Tải PDF · Chương 4

Đề cương56 trang Đáp án40 trang

PDF toàn học kỳ

Đề cương toàn học kỳ II146 trang Đáp án toàn học kỳ II109 trang

Gia Sư SV biên soạn lại · 2026–2027

TOÁN 12 · HỌC KỲ II · 2026–2027

Nguyên hàm

Nắm định nghĩa, bảng nguyên hàm và cách tìm hằng số; vận dụng vào chuyển động và tích lũy.

12 ô nhớ6 ví dụ có lời giải46 bài tập

Ôn và đọc lý thuyết

Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ

Bấm từng ô trống và chọn nội dung phù hợp. Bấm Kiểm tra để xem kết quả; chuyển sang Đọc lý thuyết khi cần ôn lại công thức.

Điền điều kiện để $F$ là nguyên hàm của $f$ : ……
Hai nguyên hàm của cùng hàm số trên một khoảng khác nhau một ……
$\int x^{3} d x =$ ……
$\int 1 / x d x =$ ……
$\int \sin x d x =$ ……
$\int e^{3 x} d x =$ ……
$\int 2^{x} d x =$ ……
Để tìm hằng số $C$ khi biết $F (1) = 5$ , ta ……
Từ gia tốc $a (t)$ , lấy nguyên hàm và dùng vận tốc ban đầu để tìm ……
Tốc độ của vật có vận tốc đại số $v (t)$ là ……
Đẳng thức hạ bậc đúng là ……
Kiểm tra một công thức nguyên hàm bằng cách ……

Đọc lý thuyết đầy đủ

1. Định nghĩa và họ nguyên hàm

Cho hàm số $f$ xác định trên một khoảng $K$ . Hàm số $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $K$ khi $F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in K$ . Nếu $F$ là một nguyên hàm thì mọi nguyên hàm của $f$ trên cùng khoảng ấy có dạng $F (x) + C$ , với $C \in R$ .

\int f (x) d x = F (x) + C ⟺ F^{'} (x) = f (x) .

Hằng số $C$ có thể khác nhau trên các khoảng xác định rời nhau. Ví dụ, trên $x < 0$ và $x > 0$ , hai điều kiện ban đầu có thể xác định hai hằng số riêng.

2. Bảng nguyên hàm cơ bản

Hàm số	Một họ nguyên hàm	Điều kiện
$k$	$k x + C$	$k$ là hằng số
$x^{α}$	$\frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$	$α \neq - 1$ ; xét trên khoảng hàm số xác định
$\frac{1}{x}$	$\ln \| x \| + C$	$x \neq 0$ , xét trên từng khoảng
$e^{x}$	$e^{x} + C$	$x \in R$
$a^{x}$	$\frac{a^{x}}{\ln a} + C$	$a > 0, a \neq 1$
$\sin x$	$- \cos x + C$	Góc tính bằng radian
$\cos x$	$\sin x + C$	Góc tính bằng radian
$\frac{1}{\cos^{2} x}$	$\tan x + C$	Trên khoảng $\cos x \neq 0$
$\frac{1}{\sin^{2} x}$	$- \cot x + C$	Trên khoảng $\sin x \neq 0$

3. Tính chất và hàm hợp bậc nhất

Với các hàm có nguyên hàm trên cùng khoảng, có thể lấy nguyên hàm từng hạng tử trong tổng hoặc hiệu. Với $k \neq 0$ , đưa hằng số $k$ ra ngoài dấu nguyên hàm. Trường hợp $k = 0$ , họ nguyên hàm của hàm không là $C$ .

\int (a f (x) + b g (x)) d x = a F (x) + b G (x) + C .

Với $u = a x + b$ , $a \neq 0$ , phải chia thêm cho hệ số $a$ :

\int (a x + b)^{n} d x = \frac{(a x + b)^{n + 1}}{a (n + 1)} + C (n \neq - 1),

\int \frac{d x}{a x + b} = \frac{1}{a} \ln | a x + b | + C, \int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C,

\int \sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} \cos (a x + b) + C, \int \cos (a x + b) d x = \frac{1}{a} \sin (a x + b) + C .

4. Biến đổi trước khi lấy nguyên hàm

Lũy thừa: khai triển tích, chia đa thức cho từng hạng, đổi căn thành lũy thừa. Chẳng hạn $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ , $1 / x^{2} = x^{- 2}$ .
Lượng giác: dùng $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ , $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , $\sin^{2} x = (1 - \cos 2 x) / 2$ , $\cos^{2} x = (1 + \cos 2 x) / 2$ .
Dùng $\tan^{2} x = 1 / \cos^{2} x - 1$ , $\cot^{2} x = 1 / \sin^{2} x - 1$ ; tích thành tổng: $2 \cos a \cos b = \cos (a - b) + \cos (a + b)$ , $2 \sin a \sin b = \cos (a - b) - \cos (a + b)$ , $2 \sin a \cos b = \sin (a + b) + \sin (a - b)$ .
Hàm mũ: gộp $a^{x} b^{x} = (a b)^{x}$ , $a^{x} / b^{x} = (a / b)^{x}$ khi các cơ số dương.

5. Nguyên hàm có điều kiện và bài toán thực tế

Để tìm $F$ biết $F^{'} = f$ và $F (x_{0}) = y_{0}$ : lấy nguyên hàm, thế điều kiện để tìm $C$ , viết lại hàm $F$ rồi kiểm tra cả đạo hàm và điều kiện.

Với chuyển động thẳng, $s^{'} (t) = v (t)$ , $v^{'} (t) = a (t)$ . Từ gia tốc tìm vận tốc, từ vận tốc tìm tọa độ; mỗi bước cần một điều kiện ban đầu. Quãng đường và độ dời khác nhau nếu vật đổi chiều. Tốc độ là $| v (t) |$ .

Với tăng trưởng, lưu lượng hoặc chi phí biên, đại lượng tích lũy được tìm bằng nguyên hàm của tốc độ thay đổi, rồi dùng giá trị ban đầu để xác định hằng số.

6. Sơ đồ ghi nhớ và kiểm tra nhanh

Nguyên hàm → nhận dạng hàm → biến đổi về bảng → lấy nguyên hàm → tìm $C$ nếu có điều kiện → đạo hàm kiểm tra.

Sáu dạng: định nghĩa; lũy thừa; lượng giác; hàm mũ; điều kiện ban đầu; mô hình thực tế.

Khi làm trắc nghiệm, đạo hàm các phương án là cách kiểm tra nhanh. Có thể dùng tính đạo hàm số trên máy tính tại vài điểm hợp lệ để loại phương án; một vài giá trị thử không thay thế chứng minh. Với lượng giác, đặt chế độ radian. Không thử tại điểm làm nhiều phương án cùng bằng 0.

Tránh lỗi: quên

C

; quên chia hệ số của hàm hợp; viết

\ln x

khi

x < 0

; nhầm

\int \sin x d x

với

\cos x

; áp dụng nguyên hàm của tích bằng tích hai nguyên hàm; lấy nguyên hàm qua điểm hàm không xác định.

Ví dụ và hướng dẫn giải theo dạng

Thử tự giải trước, rồi mở hướng dẫn để đối chiếu từng bước.

Ví dụ 1

Dạng 1. Dùng định nghĩa. Kiểm tra

F (x) = x \sin x + \cos x + 7

có là nguyên hàm của

f (x) = x \cos x

hay không.

Xem hướng dẫn giải

$F^{'} (x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x = f (x)$ . Vậy $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $R$ .

Ví dụ 2

Dạng 2. Lũy thừa và phân thức. Tìm

\int (x + 2)^{2} / x^{2} d x

trên

(0; + \infty)

Xem hướng dẫn giải

Chia từng hạng: $(x + 2)^{2} / x^{2} = 1 + 4 / x + 4 / x^{2}$ . Do đó $\int (x + 2)^{2} / x^{2} d x = x + 4 \ln x - 4 / x + C$ .

Ví dụ 3

Dạng 3. Lượng giác. Tìm

\int (2 \cos^{2} x + \sin 2 x) d x

Xem hướng dẫn giải

Vì $2 \cos^{2} x = 1 + \cos 2 x$ , nguyên hàm là $x + \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ .

Ví dụ 4

Dạng 4. Hàm mũ. Tìm

\int (2 e^{2 x} + 3^{x}) d x

Xem hướng dẫn giải

Lấy nguyên hàm từng hạng tử: $\int 2 e^{2 x} d x = e^{2 x}$ , $\int 3^{x} d x = 3^{x} / \ln 3$ . Kết quả: $e^{2 x} + 3^{x} / \ln 3 + C$ .

Ví dụ 5

Dạng 5. Điều kiện ban đầu. Cho

F^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1

F (1) = 4

. Tìm

F (x)

Xem hướng dẫn giải

$F (x) = x^{3} - x^{2} + x + C$ . Điều kiện $F (1) = 4$ cho $1 + C = 4$ , suy ra $C = 3$ . Vậy $F (x) = x^{3} - x^{2} + x + 3$ .

Ví dụ 6

Dạng 6. Mô hình chuyển động. Vật có gia tốc

a (t) = 2 t + 2

(m/s²), vận tốc ban đầu 3 m/s, tọa độ ban đầu 1 m. Tìm vận tốc và tọa độ lúc

t = 2

giây.

Xem hướng dẫn giải

$v (t) = t^{2} + 2 t + C$ , $v (0) = 3$ nên $v (t) = t^{2} + 2 t + 3$ . Tiếp theo $s (t) = t^{3} / 3 + t^{2} + 3 t + D$ , $s (0) = 1$ nên $D = 1$ . Vì vậy $v (2) = 11$ m/s và $s (2) = 41 / 3$ m.

Làm đầy đủ 46 bài tập

25 câu trắc nghiệm · 10 câu đúng / sai · 6 câu trả lời ngắn · 5 câu tự luận.

Luyện từ nhận biết đến vận dụng, rồi đối chiếu lời giải để tìm bước còn nhầm. Có thể dùng bản đề cương PDF để trình bày bài làm trên giấy.

Mở 46 bài tập và lời giải →

Nguyên hàm – Toán 12 học kỳ II

Tải PDF · Chương 4

Ôn và đọc lý thuyết

Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ

Đọc lý thuyết đầy đủ

1. Định nghĩa và họ nguyên hàm

2. Bảng nguyên hàm cơ bản

3. Tính chất và hàm hợp bậc nhất

4. Biến đổi trước khi lấy nguyên hàm

5. Nguyên hàm có điều kiện và bài toán thực tế

6. Sơ đồ ghi nhớ và kiểm tra nhanh

Ví dụ và hướng dẫn giải theo dạng

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Làm đầy đủ 46 bài tập