Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 14
Mục tiêu và kiến thức nền
Đo độ phân tán của mẫu không ghép nhóm; hiểu đơn vị và vai trò số ngoại lệ.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Hai nhóm cùng điểm trung bình 7 nhưng nhóm nào học đều hơn? Muốn trả lời, cần xem các điểm cách trung bình bao xa, không chỉ nhìn số trung bình.
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên R=xmax−xmin đo bề rộng toàn bộ mẫu. Khoảng tứ phân vị ΔQ=Q₃−Q₁ mô tả độ rộng của phần giữa mẫu, ít bị chi phối bởi hai giá trị cực đoan. Theo quy tắc thường dùng, quan sát nhỏ hơn Q₁−1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q₃+1,5ΔQ được xem là giá trị ngoại lệ. Ngoại lệ không có nghĩa chắc chắn nhập sai: cần tìm hiểu nguyên nhân trước khi loại.
Phương sai và độ lệch chuẩn
Với mẫu n số, phương sai mô tả trong Toán 10 là s²=[(x₁−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²]/n. Độ lệch chuẩn s=√s², cùng đơn vị với dữ liệu. Có thể tính s²=(x₁²+…+xₙ²)/n−x̄². Với bảng tần số, nhân mỗi bình phương với tần số. Đây là công thức chia n; không nhầm với công thức ước lượng chia n−1 trong một số phần mềm thống kê.
Đọc kết quả có ngữ cảnh
Phương sai và độ lệch chuẩn không âm; bằng 0 khi tất cả quan sát bằng nhau. Khi cùng đại lượng và cùng đơn vị, độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho thấy số liệu gần trung bình hơn. Cộng cùng một hằng số vào mọi quan sát không đổi độ phân tán. Nhân mọi quan sát với k làm độ lệch chuẩn nhân |k| và phương sai nhân k².
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Tính theo từng bước
Với 2,4,6, trung bình là 4. Các độ lệch −2,0,2 có bình phương 4,0,4; s²=8/3 và s=√(8/3)≈1,63. Khoảng biến thiên R=6−2=4.
VÍ DỤ 2
Cùng trung bình, khác độ ổn định
Nhóm A: 6,7,8; nhóm B: 3,7,11. Cùng trung bình 7. A có s²=(1+0+1)/3=2/3; B có s²=(16+0+16)/3=32/3. Nhóm A tập trung quanh 7 hơn.
VÍ DỤ 3
Kiểm tra ngoại lệ
Nếu Q₁=10, Q₃=14 thì ΔQ=4. Hai ngưỡng là 4 và 20. Quan sát 22 vượt ngưỡng trên nên là ngoại lệ theo quy tắc này; giá trị 20 đúng bằng ngưỡng không bị xếp ngoài bằng dấu >.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Độ lệch cộng lại bằng 0 nên không dùng tổng độ lệch làm độ phân tán.
- Phương sai có đơn vị bình phương; độ lệch chuẩn giữ đơn vị gốc.
- Không tự xóa ngoại lệ để làm kết quả đẹp.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Mẫu nào có phương sai bằng 0?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án B.
Tất cả quan sát bằng nhau nên mọi độ lệch khỏi trung bình bằng 0.
Câu 2. Khoảng biến thiên của 3; 8; 5; 10 là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 7.
Giá trị lớn nhất 10, nhỏ nhất 3; R=7.
Câu 3. Mẫu 2,4,6 có trung bình 4.
- Phương sai là 8/3.
- Độ lệch chuẩn là 8/3.
- Cộng 10 vào mọi số không đổi phương sai.
- Nhân mọi số với 2 làm phương sai nhân 4.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
a) (4+0+4)/3=8/3. b) Sai, s=√(8/3). c) Độ lệch khỏi trung bình giữ nguyên. d) Các bình phương độ lệch nhân 2².
Câu 4. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của 1; 1; 3; 3.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Trung bình 2. Bốn bình phương độ lệch đều bằng 1. s²=4/4=1; s=1.
Câu 5. Q₁=5,Q₃=9. Tính hai ngưỡng ngoại lệ và xét giá trị 16.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
ΔQ=4. Ngưỡng dưới=5−6=−1; trên=9+6=15. Vì 16>15 nên là ngoại lệ theo quy tắc 1,5ΔQ.
Câu 6. Một bảng cho s²=−0,2. Có thể chấp nhận đây là phương sai không?
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Không. Phương sai là trung bình các bình phương nên luôn không âm. Cần kiểm dữ liệu, công thức hoặc sai số làm tròn nếu tính bằng hiệu hai số gần nhau.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.