Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất – Toán 11 Bài 29 – Gia Sư SV

Khi cộng số người thích Toán với số người thích Anh, nhóm thích cả hai đã bị đếm hai lần. Công thức cộng xác suất xử lí chính phần đếm lặp ấy.

Mục tiêu: Áp dụng công thức cộng tổng quát, trường hợp xung khắc và biến cố đối; kiểm tra dữ liệu xác suất.

Kiến thức nền: tập hợp, biến cố và xác suất cổ điển.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Công thức cộng tổng quát

Với mọi hai biến cố: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Trừ phần giao vì phần đó được tính trong cả P(A) và P(B). Công thức không đòi hỏi A,B độc lập.

Ghi nhớ: các trường hợp đặc biệt

Nếu A,B xung khắc, $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ . Với biến cố đối, $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ . “Ít nhất một” thường tính nhanh bằng 1 trừ xác suất “không có trường hợp nào”. Muốn tính xác suất giao bằng tích vẫn phải có độc lập.

Kiểm tra tính hợp lí

Luôn có $0 \leq P (A \cap B) \leq min (P (A), P (B))$ và $max (P (A), P (B)) \leq P (A \cup B) \leq 1$ . Nếu công thức cho xác suất vượt 1 hoặc âm, cần kiểm tra dữ kiện và cách nhận diện biến cố, không làm tròn để che lỗi.

Sơ đồ mô tả quan hệ tập hợp, không biểu diễn diện tích tỉ lệ với xác suất. Độc lập phải xét bằng dữ kiện của phép thử.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Số học sinh thuộc hai nhóm

Một lớp có 40 học sinh, 22 thích Toán, 18 thích Anh, 8 thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một em. Tính xác suất em đó thích ít nhất một môn.

Số em thuộc hợp là 22+18−8=32.
Xác suất bằng $32 / 40 = 4 / 5 = 0, 8$ .
Có 8 em không thích môn nào trong hai môn; xác suất của biến cố đối là 0,2.

Ví dụ 2. Không cần độc lập

Cho P(A)=0,6; P(B)=0,5; P(AB)=0,2. Tính P(A∪B).

Áp dụng công thức tổng quát: 0,6+0,5−0,2=0,9.
Không được thay 0,2 bằng 0,6×0,5 vì đề không nói độc lập.

Ví dụ 3. Tìm xác suất giao

Biết P(A)=0,4; P(B)=0,7; P(A∪B)=0,8. Tính P(AB).

Chuyển vế công thức cộng: P(AB)=0,4+0,7−0,8=0,3.
Kết quả không vượt 0,4 hoặc 0,7 nên phù hợp.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Chỉ bỏ phần giao khi có xung khắc.
Không tự thay giao bằng tích khi chưa có độc lập.
Đổi đúng “ít nhất một” thành đối của “không cái nào”.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Một lớp 30 em: 12 em thuộc A, 10 thuộc B, 5 thuộc cả hai. Có bao nhiêu em không thuộc A lẫn B?

Xem lời giải

Hợp có 22−5 em, phần ngoài hợp có 30−(22−5)=13 em.

Bài tự luyện 2

Một lớp 30 em: 12 em thuộc A, 10 thuộc B, 6 thuộc cả hai. Có bao nhiêu em không thuộc A lẫn B?

Xem lời giải

Hợp có 22−6 em, phần ngoài hợp có 30−(22−6)=14 em.

Bài tự luyện 3

Một lớp 30 em: 12 em thuộc A, 10 thuộc B, 7 thuộc cả hai. Có bao nhiêu em không thuộc A lẫn B?

Xem lời giải

Hợp có 22−7 em, phần ngoài hợp có 30−(22−7)=15 em.

Bài tự luyện 4

Một lớp 30 em: 12 em thuộc A, 10 thuộc B, 8 thuộc cả hai. Có bao nhiêu em không thuộc A lẫn B?

Xem lời giải

Hợp có 22−8 em, phần ngoài hợp có 30−(22−8)=16 em.

Bài tự luyện 5

Chọn đều một số từ 1 đến 20. Tính xác suất số đó chia hết cho 2 hoặc 3.

Xem lời giải

Có 10 số chia hết cho 2, 6 số chia hết cho 3, 3 số chia hết cho cả hai (6,12,18). Hợp có 10+6−3=13 số. Xác suất $13 / 20 = 0, 65$ .

Bài tự luyện 6

Biết P(A)=0,7 và P(B)=0,6. Một bạn cho P(AB)=0,1. Dữ liệu có hợp lí không?

Xem lời giải

Nếu giao bằng 0,1 thì hợp bằng 0,7+0,6−0,1=1,2>1, vô lí. Thực tế P(AB) phải ít nhất bằng 0,7+0,6−1=0,3.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.