Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Bài 9Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Lý thuyết, đề bài, bảng số liệu và thứ tự được trình bày theo ảnh tài liệu Chương 3. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung.

A. Lý thuyết

Trong toàn bộ bài này, ta xét mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng

Nhóm	$[a_{1}; a_{2})$	$\dots$	$[a_{i}; a_{i + 1})$	$\dots$	$[a_{k}; a_{k + 1})$
Tần số	$m_{1}$	$\dots$	$m_{i}$	$\dots$	$m_{k}$

với cỡ mẫu $n = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k}$ .

1. Số trung bình

Định nghĩa: Số trung bình:

\overset{―}{x} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + \dots + m_{k} x_{k}}{n}

với $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ .

2. Trung vị

Định nghĩa:

Bước 1. Nhóm chứa trung vị là nhóm thứ p: $[a_{p}; a_{p + 1})$ đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới $\frac{n}{2}$ .

Bước 2.

M_{e} = a_{p} + \frac{\frac{n}{2} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} (a_{p + 1} - a_{p})

(quy ước nếu p = 1 thì $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ ).

3. Tứ phân vị

Định nghĩa:

$Q_{1}$ : nhóm thứ p chứa $Q_{1}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới $\frac{n}{4}$ .

Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} (a_{p + 1} - a_{p})

$Q_{3}$ : tương tự, thay $\frac{n}{4}$ bởi $\frac{3 n}{4}$ .

Q_{2} = M_{e}

4. Mốt

Định nghĩa:

Bước 1. Nhóm chứa mốt là nhóm thứ j: $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất.

Bước 2.

M_{o} = a_{j} + \frac{m_{j} - m_{j - 1}}{(m_{j} - m_{j - 1}) + (m_{j} - m_{j + 1})} h

(h là độ dài nhóm; quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ ). Chỉ áp dụng khi các nhóm có độ dài bằng nhau.

Chú ý: Mốt của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ của mốt trong mẫu số liệu gốc. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

B. Ví dụ

Ví dụ 1.

Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một nhóm học sinh được cho trong bảng sau:

Thời gian (phút)	[9,5;12,5)	[12,5;15,5)	[15,5;18,5)	[18,5;21,5)	[21,5;24,5)
Số học sinh	3	12	15	24	2

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ và tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ .

Xem hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$ . Tần số tích lũy lần lượt là 3; 15; 30; 54; 56.

Vì $15 < 28 \leq 30$ , nhóm chứa trung vị là [15,5;18,5). Do đó $M_{e} = 15, 5 + \frac{28 - 15}{15} \cdot 3 = 18, 1$ phút.
Vị trí $\frac{n}{4} = 14$ thuộc nhóm [12,5;15,5); vị trí $\frac{3 n}{4} = 42$ thuộc nhóm [18,5;21,5). Vì vậy $Q_{1} = 12, 5 + \frac{14 - 3}{12} \cdot 3 = 15, 25$ phút và $Q_{3} = 18, 5 + \frac{42 - 30}{24} \cdot 3 = 20$ phút.

Ví dụ 2.

Lượng điện tiêu thụ (kWh) trong tháng của 44 hộ gia đình trong một khu chung cư được ghép nhóm như sau:

Lượng điện (kWh)	[100;150)	[150;200)	[200;250)	[250;300)	[300;350)
Số hộ	6	12	14	8	4

Tính lượng điện tiêu thụ trung bình mỗi hộ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính trung vị $M_{e}$ của mẫu số liệu.
Tính tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ và thứ ba $Q_{3}$ .
Tính mốt $M_{o}$ của mẫu số liệu.

Xem hướng dẫn giải

Các giá trị đại diện là 125; 175; 225; 275; 325. Tần số tích lũy: 6; 18; 32; 40; 44.

$\overset{―}{x} = \frac{6 \cdot 125 + 12 \cdot 175 + 14 \cdot 225 + 8 \cdot 275 + 4 \cdot 325}{44} = \frac{2375}{11} \approx 215, 91$ kWh.
$M_{e} = 200 + \frac{22 - 18}{14} \cdot 50 = \frac{1500}{7} \approx 214, 29$ kWh.
$Q_{1} = 150 + \frac{11 - 6}{12} \cdot 50 = \frac{1025}{6} \approx 170, 83$ kWh; $Q_{3} = 250 + \frac{33 - 32}{8} \cdot 50 = 256, 25$ kWh.
Nhóm chứa mốt là [200;250), nên $M_{o} = 200 + \frac{14 - 12}{(14 - 12) + (14 - 8)} \cdot 50 = 212, 5$ kWh.

Ví dụ 3.

Số lần vắng học trong học kì I của 30 học sinh lớp 11E được cho trong bảng sau:

Số lần vắng	0–1	2–4	5–8
Số học sinh	12	11	7

Hiệu chỉnh mẫu số liệu rồi tính số lần vắng học trung bình của lớp.
Tính trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem hướng dẫn giải

Hiệu chỉnh thành [−0,5;1,5), [1,5;4,5), [4,5;8,5). Giá trị đại diện lần lượt là 0,5; 3; 6,5. Số lần vắng học trung bình là $\overset{―}{x} = \frac{12 \cdot 0, 5 + 11 \cdot 3 + 7 \cdot 6, 5}{30} = \frac{169}{60} \approx 2, 82$ lần.
Vị trí $\frac{30}{2} = 15$ thuộc nhóm thứ hai, vì $12 < 15 \leq 23$ . Do đó $M_{e} = 1, 5 + \frac{15 - 12}{11} \cdot 3 = \frac{51}{22} \approx 2, 32$ lần.

Ví dụ 4.

Người ta khảo sát chiều dài (cm) của 40 con cá trong một ao nuôi:

Chiều dài (cm)	[15;20)	[20;25)	[25;30)	[30;35)	[35;40)
Số con	5	10	14	7	4

Tính chiều dài trung bình của các con cá (làm tròn đến hàng phần trăm).
Tính mốt và nêu ý nghĩa thực tiễn.

Xem hướng dẫn giải

Các giá trị đại diện là 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5. Do đó $\overset{―}{x} = \frac{5 \cdot 17, 5 + 10 \cdot 22, 5 + 14 \cdot 27, 5 + 7 \cdot 32, 5 + 4 \cdot 37, 5}{40} = 26, 875 \approx 26, 88$ cm.
Nhóm chứa mốt là [25;30). $M_{o} = 25 + \frac{14 - 10}{(14 - 10) + (14 - 7)} \cdot 5 = \frac{295}{11} \approx 26, 82$ cm. Theo mẫu ghép nhóm, chiều dài phổ biến nhất được ước lượng khoảng 26,82 cm.

Ví dụ 5.

Thời gian chờ (phút) của khách hàng tại hai chi nhánh A và B của một ngân hàng được ghi lại trong bảng sau (mỗi chi nhánh khảo sát 40 khách hàng):

Thời gian chờ	[0;5)	[5;10)	[10;15)	[15;20)
Chi nhánh A	8	16	12	4
Chi nhánh B	4	12	16	8

Tính thời gian chờ trung bình ở mỗi chi nhánh và cho biết chi nhánh nào phục vụ nhanh hơn.

Xem hướng dẫn giải

Giá trị đại diện của bốn nhóm lần lượt là 2,5; 7,5; 12,5; 17,5 phút.

${\overset{―}{x}}_{A} = \frac{8 \cdot 2, 5 + 16 \cdot 7, 5 + 12 \cdot 12, 5 + 4 \cdot 17, 5}{40} = 9$ phút.

${\overset{―}{x}}_{B} = \frac{4 \cdot 2, 5 + 12 \cdot 7, 5 + 16 \cdot 12, 5 + 8 \cdot 17, 5}{40} = 11$ phút.

Theo mẫu khảo sát, chi nhánh A phục vụ nhanh hơn xét theo thời gian chờ trung bình, thấp hơn B 2 phút.

Ví dụ 6.

Số cuốn sách mượn trong tháng của 45 học sinh một trường THPT được ghép nhóm như sau:

Số cuốn sách	[0;4)	[4;8)	[8;12)	[12;16)
Số học sinh	10	18	12	5

Tính số cuốn sách trung bình mỗi học sinh đã mượn trong tháng.
Tính trung vị và mốt của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem hướng dẫn giải

Giá trị đại diện là 2; 6; 10; 14. $\overset{―}{x} = \frac{10 \cdot 2 + 18 \cdot 6 + 12 \cdot 10 + 5 \cdot 14}{45} = \frac{106}{15} \approx 7, 07$ cuốn.
Tần số tích lũy là 10; 28; 40; 45, nên trung vị thuộc nhóm [4;8). $M_{e} = 4 + \frac{22, 5 - 10}{18} \cdot 4 = \frac{61}{9} \approx 6, 78$ cuốn. Nhóm này cũng chứa mốt: $M_{o} = 4 + \frac{18 - 10}{(18 - 10) + (18 - 12)} \cdot 4 = \frac{44}{7} \approx 6, 29$ cuốn.

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Giá trị đại diện của nhóm [45,5;50,5) là

45,5.
48.
50,5.
5.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Giá trị đại diện là $\frac{45, 5 + 50, 5}{2} = 48$ .

Câu 2.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm có các giá trị đại diện 12; 16; 20 với tần số lần lượt 5; 9; 6. Số trung bình của mẫu bằng

16.
16,2.
18.
15.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Số trung bình là $\overset{―}{x} = \frac{5 \cdot 12 + 9 \cdot 16 + 6 \cdot 20}{5 + 9 + 6} = \frac{324}{20} = 16, 2$ .

Câu 3.

Trong công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, đại lượng $m_{p}$ là

Cỡ mẫu.
Tần số của nhóm chứa trung vị.
Độ dài của nhóm chứa trung vị.
Giá trị đại diện của nhóm chứa trung vị.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Chỉ số p chỉ nhóm chứa trung vị; $m_{p}$ là tần số của nhóm đó.

Câu 4.

Mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n = 48$ . Để tìm nhóm chứa trung vị, ta tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Vị trí xác định nhóm chứa trung vị là $\frac{n}{2} = \frac{48}{2} = 24$ .

Câu 5.

Mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n = 40$ . Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Vị trí xác định nhóm chứa $Q_{3}$ là $\frac{3 n}{4} = \frac{3 \cdot 40}{4} = 30$ .

Câu 6.

Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ của mẫu số liệu ghép nhóm chính là

Số trung bình.
Trung vị.
Mốt.
Giá trị lớn nhất.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Theo định nghĩa, $Q_{2} = M_{e}$ .

Câu 7.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm

Có giá trị đại diện lớn nhất.
Có tần số lớn nhất.
Ở giữa bảng.
Có độ dài lớn nhất.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Với các nhóm có độ dài bằng nhau, nhóm chứa mốt được chọn là nhóm có tần số lớn nhất.

Câu 8.

Thời gian chờ khám của 36 bệnh nhân tại một phòng khám có tổng $\sum m_{i} x_{i} = 815$ . Thời gian chờ trung bình xấp xỉ

20,38 phút.
22,64 phút.
25 phút.
18 phút.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Số trung bình là $\overset{―}{x} = \frac{815}{36} \approx 22, 64$ phút.

Câu 9.

Ý nghĩa của tứ phân vị đối với mẫu số liệu ghép nhóm là

Chia mẫu thành hai phần bằng nhau.
Chia mẫu thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng 25% giá trị.
Cho biết giá trị xuất hiện nhiều nhất.
Cho biết giá trị lớn nhất của mẫu.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Ba tứ phân vị chia mẫu đã sắp thứ tự thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng một phần tư số quan sát.

Câu 10.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm chỉ được định nghĩa khi

Cỡ mẫu là số chẵn.
Các nhóm có độ dài bằng nhau.
Mẫu có đúng một nhóm tần số lớn nhất.
Số liệu là rời rạc.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Theo định nghĩa và công thức dùng trong bài học, các nhóm phải có độ dài bằng nhau. Mẫu không nhất thiết chỉ có một nhóm đạt tần số lớn nhất.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

Câu 11.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về lượng điện tiêu thụ (kWh) trong tháng của 44 hộ gia đình:

Lượng điện (kWh)	[100;150)	[150;200)	[200;250)	[250;300)	[300;350)
Số hộ	6	12	14	8	4

Lượng điện tiêu thụ trung bình mỗi hộ xấp xỉ 215,91 kWh.
Nhóm chứa trung vị là [200;250) và $M_{e} \approx 214, 29$ kWh.
Mốt của mẫu số liệu là $M_{o} = 212, 5$ kWh.
Số trung bình, trung vị và mốt của mẫu số liệu này bằng nhau.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Số trung bình là $\overset{―}{x} = \frac{9500}{44} \approx 215, 91$ kWh.
Vị trí 22 thuộc nhóm [200;250). $M_{e} = 200 + \frac{22 - 18}{14} \cdot 50 \approx 214, 29$ kWh.
$M_{o} = 200 + \frac{14 - 12}{(14 - 12) + (14 - 8)} \cdot 50 = 212, 5$ kWh.
Ba kết quả 215,91; 214,29; 212,5 khác nhau.

Câu 12.

Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một nhóm học sinh:

Thời gian (phút)	[9,5;12,5)	[12,5;15,5)	[15,5;18,5)	[18,5;21,5)	[21,5;24,5)
Số học sinh	3	12	15	24	2

Cỡ mẫu bằng 56 và tần số tích lũy của ba nhóm đầu là 30.
Trung vị của mẫu số liệu là $M_{e} = 18, 1$ phút.
Tứ phân vị thứ nhất là $Q_{1} = 15, 25$ phút.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [15,5;18,5).

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Cỡ mẫu là $3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$ ; tần số tích lũy ba nhóm đầu là $3 + 12 + 15 = 30$ .
$M_{e} = 15, 5 + \frac{28 - 15}{15} \cdot 3 = 18, 1$ phút.
$Q_{1} = 12, 5 + \frac{14 - 3}{12} \cdot 3 = 15, 25$ phút.
Nhóm chứa mốt là [18,5;21,5), có tần số lớn nhất 24; không phải [15,5;18,5).

Câu 13.

Bảng sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A:

Chiều cao (cm)	[145;150)	[150;155)	[155;160)	[160;165)	[165;170)
Số học sinh	7	14	10	10	9

Nhóm chứa mốt là [150;155).
Mốt của mẫu số liệu xấp xỉ 153,18 cm.
Nhóm chứa trung vị là [155;160).
Số học sinh cao từ 160 cm trở lên chiếm hơn một nửa lớp.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Nhóm [150;155) có tần số lớn nhất 14, nên chứa mốt.
$M_{o} = 150 + \frac{14 - 7}{(14 - 7) + (14 - 10)} \cdot 5 = \frac{1685}{11} \approx 153, 18$ cm.
Vị trí $\frac{50}{2} = 25$ nằm giữa các tần số tích lũy 21 và 31, nên nhóm chứa trung vị là [155;160).
Có $10 + 9 = 19$ học sinh cao từ 160 cm trở lên, chiếm $\frac{19}{50} \cdot 100 % = 38 %$ , chưa đến một nửa lớp.

Câu 14.

Số lần vắng học trong học kì I của 30 học sinh lớp 11E: 0–1 lần có 12 học sinh, 2–4 lần có 11 học sinh, 5–8 lần có 7 học sinh.

Sau hiệu chỉnh, giá trị đại diện của ba nhóm lần lượt là 0,5; 3; 6,5.
Số lần vắng học trung bình của lớp xấp xỉ 2,82 lần.
Trung vị của mẫu số liệu xấp xỉ $M_{e} \approx 2, 32$ .
Có thể áp dụng công thức tính mốt đã học cho mẫu số liệu này.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Các nhóm hiệu chỉnh là [−0,5;1,5), [1,5;4,5), [4,5;8,5); trung điểm lần lượt 0,5; 3; 6,5.
$\overset{―}{x} = \frac{12 \cdot 0, 5 + 11 \cdot 3 + 7 \cdot 6, 5}{30} = \frac{169}{60} \approx 2, 82$ lần.
$M_{e} = 1, 5 + \frac{15 - 12}{11} \cdot 3 = \frac{51}{22} \approx 2, 32$ .
Độ dài các nhóm là 2; 3; 4, không bằng nhau, nên không áp dụng công thức mốt đã học cho bảng này.

Câu 15.

Thời gian chờ (phút) của 40 khách hàng tại mỗi chi nhánh A, B của một ngân hàng:

Thời gian chờ	[0;5)	[5;10)	[10;15)	[15;20)
Chi nhánh A	8	16	12	4
Chi nhánh B	4	12	16	8

Giá trị đại diện của bốn nhóm lần lượt là 2,5; 7,5; 12,5; 17,5.
Thời gian chờ trung bình ở chi nhánh A là 9 phút.
Thời gian chờ trung bình ở chi nhánh B lớn hơn ở chi nhánh A đúng 2 phút.
Nhóm chứa mốt của hai chi nhánh là như nhau.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Các trung điểm đúng là 2,5; 7,5; 12,5; 17,5.
${\overset{―}{x}}_{A} = \frac{8 \cdot 2, 5 + 16 \cdot 7, 5 + 12 \cdot 12, 5 + 4 \cdot 17, 5}{40} = 9$ phút.
${\overset{―}{x}}_{B} = 11$ phút, hơn trung bình A đúng 2 phút.
Nhóm chứa mốt của A là [5;10), còn của B là [10;15), nên không giống nhau.

Câu 16.

Bạn An thống kê thời gian chơi thể thao trong một tuần (đơn vị: giờ) của các bạn lớp 11A như sau:

0; 5; 0; 5; 6; 2; 10; 8; 5; 1; 4; 3; 4; 14; 7; 4; 9; 8; 9; 14

5; 14; 5; 0; 14; 7; 5; 7; 12; 2; 14; 6; 2; 6; 8; 8; 7; 9; 7; 14

Lập bảng số liệu ghép nhóm có 5 nhóm với các nhóm [0;3); [3;6); [6;9); [9;12); [12;15) ta được bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm [0;3) [3;6) [6;9) [9;12) [12;15)
Tần số 7 10 12 4 7
Lập bảng số liệu ghép nhóm có 5 nhóm với các nhóm [0;3); [3;6); [6;9); [9;12); [12;15) bao gồm cả tần số tích lũy ta được bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm [0;3) [3;6) [6;9) [9;12) [12;15)
Tần số 7 10 12 4 7
Tần số tích lũy 7 10 12 4 7
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng 40.
Tần số của nhóm [6;9) là lớn nhất trong tất cả các nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Nhóm	[0;3)	[3;6)	[6;9)	[9;12)	[12;15)
Tần số	7	10	12	4	7

Nhóm	[0;3)	[3;6)	[6;9)	[9;12)	[12;15)
Tần số	7	10	12	4	7
Tần số tích lũy	7	10	12	4	7

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

Đếm trực tiếp 40 số liệu vào năm nhóm, được tần số 7; 10; 12; 4; 7, đúng như bảng.
Tần số tích lũy đúng là 7; 17; 29; 33; 40, không phải dãy tần số 7; 10; 12; 4; 7.
Cỡ mẫu là $7 + 10 + 12 + 4 + 7 = 40$ .
Nhóm [6;9) có tần số 12, lớn nhất trong năm nhóm.

Câu 17.

Một thư viện đã ghi lại số giờ các sinh viên mượn sách đọc tại thư viện trong một tháng và thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (giờ)	[1;5)	[5;9)	[9;13)	[13;17)	[17;21)	[21;25)
Số sinh viên	10	14	31	2	5	23

Thời gian mượn sách đọc tại thư viện trung bình của sinh viên trong mẫu số liệu ghép nhóm trên là 13,21 giờ. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 85.
Độ dài mỗi nhóm trong mẫu số liệu ghép nhóm trên là 3.
Thời gian sinh viên mượn sách đọc tại thư viện trong mẫu số liệu ghép nhóm trên phổ biến nhất là 9,48 giờ. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai

Cỡ mẫu là 85; các giá trị đại diện là 3; 7; 11; 15; 19; 23. $\overset{―}{x} = \frac{10 \cdot 3 + 14 \cdot 7 + 31 \cdot 11 + 2 \cdot 15 + 5 \cdot 19 + 23 \cdot 23}{85} = \frac{1123}{85} \approx 13, 21$ giờ.
$10 + 14 + 31 + 2 + 5 + 23 = 85$ .
Mỗi nhóm có độ dài 4 giờ, không phải 3 giờ.
Nhóm chứa mốt là [9;13). $M_{o} = 9 + \frac{31 - 14}{(31 - 14) + (31 - 2)} \cdot 4 = \frac{241}{23} \approx 10, 48$ giờ. Vì vậy nhận định 9,48 giờ là sai.

Câu 18.

Khảo sát thời gian chạy (tính bằng giây) ở cự ly 100 m của 39 học sinh nam, giáo viên thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Thời gian (giây)	[15;17)	[17;19)	[19;21)	[21;23)	[23;25)
Số học sinh	2	5	10	7	15	$n = 39$

Theo mẫu số liệu trên:

Thành tích từ 23 giây đến dưới 25 giây có 15 học sinh.
Có nhiều hơn 50% số học sinh đạt thành tích từ 17 giây đến dưới 21 giây.
Thời gian chạy trung bình (làm tròn đến hàng phần trăm) của nam học sinh xấp xỉ 21,44 giây.
Thời gian chạy phổ biến nhất (mốt, làm tròn đến hàng phần trăm) xấp xỉ 23,70 giây.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

Nhóm [23;25) có 15 học sinh.
Từ 17 đến dưới 21 giây có $5 + 10 = 15$ học sinh, chiếm $\frac{15}{39} \cdot 100 % \approx 38, 46 %$ , không nhiều hơn 50%.
$\overset{―}{x} = \frac{2 \cdot 16 + 5 \cdot 18 + 10 \cdot 20 + 7 \cdot 22 + 15 \cdot 24}{39} = \frac{836}{39} \approx 21, 44$ giây.
Nhóm cuối [23;25) chứa mốt; quy ước tần số nhóm tiếp theo bằng 0. $M_{o} = 23 + \frac{15 - 7}{(15 - 7) + (15 - 0)} \cdot 2 = \frac{545}{23} \approx 23, 70$ giây.

Câu 19.

Bảng thống kê doanh số bán hàng của các nhân viên một siêu thị điện máy trong một dịp Black Friday như sau:

Doanh số (triệu đồng)	[20;30)	[30;40)	[40;50)	[50;60)	[60;70)	Tổng
Số nhân viên	4	8	12	7	5	36

Cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là $n = 35$ .
Số trung bình mẫu của mẫu số liệu trên là $\overset{―}{x} \approx 45, 28$ triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Doanh số từ 40 triệu đồng đến dưới 50 triệu đồng có nhiều nhân viên đạt được nhất.
Cửa hàng dự định sẽ thưởng 25% số nhân viên có doanh số bán hàng cao nhất. Theo mẫu số liệu trên, cửa hàng nên khen thưởng các nhân viên có doanh số bán hàng từ 53,29 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Cỡ mẫu là $4 + 8 + 12 + 7 + 5 = 36$ , không phải 35.
$\overset{―}{x} = \frac{4 \cdot 25 + 8 \cdot 35 + 12 \cdot 45 + 7 \cdot 55 + 5 \cdot 65}{36} = \frac{815}{18} \approx 45, 28$ triệu đồng.
Nhóm [40;50) có tần số lớn nhất là 12.
Ngưỡng ước lượng để chọn 25% nhân viên có doanh số cao nhất là $Q_{3}$ . Vị trí $\frac{3 \cdot 36}{4} = 27$ thuộc nhóm [50;60). $Q_{3} = 50 + \frac{27 - 24}{7} \cdot 10 = \frac{380}{7} \approx 54, 29$ triệu đồng, không phải 53,29 triệu đồng.

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số trung bình $\overset{―}{x}$

Nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ có tần số $m_{i}$ ; cỡ mẫu $n = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{k}$ .

x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}

Giá trị đại diện là trung điểm nhóm thứ i.

\overset{―}{x} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} + \dots + m_{k} x_{k}}{n}

Trung vị $M_{e}$

Bước 1: Nhóm chứa trung vị là nhóm thứ p: $[a_{p}; a_{p + 1})$ đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới $\frac{n}{2}$ .

M_{e} = a_{p} + \frac{\frac{n}{2} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} (a_{p + 1} - a_{p})

Nếu p = 1 thì $m_{1} + \dots + m_{p - 1} = 0$ .

Tứ phân vị $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Với $Q_{1}$ : chọn nhóm thứ p đầu tiên có tần số tích lũy đạt tới $\frac{n}{4}$ .

Q_{1} = a_{p} + \frac{\frac{n}{4} - (m_{1} + \dots + m_{p - 1})}{m_{p}} (a_{p + 1} - a_{p})

Với $Q_{3}$ : làm như $Q_{1}$ , thay $\frac{n}{4}$ bởi $\frac{3 n}{4}$ .

$Q_{2} = M_{e}$ (tứ phân vị thứ hai là trung vị).

Mốt $M_{o}$

Bước 1: Nhóm chứa mốt là nhóm thứ j: $[a_{j}; a_{j + 1})$ có tần số lớn nhất.

M_{o} = a_{j} + \frac{m_{j} - m_{j - 1}}{(m_{j} - m_{j - 1}) + (m_{j} - m_{j + 1})} h

h là độ dài nhóm; quy ước $m_{0} = m_{k + 1} = 0$ . Chỉ dùng khi các nhóm có độ dài bằng nhau.

E. Học & Thi

Làm các câu hỏi trong bài, rồi mở hướng dẫn giải để đối chiếu. Em có thể luyện thêm với bộ 28 câu trên Học & Thi.

Luyện tập trên Học & Thi

Toán 11 Bài 9: Số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu ghép nhóm

A. Lý thuyết

1. Số trung bình

2. Trung vị

3. Tứ phân vị

4. Mốt

B. Ví dụ

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số trung bình x―

Trung vị Me

Tứ phân vị Q1,Q2,Q3

Mốt Mo

E. Học & Thi

Số trung bình $\overset{―}{x}$

Trung vị $M_{e}$

Tứ phân vị $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

Mốt $M_{o}$