Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa

Vật lí 11 · Chương 1: Dao động · Chủ đề 3

Viết và sử dụng phương trình vận tốc, gia tốc; xác định dấu, độ lớn và tính chất nhanh dần hay chậm dần.

Đồ thị li độ, vận tốc và gia tốc lệch pha trong dao động điều hòa.

Mục tiêu và kiến thức nền

Viết và sử dụng phương trình vận tốc, gia tốc; xác định dấu, độ lớn và tính chất nhanh dần hay chậm dần.

Nắm phương trình li độ, đạo hàm của sin và cos, hệ thức sin²θ + cos²θ = 1 và cách đổi đơn vị.

Hiểu khái niệm

Ở biên, vật dừng tức thời để đổi chiều; ở vị trí cân bằng, vật có tốc độ lớn nhất. Gia tốc luôn chống lại độ lệch khỏi vị trí cân bằng: khi x > 0 thì a < 0, khi x < 0 thì a > 0. Gia tốc bằng 0 ngay tại O.

Công thức và điều kiện áp dụng

Vận tốc

v = - ω A \sin (ω t + φ)

Có thể viết v = ωAcos(ωt + φ + $\frac{π}{2}$ ): vận tốc sớm pha $\frac{π}{2}$ so với li độ.

Gia tốc

a = - ω^{2} A \cos (ω t + φ) = - ω^{2} x

Gia tốc ngược pha với li độ; sớm pha $\frac{π}{2}$ so với vận tốc khi viết cùng dạng cos.

Độ lớn cực đại

v_{max} = ω A; a_{max} = ω^{2} A

Nếu A tính bằng cm thì vmax tính bằng cm/s, amax bằng cm/s².

Hệ thức không phụ thuộc thời gian

v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})

Lấy căn cho tốc độ |v|. Muốn tìm v phải chọn dấu theo chiều chuyển động.

Từ vận tốc và gia tốc

a^{2} = ω^{2} ({v_{max}}^{2} - v^{2})

Dùng để tìm ω khi biết vmax và một cặp giá trị v, a.

Phương pháp giải

Nếu đề cho thời điểm, tính pha rồi thay lần lượt vào x, v, a. Nếu đề cho vị trí, dùng a = −ω²x và v² = ω²(A² − x²). Trên chặng từ biên về O, v và a cùng dấu nên vật nhanh dần. Từ O ra biên, chúng trái dấu nên vật chậm dần. Đây là nhanh dần hoặc chậm dần không đều.

Đọc các đồ thị x, v, a

Đồ thị x–t, v–t, a–t cùng chu kì, nhưng lệch pha. Đồ thị a theo x là đường thẳng qua gốc, hệ số góc −ω². Đồ thị v theo x thỏa $\frac{x^{2}}{A^{2}}$ + $\frac{v^{2}}{{(ω A)}^{2}}$ = 1 nên là elip. Độ dốc của x–t là vận tốc; độ dốc của v–t là gia tốc. Khi tìm thời gian giữa hai trạng thái, cần xét đúng nhánh chuyển động rồi dùng Δt = $\frac{Δ θ}{ω}$ .

Ví dụ có lời giải

Vật có A = 5 cm, ω = 4 rad/s. Tại x = −3 cm, vật đang đi về O. |v| = 4√(25 − 9) = 16 cm/s. Vì đang đi theo chiều dương nên v = +16 cm/s. a = −16 × (−3) = +48 cm/s². Vận tốc và gia tốc cùng dấu nên vật nhanh dần.

Hệ thức và phương pháp giải nâng cao

A^{2} = x^{2} + \frac{v^{2}}{ω^{2}} = \frac{v^{2}}{ω^{2}} + \frac{a^{2}}{ω^{4}}

ω^{2} = \frac{{v_{1}}^{2} - {v_{2}}^{2}}{{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2}}

Công thức hai trạng thái dùng khi mẫu khác 0, các trạng thái thuộc cùng dao động và đơn vị thống nhất. Kết quả ω² phải dương. Đồ thị a–v cũng là elip: $\frac{a^{2}}{{a_{max}}^{2}}$ + $\frac{v^{2}}{{v_{max}}^{2}}$ = 1.

Với φ = 0, v sớm pha π/2 so với x; a ngược pha với x. — Với φ = 0, v sớm pha $\frac{π}{2}$ so với x; a ngược pha với x.

Khoảng thời gian	Vận tốc với x = Acos(ωt)	Chuyển động
0 → $\frac{T}{4}$	0 → −ωA	Từ biên dương về O, nhanh dần
$\frac{T}{4}$ → $\frac{T}{2}$	−ωA → 0	Từ O đến biên âm, chậm dần
$\frac{T}{2}$ → $\frac{3 T}{4}$	0 → +ωA	Từ biên âm về O, nhanh dần
$\frac{3 T}{4}$ → T	+ωA → 0	Từ O đến biên dương, chậm dần

Thời gian, quãng đường và các góc đặc biệt

Nếu chỉ cho hai vị trí và hỏi thời gian ngắn nhất, có thể dùng Δtmin = $\frac{| \arccos (\frac{x_{2}}{A}) - \arccos (\frac{x_{1}}{A}) |}{ω}$ . Nếu có điều kiện chiều chuyển động, phải chọn đúng pha cho từng trạng thái rồi lấy độ tăng pha dương nhỏ nhất. Không tự động dùng hiệu hai giá trị arccos.

Góc θ	sinθ	cosθ
0	0	1
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\frac{π}{2}$	1	0
$\frac{2 π}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	− $\frac{1}{2}$
$\frac{3 π}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	− $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{5 π}{6}$	$\frac{1}{2}$	− $\frac{\sqrt{3}}{2}$
π	0	−1

Quãng đường trong n nửa chu kì là 2nA, độc lập pha đầu. Với Δt = $\frac{n T}{2}$ + τ, 0 ≤ τ < $\frac{T}{2}$ , tính S = 2nA + Sτ; chia phần còn lại tại các điểm đổi chiều. Tốc độ trung bình là $\frac{S}{Δ t}$ ; vận tốc trung bình là $\frac{x_{2} - x_{1}}{Δ t}$ .

Mười ví dụ về vận tốc, gia tốc, thời gian và đồ thị

Ví dụ 1. Tìm biên độ từ vận tốc và gia tốc

Biết vmax = 20 cm/s. Khi tốc độ bằng 10 cm/s, độ lớn gia tốc là 40√3 cm/s². Tìm A.

ω² = $\frac{a^{2}}{{v_{max}}^{2} - v^{2}}$ = $\frac{{(40 \sqrt{3})}^{2}}{20^{2} - 10^{2}}$ = 16. Vì ω > 0 nên ω = 4 rad/s; A = $\frac{v_{max}}{ω}$ = 5 cm.

Ví dụ 2. Đọc các thông số từ phương trình

Vật có x = 2cos(4πt − $\frac{π}{6}$ ) cm. Xác định các thông số và pha tại t = 1 s.

A = 2 cm; ω = 4π rad/s; T = 0,5 s; f = 2 Hz; φ = − $\frac{π}{6}$ rad. Tại 1 s: θ = 4π − $\frac{π}{6}$ = $\frac{23 π}{6}$ rad, tương đương − $\frac{π}{6}$ theo modulo 2π.

Ví dụ 3. Trở lại biên sau một chu kì

Vật có A = 4 cm, f = 1 Hz; ban đầu ở biên âm. Tính v và a tại 1 s.

T = 1 s, ω = 2π rad/s. Sau một chu kì, vật trở lại x = −4 cm; v = 0 và a = −ω²x = +16π² cm/s².

Ví dụ 4. Quỹ đạo và số dao động

Quỹ đạo dài 10 cm; vật thực hiện 50 dao động trong 78,5 s. Lấy π = 3,14. Tìm v, a tại x = −3 cm khi vật đi về O.

A = 5 cm; T = $\frac{78,5}{50}$ = 1,57 s; ω = 4 rad/s. Vật đi theo chiều dương nên v = +4√(25 − 9) = +16 cm/s. a = −16 × (−3) = +48 cm/s².

Ví dụ 5. Thời gian ngắn nhất giữa các trạng thái

Vật có x = 10cos( $\frac{4 π t}{3}$ − $\frac{2 π}{3}$ ) cm, nên A = 10 cm, T = 1,5 s, ω = $\frac{4 π}{3}$ rad/s. Trong a–g không ấn định chiều đầu; ở h có ấn định chiều.

Chặng chuyển động	Góc pha cần quét nhỏ nhất	Thời gian
a) O → +5 cm	$\frac{π}{6}$	0,125 s
b) +10 → +5√3 cm	$\frac{π}{6}$	0,125 s
c) −5√2 → +5 cm	$\frac{5 π}{12}$	0,3125 s
d) −5 → −5√3 cm	$\frac{π}{6}$	0,125 s
e) +5√2 → +5√3 cm	$\frac{π}{12}$	0,0625 s
f) O → +7 cm	arcsin(0,7)	≈ 0,1851 s
g) −10 → +3 cm	π − arccos(0,3)	≈ 0,4477 s
h) +5 cm, chiều âm → −2 cm, chiều dương	2π − arccos(−0,2) − $\frac{π}{3}$	≈ 0,8269 s

Mỗi kết quả dùng Δt = $\frac{Δ θ}{ω}$ . Riêng h, vật phải đến biên âm rồi quay lại −2 cm; bỏ điều kiện chiều sẽ cho một thời gian khác.

Ví dụ 6. Quãng đường qua nhiều chu kì

Vật có A = 4 cm, T = 2 s. Tính quãng đường trong 4 s và 9 s, không phụ thuộc pha đầu.

4 s = 2T nên S = 8A = 32 cm. 9 s = 4,5T = $\frac{9 T}{2}$ nên S = 18A = 72 cm.

Ví dụ 7. So sánh đồ thị li độ và vận tốc

Dùng đồ thị chuẩn hóa ở trên, xác định quan hệ pha và sự thay đổi vận tốc trong bốn phần tư chu kì.

v = ωAcos(ωt + $\frac{π}{2}$ ), nên v sớm pha $\frac{π}{2}$ so với x. Trong bốn phần tư liên tiếp, v lần lượt: 0→−ωA; −ωA→0; 0→+ωA; +ωA→0. Các chặng được tóm tắt trong bảng phía trên.

Ví dụ 8. Đọc đồ thị x–t

Đồ thị cho A = 2 cm, T = 0,4 s; vật qua O theo chiều âm tại t = 0. Tính tốc độ lúc đầu, amax và a(0,1 s).

ω = 5π rad/s; |v(0)| = ωA = 10π cm/s. amax = ω²A = 50π² cm/s². Ở 0,1 s = $\frac{T}{4}$ , vật ở x = −2 cm nên a = +50π² cm/s².

Ví dụ 9. Đọc đồ thị v–t

Từ đồ thị, tính v(0), tốc độ cực đại và gia tốc tại t = 0,1 s.

v(0) = +2,5 cm/s; vmax = 5 cm/s. Tại 0,1 s, v = −5 cm/s: vật qua O theo chiều âm, nên a = 0. Không nhầm vận tốc −5 cm/s với tốc độ 5 cm/s.

Ví dụ 10. Đọc đồ thị a–t

Tính x(0), độ lớn gia tốc cực đại và gia tốc tại 1 s; 1,5 s; 2,5 s.

a(0) = 0 nên x(0) = 0. amax = 2 m/s²; a(1) = 0, a(1,5) = −2 m/s², a(2,5) = +2 m/s². Đồ thị tương ứng a = 2sin(πt) m/s².

Lỗi thường gặp

Cho rằng tại biên a = 0 vì v = 0.
Luôn chọn dấu dương khi lấy căn từ v².
Nhầm dấu âm của vận tốc với chậm dần.
Trộn cm/s² với m/s² hoặc bỏ bình phương ở ω².

Tự kiểm tra

Câu 1. Vật có A = 4 cm, ω = 10 rad/s. Tìm vmax và amax.

Xem đáp án và lời giải

vmax = 40 cm/s; amax = 400 cm/s² = 4 m/s².

Câu 2. Vật ở x > 0 và đi ra xa O. Xác định dấu v, a.

Xem đáp án và lời giải

v > 0, a < 0; vật chậm dần.

Câu 3. Biết vmax = 20 cm/s; khi |v| = 10 cm/s thì |a| = 40√3 cm/s². Tìm A.

Xem đáp án và lời giải

ω² = $\frac{{(40 \sqrt{3})}^{2}}{20^{2} - 10^{2}}$ = 16; ω = 4 rad/s; A = $\frac{20}{4}$ = 5 cm.

Công thức cần ghi nhớ

Vận tốc

v = - ω A \sin (ω t + φ)

Gia tốc

a = - ω^{2} x

Giá trị cực đại

v_{max} = ω A; a_{max} = ω^{2} A

Hệ thức độc lập thời gian

v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})

Ở biên: v = 0, |a| cực đại. Ở O: |v| cực đại, a = 0. Gia tốc luôn thỏa a = −ω²x.

Học tiếp và luyện tập

← Tổng hợp Vật lí 11 Chương 1: Dao động