 12.

Bài tự luyện 3

Cho $s (t) = t^{3} + 2 t$ . Tính gia tốc tại t=3.

Xem lời giải

$v = 3 t^{2} + 2$ , $a = 6 t$ , tại t=3 được 18.

Bài tự luyện 4

Cho $s (t) = t^{3} + 2 t$ . Tính gia tốc tại t=4.

Xem lời giải

$v = 3 t^{2} + 2$ , $a = 6 t$ , tại t=4 được 24.

Bài tự luyện 5

Tính đạo hàm cấp hai của $y = e^{2 x} + x^{3}$ .

Xem lời giải

Lần một: $y^{'} = 2 e^{2 x} + 3 x^{2}$ . Lần hai: $y^{''} = 4 e^{2 x} + 6 x$ . Hệ số 2 từ hàm hợp xuất hiện ở cả hai lần.

Bài tự luyện 6

Vật có $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ , t≥0. Tìm thời điểm gia tốc bằng 0 và vận tốc lúc đó.

Xem lời giải

$v = 3 t^{2} - 12 t + 9$ , $a = 6 t - 12$ . Giải a=0 được t=2 s. Khi đó v(2)=12−24+9=−3 m/s. Vật không đứng yên; tốc độ bằng 3 m/s.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.