TOÁN 8 · 7 HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC
Lập phương của một tổng và một hiệu – Toán 8
Dãy hệ số 1–3–3–1 là dấu hiệu của lập phương. Lũy thừa của A giảm từ 3 về 0, còn lũy thừa của B tăng từ 0 lên 3.
Khai triển lập phương tổng, hiệu; nhận dạng theo chiều ngược; kiểm dấu và hệ số.
Kiến thức cần nhớ: Ba hằng đẳng thức bậc hai và nhân đa thức.
Nhìn hình để hiểu
Hai công thức lập phương
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³. (A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³. Các công thức đúng với mọi biểu thức A, B trong phạm vi xác định.
Vì sao xuất hiện 1–3–3–1?
Nhân (A + B)² với A + B: nhóm A²B xuất hiện ba lần, nhóm AB² cũng ba lần. Với hiệu, thay B bằng −B: các hạng tử chứa lũy thừa lẻ của B đổi dấu, tạo dãy +, −, +, −.
Đừng nhầm lập phương tổng với tổng lập phương
(A + B)³ chứa cả hai hạng tử hỗn hợp 3A²B và 3AB². A³ + B³ chỉ có hai hạng tử và dùng công thức phân tích thành nhân tử khác. Chẳng hạn (1 + 2)³ = 27 nhưng 1³ + 2³ = 9.
Ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1
Khai triển (2x − 1)³.
- A = 2x, B = 1. Các độ lớn: 8x³, 12x², 6x, 1.
- Gán dấu xen kẽ +, −, +, −.
- Kết quả 8x³ − 12x² + 6x − 1.
Ví dụ 2
Viết x³ + 6x² + 12x + 8 thành lập phương.
- Đầu là x³, cuối 8 = 2³; thử A = x, B = 2.
- 3A²B = 6x² và 3AB² = 12x đều khớp.
- Biểu thức bằng (x + 2)³.
Ví dụ 3
Tính nhanh 21³.
- Viết 21³ = (20 + 1)³.
- Tính 20³ + 3·20²·1 + 3·20·1² + 1³.
- Được 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261.
Lỗi thường gặp
- Không nhầm hệ số 3 với hệ số 2 của bình phương.
- Ở lập phương hiệu, hạng tử thứ ba mang dấu cộng.
- Số mũ tổng của mỗi hạng tử đều bằng 3.
Em tự thử trước khi mở lời giải
Hạng tử chứa x² trong (x − 2)³ là?
Xem giải thích
Hạng tử đó là −3·x²·2 = −6x².
Câu 2 · Trả lời ngắn
Tính 9³.
Xem lời giải sau khi tự làm
(10 − 1)³ = 1000 − 300 + 30 − 1 = 729.
Câu 3 · Tự luận
Khai triển (a + 3b)³.
Xem lời giải sau khi tự làm
a³ + 3a²·3b + 3a·(3b)² + (3b)³ = a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.
Câu 4 · Tự luận
Viết 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ dưới dạng lập phương.
Xem lời giải sau khi tự làm
Chọn A = 2x, B = y. Hai hạng tử giữa là 3(2x)²y = 12x²y và 3(2x)y² = 6xy². Biểu thức bằng (2x + y)³.
Câu 5 · Tự luận
Sửa lỗi: (x − 3)³ = x³ − 9x² − 27x − 27.
Xem lời giải sau khi tự làm
Hạng tử thứ ba phải là +3·x·3² = +27x. Kết quả đúng x³ − 9x² + 27x − 27.
Câu 6 · Tự luận
Rút gọn (x + 1)³ − (x − 1)³.
Xem lời giải sau khi tự làm
Khai triển và đổi dấu ngoặc thứ hai: x³ + 3x² + 3x + 1 − x³ + 3x² − 3x + 1 = 6x² + 2.
Sơ đồ ghi nhớ
- Hệ số 1–3–3–1.
- Mũ A giảm, mũ B tăng.
- Tổng: toàn dấu cộng.
- Hiệu: + − + −.
Luyện tập và học tiếp
Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.