Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất

1. Khi nào a chia hết cho b?

Xét hai số tự nhiên a và b, với b khác 0. Nếu có số tự nhiên k sao cho a = b × k thì a chia hết cho b. Khi đó phép chia a : b có thương là k và số dư bằng 0. Kí hiệu a ⋮ b đọc là “a chia hết cho b”; kí hiệu a ⋮̸ b đọc là “a không chia hết cho b”.

a ⋮ b khi a = b × k, với a, b, k ∈ ℕ và b > 0.

Ví dụ: 18 = 3 × 6 nên 18 ⋮ 3. Còn 19 = 3 × 6 + 1, số dư là 1 nên 19 không chia hết cho 3. Chú ý thứ tự: 18 ⋮ 3 không có nghĩa 3 ⋮ 18.

Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0 vì 0 = b × 0. Chẳng hạn 0 ⋮ 7. Nhưng không được lấy 0 làm số chia: các cách viết “7 : 0” hoặc “0 : 0” đều không dùng được. Mỗi số tự nhiên chia hết cho 1; mỗi số tự nhiên khác 0 chia hết cho chính nó.

2. Ước và bội: đọc cùng một quan hệ theo hai phía

Nếu a chia hết cho b, ta gọi b là một ước của a và gọi a là một bội của b. Hai cách nói cùng xuất phát từ phép chia a : b không còn dư. Tập hợp các ước của a kí hiệu là Ư(a); tập hợp các bội của b kí hiệu là B(b).

18 ⋮ 3 → 3 là ước của 18; 18 là bội của 3.

Để không đảo nhầm, em hãy đặt câu hỏi: “Số nào được chia? Chia cho số nào?”. Trong 18 : 3 = 6, số được chia là 18 nên 18 là bội; số dùng để chia là 3 nên 3 là ước. Thương 6 cũng là một ước của 18, vì 18 = 6 × 3.

Ví dụ 1: tìm đầy đủ các ước của 24

Với số tự nhiên dương a, có thể lần lượt thử các số từ 1 đến a và giữ lại những số mà a chia hết. Với 24, ta ghi các cặp thừa số để theo dõi các ước:

24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6.

Thử lần lượt từ 1 đến 24 cho thấy chỉ có các số 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 và 24 chia 24 không dư. Vì vậy:

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Không thêm 0 vì không được chia cho 0; không quên 1 và 24. Những số lớn hơn 24 không thể là ước dương của 24, vì nhân chúng với một số tự nhiên dương sẽ vượt 24. Riêng Ư(1) = {1}.

Ví dụ 2: tìm các bội của 7 nhỏ hơn 35

Để tìm các bội của một số tự nhiên b khác 0, nhân b lần lượt với 0, 1, 2, 3, … Ta được 0, 7, 14, 21, 28, 35, … Bài yêu cầu “nhỏ hơn 35” nên không lấy 35.

B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35; …}.

Các bội của 7 nhỏ hơn 35 là 0; 7; 14; 21; 28.

Bội khác 0 nhỏ nhất của 7 là 7, còn bội nhỏ nhất là 0. Cụm “khác 0” làm thay đổi yêu cầu; nếu đề yêu cầu các bội dương thì phải bỏ 0 khỏi danh sách. Một số tự nhiên khác 0 có vô số bội, nên khi liệt kê toàn bộ tập bội cần dùng dấu ba chấm.

3. Mọi số hạng đều chia hết thì tổng chia hết

Xét số tự nhiên m khác 0. Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho m thì tổng cũng chia hết cho m. Các số hạng phải cùng chia hết cho đúng số m đang xét, không phải mỗi số hạng chia hết cho một số tùy ý.

a ⋮ m và b ⋮ m → (a + b) ⋮ m, với a, b ∈ ℕ; m ∈ ℕ*.

Vì sao? Nếu a = m × p và b = m × q, với p, q là số tự nhiên, thì a + b = m × (p + q). Tổng đã được viết thành m nhân với một số tự nhiên, nên chia hết cho m. Cách nghĩ bằng nhóm cũng vậy: ghép các nhóm đầy m phần tử vẫn được những nhóm đầy.

Ví dụ 3: xét tổng mà không cộng trước

Xét 28 + 42 + 70 có chia hết cho 7 không. Vì 28 = 7 × 4, 42 = 7 × 6 và 70 = 7 × 10 nên cả ba số hạng đều chia hết cho 7. Do đó tổng chia hết cho 7. Lập luận đã đủ, không cần tính giá trị tổng.

Tính chất cũng dùng được cho hiệu a − b khi a ≥ b để hiệu vẫn là số tự nhiên. Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a − b chia hết cho m. Chẳng hạn 63 và 28 cùng chia hết cho 7, nên 63 − 28 chia hết cho 7.

4. Đúng một số hạng không chia hết thì sao?

Nếu một tổng có đúng một số hạng không chia hết cho m, còn các số hạng khác đều chia hết cho m, thì tổng không chia hết cho m. Từ “đúng một” là điều kiện quan trọng, không được bỏ.

a ⋮ m và b ⋮̸ m → (a + b) ⋮̸ m, với a, b ∈ ℕ; m ∈ ℕ*.

Ví dụ 4: nhận ra số hạng làm còn dư

Trong 24 + 36 + 17, hai số 24 và 36 chia hết cho 6. Số 17 = 6 × 2 + 5 không chia hết cho 6. Tổng có đúng một số hạng không chia hết cho 6, nên tổng không chia hết cho 6. Các nhóm đủ 6 không làm mất 5 phần dư từ số 17.

Với hiệu không âm, nếu đúng một trong hai số bị trừ và số trừ không chia hết cho m, thì hiệu không chia hết cho m. Ví dụ 35 − 12 không chia hết cho 5 vì 35 chia hết cho 5 còn 12 thì không; điều kiện 35 ≥ 12 cũng được thỏa mãn.

Hai số hạng đều không chia hết: chưa thể kết luận

Số 10 và số 14 đều không chia hết cho 4, nhưng 10 + 14 = 24 lại chia hết cho 4. Trong khi đó 10 và 13 cũng đều không chia hết cho 4, mà 10 + 13 = 23 không chia hết cho 4. Các phần dư có thể ghép thành nhóm đầy hoặc vẫn còn dư.

Vì vậy, khi có từ hai số hạng không chia hết cho m, phải xét thêm; không áp dụng máy móc tính chất “đúng một số hạng”. Ví dụ 10 + 14 còn cho thấy: tổng chia hết không bắt buộc từng số hạng đều chia hết.

5. Nhận biết một tích chia hết

Trong một tích các số tự nhiên, nếu một thừa số chia hết cho m khác 0 thì tích chia hết cho m. Thật vậy, nếu a = m × q thì a × k = m × (q × k).

Ví dụ: 14 × 9 chia hết cho 7 vì 14 chia hết cho 7. Nhưng không được suy ngược: 2 × 3 chia hết cho 6 dù cả 2 và 3 đều không chia hết cho 6. Khi dùng tính chất, hãy nói rõ thừa số nào làm căn cứ cho kết luận.

6. Vận dụng vào việc chia đều

Ví dụ 5: chuẩn bị các phần quà giống nhau

Một nhóm có 36 quyển vở và 24 bút chì, muốn chia thành 6 phần quà giống nhau và dùng hết đồ. Vì 36 = 6 × 6 và 24 = 6 × 4, mỗi phần quà nhận 6 quyển vở, 4 bút chì. Phải xét riêng từng loại đồ; chỉ kiểm tổng số đồ chia hết cho 6 chưa bảo đảm các phần quà có cùng số vở và cùng số bút.

Ví dụ 6: chọn số hạng còn thiếu

Chọn x trong {2; 8; 12; 16} để 40 + x chia hết cho 8. Ta biết 40 chia hết cho 8. Vì vậy x cũng phải chia hết cho 8: nếu x không chia hết thì tổng có đúng một số hạng không chia hết. Trong các số đã cho, 8 và 16 phù hợp; 2 và 12 không phù hợp. Kết quả là x ∈ {8; 16}.

7. Lỗi dễ nhầm và cách ghi nhớ

• Đảo ước và bội: từ a chia hết cho b, đọc “b là ước của a; a là bội của b”.
• Bỏ số 0 khi tìm bội: 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0; chỉ loại khi yêu cầu bội dương hoặc bội khác 0.
• Quên điều kiện số chia: luôn có b > 0 hoặc m > 0.
• Áp dụng sai tính chất tổng: phải phân biệt mọi số hạng, đúng một số hạng và từ hai số hạng không chia hết.
• Dùng tính chất của hiệu nhưng quên phạm vi: trong bài này cần số bị trừ không nhỏ hơn số trừ.

Trước khi kết luận, hãy làm ba việc: xác định số chia đang xét; chỉ ra từng số hoặc từng số hạng chia hết hay không; chọn đúng tính chất và nói rõ điều kiện. Học theo quan hệ sẽ dễ nhớ hơn học thuộc một dãy dấu mà không hiểu ý nghĩa.