Động năng, thế năng và cơ năng dao động

Vật lí 11 · Chương 1: Dao động · Chủ đề 4

Tính động năng, thế năng, cơ năng; giải thích sự trao đổi năng lượng và đọc đồ thị năng lượng.

Động năng và thế năng trao đổi, tổng cơ năng không đổi.

Mục tiêu và kiến thức nền

Tính động năng, thế năng, cơ năng; giải thích sự trao đổi năng lượng và đọc đồ thị năng lượng.

Nắm động năng và thế năng đàn hồi. Đổi g sang kg, cm sang m, mJ sang J trước khi tính năng lượng theo SI.

Hiểu khái niệm

Trong dao động điều hòa lý tưởng, năng lượng chuyển qua lại giữa động năng và thế năng nhưng tổng cơ năng không đổi. Từ biên về O, thế năng giảm và động năng tăng; từ O ra biên, động năng giảm và thế năng tăng.

Công thức và điều kiện áp dụng

Động năng

W_{đ} = \frac{m v^{2}}{2} = \frac{m ω^{2} (A^{2} - x^{2})}{2}

m tính bằng kg, v bằng m/s; Wđ tính bằng J.

Thế năng dao động

W_{t} = \frac{m ω^{2} x^{2}}{2}

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Với con lắc lò xo, mω² = k.

Cơ năng

W = W_{đ} + W_{t} = \frac{m ω^{2} A^{2}}{2}

Không đổi khi bỏ qua ma sát và không có ngoại lực truyền thêm năng lượng.

Theo thời gian

W_{t} = W \cos^{2} (ω t + φ); W_{đ} = W \sin^{2} (ω t + φ)

Chu kì năng lượng TE = $\frac{T}{2}$ ; tần số năng lượng bằng 2f.

Tỉ số năng lượng

\frac{W_{t}}{W} = \frac{x^{2}}{A^{2}}; \frac{W_{đ}}{W} = \frac{v^{2}}{{v_{max}}^{2}}

Đây là các tỉ số không thứ nguyên, mỗi giá trị nằm từ 0 đến 1.

Phương pháp giải

Bước 1: thống nhất đơn vị SI. Bước 2: tính W từ biên độ hoặc từ trạng thái đã biết. Bước 3: tính Wt bằng li độ hoặc Wđ bằng vận tốc. Bước 4: lấy tổng trừ phần đã biết để tìm phần còn lại. Cuối cùng kiểm tra 0 ≤ Wđ, Wt ≤ W.

Phân biệt thế năng dao động với thế năng đàn hồi

Với lò xo ngang, mốc tại O, Wt = $\frac{k x^{2}}{2}$ . Với lò xo treo đứng, x đo từ vị trí cân bằng: thế năng dao động $\frac{k x^{2}}{2}$ là tổng thế năng đàn hồi và trọng trường sau khi chọn lại mốc. Không thay thế nó bằng $\frac{k {(Δ ℓ)}^{2}}{2}$ , vốn là thế năng đàn hồi riêng với Δℓ đo từ chiều dài tự nhiên. Tại x = ±A: Wt = W, Wđ = 0. Tại O: Wt = 0, Wđ = W. Tại |x| = $\frac{A}{\sqrt{2}}$ : hai năng lượng bằng nhau.

Ví dụ có lời giải

Con lắc lò xo ngang có k = 100 N/m, A = 4 cm. Đổi A = 0,04 m: W = 100 × $\frac{{0,04}^{2}}{2}$ = 0,08 J. Tại x = 2 cm = 0,02 m: Wt = 100 × $\frac{{0,02}^{2}}{2}$ = 0,02 J; Wđ = 0,08 − 0,02 = 0,06 J.

Con lắc lò xo và con lắc đơn

Hệ	Tần số góc và chu kì	Năng lượng
Lò xo lí tưởng	ω = √( $\frac{k}{m}$ ); T = 2π√( $\frac{m}{k}$ )	E = $\frac{k A^{2}}{2}$ ; Wt = $\frac{k x^{2}}{2}$
Con lắc đơn, góc nhỏ	ω ≈ √( $\frac{g}{l}$ ); T ≈ 2π√( $\frac{l}{g}$ )	E ≈ $\frac{m g l {α_{0}}^{2}}{2}$ ; Wt ≈ $\frac{m g l α^{2}}{2}$
Con lắc đơn, góc bất kì trong chuyển động qua lại	Không dùng công thức chu kì góc nhỏ cho góc lớn	Wt = mgl(1 − cosα); E = mgl(1 − cosα₀)

Với con lắc đơn, α và α₀ trong công thức gần đúng phải tính bằng radian; li độ cung s = lα. Khi thả nhẹ từ biên và không có ma sát, động năng chính xác là Wđ = mgl(cosα − cosα₀), vận tốc thỏa v² = 2gl(cosα − cosα₀).

Động năng và thế năng phụ thuộc li độ; tổng hai năng lượng luôn bằng E.

Vị trí	$\frac{W_{t}}{E}$	$\frac{W_{đ}}{E}$
x = 0	0	1
\|x\| = $\frac{A}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$
\|x\| = $\frac{A}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
\|x\| = $\frac{A \sqrt{3}}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$
\|x\| = A	1	0

W_{đ} = n W_{t} ⇒ | x | = \frac{A}{\sqrt{n + 1}}

| v | = ω A √ [\frac{n}{n + 1}]

Với n = 1, hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng cách nhau $\frac{T}{4}$ . Với n khác 1, các khoảng liên tiếp nhìn chung không bằng nhau.

Bốn ví dụ về năng lượng

Ví dụ 1. Tính cơ năng từ v và a

Con lắc ngang có m = 1 kg, k = 50 N/m. Khi v = 0,2 m/s thì a = −√3 m/s². Tính cơ năng.

x = − $\frac{m a}{k}$ = $\frac{\sqrt{3}}{50}$ m. E = $\frac{m v^{2}}{2}$ + $\frac{k x^{2}}{2}$ = 0,02 + 0,03 = 0,05 J.

Ví dụ 2. Sáu yêu cầu từ một phương trình

Vật khối lượng 100 g có x = 5cos(2πt − $\frac{π}{3}$ ) cm; lấy π² = 10. Tìm cơ năng, các năng lượng và tỉ số sau đây.

a) E = $\frac{m ω^{2} A^{2}}{2}$ = 0,1 × 4π² × $\frac{{0,05}^{2}}{2}$ = 0,005 J = 5 mJ.

b) Tại x = 3 cm: Wđ = $\frac{m ω^{2} (A^{2} - x^{2})}{2}$ = 0,0032 J = 3,2 mJ.

c) Khi tốc độ bằng 6π cm/s: Wt = E − $\frac{m v^{2}}{2}$ = 0,005 − 0,0018 = 0,0032 J.

d) Khi Wđ = 3Wt: x = ± $\frac{A}{2}$ = ±2,5 cm; v = ± $\frac{ω A \sqrt{3}}{2}$ = ±5π√3 cm/s. Chọn dấu theo chiều chuyển động.

e) Tại x = 2 cm: $\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ = $\frac{25 - 4}{4}$ = $\frac{21}{4}$ .

f) Khi tốc độ bằng 5π cm/s = $\frac{v_{max}}{2}$ : $\frac{W_{đ}}{E}$ = $\frac{1}{4}$ ; $\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ = $\frac{1}{3}$ .

Ví dụ 3. Năng lượng con lắc đơn

Con lắc có m = 1 kg, l = 2 m, α₀ = 0,175 rad, g = 9,8 m/s². Tính cơ năng và tốc độ ở đáy.

Theo công thức chính xác: E = mgl(1 − cosα₀) ≈ 0,29936 J; vmax = √( $\frac{2 E}{m}$ ) ≈ 0,7738 m/s.

Theo gần đúng góc nhỏ: E ≈ $\frac{m g l {α_{0}}^{2}}{2}$ = 0,300125 J, vmax ≈ 0,7748 m/s. Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy: E ≈ 0,30 J, vmax ≈ 0,77 m/s.

Ví dụ 4. Tần số từ đồ thị thế năng

Con lắc lò xo nằm ngang có thế năng như hình. Một cực đại ở 5 ms, cực tiểu kế tiếp ở 15 ms. Tìm tần số dao động.

Từ cực đại đến cực tiểu của thế năng mất $\frac{T E}{2}$ = 10 ms. Vậy TE = 20 ms, T = 2TE = 40 ms = 0,040 s; f = 25 Hz.

Điều kiện lò xo nằm ngang bảo đảm thế năng đàn hồi $\frac{k x^{2}}{2}$ cũng là thế năng dao động. Với lò xo đứng, phải phân biệt thế năng đàn hồi riêng và tổng thế năng dao động.

Lỗi thường gặp

Dùng số đo cm trong công thức SI rồi ghi kết quả J.
Ghi cả động năng và thế năng cùng tỉ lệ cos²θ.
Lấy chu kì năng lượng bằng chu kì li độ.
Bảo toàn cơ năng cho hệ có ma sát mà không tính năng lượng hao hụt.

Tự kiểm tra

Câu 1. Tăng biên độ gấp 3 trong cùng hệ. Cơ năng tăng mấy lần?

Xem đáp án và lời giải

W ∝ A², nên tăng 9 lần.

Câu 2. Vật dao động với f = 2 Hz. Tần số biến thiên động năng?

Xem đáp án và lời giải

fE = 2f = 4 Hz.

Câu 3. Tại x = $\frac{A}{2}$ , động năng và thế năng chiếm bao nhiêu cơ năng?

Xem đáp án và lời giải

$\frac{W_{t}}{W}$ = $\frac{1}{4}$ ; $\frac{W_{đ}}{W}$ = $\frac{3}{4}$ .

Công thức cần ghi nhớ

Cơ năng

E = \frac{m ω^{2} A^{2}}{2}

Thế năng

W_{t} = \frac{m ω^{2} x^{2}}{2}

Động năng

W_{đ} = \frac{m v^{2}}{2} = E - W_{t}

Chu kì biến thiên năng lượng

T_{E} = \frac{T}{2}

Năng lượng đổi dạng nhưng tổng bảo toàn trong mô hình lý tưởng. Động năng và thế năng lặp lại sau $\frac{T}{2}$ .

Học tiếp và luyện tập

← Tổng hợp Vật lí 11 Chương 1: Dao động