Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm – Toán 11 Bài 31 – Gia Sư SV

Đạo hàm đo tốc độ thay đổi tức thời. Nó nối hệ số góc tiếp tuyến trong hình học với vận tốc tức thời trong chuyển động.

Mục tiêu: Tính đạo hàm tại điểm bằng giới hạn; lập tiếp tuyến; phân biệt vận tốc trung bình và tức thời.

Kiến thức nền: hàm số, giới hạn, mũ–lôgarit và lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Định nghĩa qua số gia

Đạo hàm của f tại $x_{0}$ là giới hạn hữu hạn $f^{'} (x_{0}) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ , nếu giới hạn tồn tại. Trong thương số, $h \neq 0$ ; sau rút gọn mới cho h tiến về 0. Đạo hàm trên khoảng gán mỗi x với đạo hàm tại điểm x.

Ghi nhớ: tiếp tuyến

Nếu f có đạo hàm tại $x_{0}$ , tiếp tuyến đồ thị tại $M (x_{0}; f (x_{0}))$ có phương trình $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ . Hệ số góc là $f^{'} (x_{0})$ . Muốn viết tiếp tuyến cần đủ ba giá trị: hoành độ tiếp điểm, tung độ tiếp điểm và hệ số góc.

Ý nghĩa và mối quan hệ với liên tục

Với tọa độ s(t) tính bằng mét và thời gian t bằng giây, vận tốc tức thời $v (t) = s^{'} (t)$ có đơn vị m/s. Vận tốc trung bình trên đoạn thời gian là thương độ dời với thời gian, không mặc nhiên bằng vận tốc tức thời. Có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm; chiều ngược lại sai, như $| x |$ liên tục nhưng không có đạo hàm tại 0.

Đạo hàm của x² tại 1 bằng 2. Tiếp tuyến có hệ số góc 2 và đi qua M(1;1), nên có phương trình y = 2x − 1.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Định nghĩa tại một điểm

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của $f (x) = x^{2}$ tại $x_{0} = 2$ .

$f (2 + h) - f (2) = (2 + h)^{2} - 4 = 4 h + h^{2}$ .
Với $h \neq 0$ , thương số bằng $4 + h$ .
Cho $h \to 0$ , được $f^{'} (2) = 4$ .

Ví dụ 2. Lập tiếp tuyến

Viết tiếp tuyến của $y = x^{2}$ tại x=2.

Tiếp điểm là $(2; 4)$ ; hệ số góc $f^{'} (2) = 4$ .
$y = 4 (x - 2) + 4 = 4 x - 4$ .
Thay x=2 vào tiếp tuyến được y=4, đúng tiếp điểm.

Ví dụ 3. Vận tốc tức thời

Vật chuyển động có tọa độ $s (t) = 3 t^{2} + 2 t$ m. Tính vận tốc tại t=1 s.

$v (t) = s^{'} (t) = 6 t + 2$ .
$v (1) = 8$ m/s.
Đây là vận tốc tại thời điểm 1 s, không phải tốc độ trung bình từ 0 đến 1 s.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không thay h=0 ngay trong phân thức số gia.
Tiếp tuyến phải đi qua đúng tiếp điểm.
Liên tục chưa đủ bảo đảm có đạo hàm.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Cho $s (t) = 2 t^{2} + 3 t$ m. Tính vận tốc tại $t = 1$ s (m/s).

Xem lời giải

$v (t) = 4 t + 3$ , nên $v (1) = 7$ m/s.

Bài tự luyện 2

Cho $s (t) = 2 t^{2} + 3 t$ m. Tính vận tốc tại $t = 2$ s (m/s).

Xem lời giải

$v (t) = 4 t + 3$ , nên $v (2) = 11$ m/s.

Bài tự luyện 3

Cho $s (t) = 2 t^{2} + 3 t$ m. Tính vận tốc tại $t = 3$ s (m/s).

Xem lời giải

$v (t) = 4 t + 3$ , nên $v (3) = 15$ m/s.

Bài tự luyện 4

Cho $s (t) = 2 t^{2} + 3 t$ m. Tính vận tốc tại $t = 4$ s (m/s).

Xem lời giải

$v (t) = 4 t + 3$ , nên $v (4) = 19$ m/s.

Bài tự luyện 5

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của $f (x) = x^{2} + 3 x$ tại x=1.

Xem lời giải

$f (1) = 4$ . Hiệu $f (1 + h) - f (1) = 5 h + h^{2}$ . Chia h (h khác 0) được 5+h. Giới hạn khi h tiến về 0 là 5, nên $f^{'} (1) = 5$ .

Bài tự luyện 6

Viết tiếp tuyến đồ thị $y = x^{2}$ tại điểm có hoành độ −2.

Xem lời giải

Tiếp điểm M(−2;4), hệ số góc f′(−2)=−4. Tiếp tuyến $y = - 4 (x + 2) + 4 = - 4 x - 4$ . Kiểm tra x=−2 cho y=4.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.