Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp – Toán 10

TOÁN 10 · BÀI 24

Chọn ba bạn vào một đội và chọn ba bạn lần lượt làm đội trưởng, thư ký, báo cáo viên là hai bài khác nhau. Cùng ba người nhưng đổi vai trò tạo kết quả mới trong bài thứ hai. Câu hỏi “thứ tự có quan trọng không?” giúp chọn đúng công thức.

Hoán vị: dùng tất cả và có thứ tự

Sắp xếp n đối tượng phân biệt vào n vị trí có Pₙ=n! cách, với n!=1·2·…·n và quy ước 0!=1. Các đối tượng phân biệt là điều kiện quan trọng. Xếp 4 học sinh khác nhau thành một hàng có 4!=24 cách. Nếu xếp quanh vòng tròn hoặc có vật giống nhau, không tự áp n! mà chưa phân tích cách coi hai kết quả là khác.

Chỉnh hợp và tổ hợp

Chọn k trong n đối tượng phân biệt rồi xếp vào k vị trí có thứ tự: Aₙᵏ=n!/(n−k)!. Chọn k đối tượng không xét thứ tự: Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!], với 0≤k≤n. Vì một nhóm k người có k! cách xếp thứ tự, Aₙᵏ=k!Cₙᵏ. Tổ hợp có Cₙ⁰=Cₙⁿ=1 và Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ.

Có điều kiện về nhóm

Khi chọn đội gồm đúng r người thuộc nhóm A và k−r thuộc nhóm B, chọn từng nhóm bằng tổ hợp rồi nhân. Nếu yêu cầu “ít nhất một”, đếm bù thường ngắn hơn: tổng số đội trừ số đội không có người nhóm đó. Điều kiện vai trò, vị trí hoặc thứ tự phải được xét trước khi dùng công thức.

Công thức và điều kiện cần nhớ

Ví dụ có lời giải

Lỗi thường gặp và cách tự kiểm

• Cₙᵏ và Aₙᵏ khác nhau bởi thứ tự.
• Điều kiện “ít nhất” không phải “đúng một”.
• Không dùng n! cho bài có lặp hoặc đối tượng không phân biệt nếu chưa xử lí.

Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng

Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.

Sơ đồ ghi nhớ

Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.