TOÁN 12 · CHƯƠNG 3 · THỐNG KÊ

Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Đọc đúng bảng, chọn đúng nhóm chứa tứ phân vị và hiểu sự khác nhau giữa độ trải rộng toàn mẫu với khoảng ở giữa.

6 ví dụ có lời giải5 câu tự kiểm traKhông cần đăng nhập

Nhìn hình để hiểu trước khi áp dụng công thức.

1. Nhìn bảng trước khi tính

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm cho biết dữ liệu trải rộng đến đâu. R nhìn từ hai đầu; ΔQ tập trung vào khoảng 50% số liệu ở giữa.

Ví dụ: hai lớp có thời gian tự học trung bình gần nhau, nhưng một lớp học khá đều còn lớp kia chênh lệch nhiều. Chỉ biết trung bình chưa đủ để phân biệt hai tình huống.

Khoảng biến thiên RĐộ rộng từ mút trái nhóm đầu có dữ liệu đến mút phải nhóm cuối có dữ liệu.

Khoảng tứ phân vị ΔQKhoảng cách từ Q₁ đến Q₃, còn gọi là IQR. Ít nhạy với số liệu ở hai đầu hơn R.

Nhóm [10; 20) chứa các giá trị từ 10 đến dưới 20. Tần số là số quan sát trong nhóm; tần số tích lũy là tổng tần số từ nhóm đầu đến nhóm đang xét.

Bảng 1. Thời gian tự học trong ngày — số liệu minh họa
Thời gian (phút)	Tần số	Tích lũy
[0; 10)	2	2
[10; 20)	8	10
[20; 30)	12	22
[30; 40)	6	28
[40; 50)	4	32
Tổng	32	—

Các nhóm cùng độ rộng 10 phút; chiều cao cột biểu diễn tần số. Tổng các tần số bằng 32.

Từ bảng ghép nhóm, em biết các khoảng chứa dữ liệu. Thường không biết chính xác từng giá trị, giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của mẫu gốc.

2. Công thức và cách chọn nhóm

Khoảng biến thiên

R = b − a

a là mút trái của nhóm đầu có quan sát, b là mút phải của nhóm cuối có quan sát. Bỏ qua nhóm tần số 0 ở ngoài cùng. Không lấy hiệu hai trung điểm.

Nội suy tứ phân vị

Đặt p₁ = n/4 và p₃ = 3n/4. Với từng vị trí p, chọn nhóm có tần số tích lũy chạm hoặc vượt p, rồi tính:

Q = L + p − Ff × h

L: mút trái nhóm chứa tứ phân vị.
F: tổng tần số trước nhóm đó.
f: tần số riêng của nhóm, phải lớn hơn 0.
h: độ rộng của chính nhóm đó.

ΔQ = Q₃ − Q₁

Thay p = n/4 để tính Q₁; thay p = 3n/4 để tính Q₃. Phải xác định lại L, F, f, h cho từng tứ phân vị.

Trường hợp tại biên: khi p đúng bằng tần số tích lũy cuối một nhóm, nội suy cho mút phải của nhóm ấy. Nếu hai nhóm liên tiếp cùng có dữ liệu và chung mút, tính ở nhóm sau cũng cho kết quả đó. Nếu có nhóm rỗng hoặc khoảng hở, cần nêu quy ước đang dùng; tuyệt đối không chia cho tần số 0.

Quy tắc 1,5ΔQ

Q₁ − 1,5ΔQ ; Q₃ + 1,5ΔQ

Giá trị nhỏ hơn ngưỡng dưới hoặc lớn hơn ngưỡng trên được xem là ngoại lệ theo quy tắc này. Đây là dấu hiệu để xem xét, không phải lý do tự động xóa dữ liệu. Nếu ngưỡng cắt ngang một nhóm thì chỉ bảng ghép nhóm chưa cho biết chính xác bao nhiêu quan sát vượt ngưỡng.

3. Sáu ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Cỡ mẫu và khoảng biến thiên

Dùng bảng 1, tính n và R.

Cộng tần số: n = 2 + 8 + 12 + 6 + 4 = 32.
Nhóm đầu [0; 10), nhóm cuối [40; 50) đều có dữ liệu.
Lấy mút phải cuối trừ mút trái đầu: R = 50 − 0.

Kết quả: n = 32; R = 50 phút. Đây là khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm.

Ví dụ 2. Chọn đúng nhóm cho Q₁ và Q₃

Dùng bảng 1 để nội suy hai tứ phân vị.

p₁ = 32/4 = 8. Vì 2 < 8 ≤ 10 nên chọn [10; 20). L = 10, F = 2, f = 8, h = 10.
Q₁ = 10 + (8 − 2) × 10/8 = 17,5 phút.
p₃ = 3 × 32/4 = 24. Vì 22 < 24 ≤ 28 nên chọn [30; 40). L = 30, F = 22, f = 6, h = 10.
Q₃ = 30 + (24 − 22) × 10/6 = 100/3 phút.

Kết quả: Q₁ = 17,5 phút; Q₃ ≈ 33,33 phút. Cả hai nằm trong đúng nhóm đã chọn.

Hình vẽ theo đúng tỉ lệ trên trục thời gian; dải xanh biểu diễn khoảng từ Q₁ đến Q₃, không phải toàn bộ khoảng biến thiên.

Ví dụ 3. ΔQ và ngưỡng ngoại lệ

Từ kết quả ví dụ 2, tính ΔQ và hai ngưỡng.

Giữ phân số đến cuối: ΔQ = 100/3 − 35/2 = 95/6.
Ngưỡng dưới: 35/2 − (3/2) × (95/6) = −6,25 phút.
Ngưỡng trên: 100/3 + (3/2) × (95/6) = 685/12 ≈ 57,08 phút.

Kết quả: ΔQ ≈ 15,83 phút. Mọi giá trị trong các nhóm [0; 50) đều nằm giữa hai ngưỡng; bảng này không có giá trị ngoại lệ theo quy tắc đã tính.

Ví dụ 4. Nhóm rìa có tần số 0

Các nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30) có tần số 0, 5, 3.

Nhóm [0; 10) không có quan sát nên không dùng làm nhóm đầu.
Hai nhóm có dữ liệu trải từ mút 10 đến mút 30.

Kết quả: R = 30 − 10 = 20 phút, không phải 30 phút.

Ví dụ 5. Vị trí đúng tại biên tích lũy

Các nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30) có tần số 4, 8, 4. Tính Q₁ và Q₃.

n = 16; p₁ = 4 và p₃ = 12. Tích lũy: 4, 12, 16.
Q₁ = 0 + (4 − 0) × 10/4 = 10.
Q₃ = 10 + (12 − 4) × 10/8 = 20.

Kết quả: Q₁ = 10, Q₃ = 20 và ΔQ = 10 phút. Không nhầm vị trí 4, 12 với giá trị tứ phân vị.

Ví dụ 6. Các nhóm không cùng độ rộng

Các nhóm [0; 5), [5; 15), [15; 30) có tần số 4, 8, 4. Tính ΔQ.

n = 16; p₁ = 4 thuộc nhóm đầu, độ rộng h = 5. Q₁ = 0 + 4 × 5/4 = 5.
p₃ = 12 thuộc nhóm thứ hai, độ rộng h = 10. Q₃ = 5 + (12 − 4) × 10/8 = 15.

Kết quả: ΔQ = 15 − 5 = 10. Luôn lấy độ rộng của nhóm đang nội suy.

5. Ghi nhớ và lỗi cần tránh

Đọc bảngCộng tần số → lập tích lũy → tìm nhóm cần dùng.

Nhìn hai đầuR = mút phải cuối − mút trái đầu; chỉ xét nhóm có dữ liệu.

Nhìn khoảng giữan/4 và 3n/4 là vị trí; nội suy mới cho Q₁ và Q₃.

Diễn giảiΔQ = Q₃ − Q₁. R và ΔQ cùng đơn vị với mẫu số liệu.

Vì sao không lấy trung điểm để tính khoảng biến thiên?

R của mẫu ghép nhóm dùng hai mút ngoài của các nhóm có dữ liệu. Trung điểm là giá trị đại diện dùng khi tính trung bình, phương sai ở bài 2.

Khoảng tứ phân vị có phải là tứ phân vị thứ ba?

Không. Q₃ là một mốc vị trí trên thang đo. Khoảng tứ phân vị ΔQ là hiệu Q₃ − Q₁.

Có nên làm tròn Q₁, Q₃ trước khi tính ΔQ?

Nên giữ phân số hoặc đủ chữ số trong phép tính, rồi làm tròn kết quả cuối theo yêu cầu đề bài.

6. Luyện tập và học tiếp

Đã nắm được công thức? Em mở bộ luyện tập đang có của Gia Sư SV để thực hành thêm và đối chiếu lời giải.

Mở bộ luyện tập bài 1 · 62 câu

Ví dụ trong bài này do Gia Sư SV biên soạn để minh họa. Bộ luyện tập được giữ theo tài liệu đang có trên website.

Biên soạn: Gia Sư SV · Cập nhật 18/10/2026. Cần gia sư hướng dẫn thêm? Tìm gia sư phù hợp · 0946 99 62 68.