Gia Sư SV · Học chắc từng bước

Toán 12 Chương 3: Độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Học cách đọc bảng ghép nhóm, tính khoảng biến thiên, tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn qua ví dụ từng bước. So sánh độ phân tán đúng đại lượng, đúng thang đo và đúng đơn vị.

Chọn bài cần học

2 bài · 8 ví dụ có lời giải · 2 sơ đồ tư duy

Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Học theo thứ tự: kiến thức → ví dụ → tự kiểm tra → sơ đồ. Bảng và hình có thể vuốt ngang trong khung khi xem trên điện thoại.

Bài 1 · Toán 12 · Chương 3

Bài 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Mục tiêu: biết lập tần số tích lũy, chọn đúng nhóm chứa tứ phân vị và diễn giải độ phân tán.

Bảng dưới đây là số liệu minh họa để học cách đọc nhóm, tìm vị trí và nội suy; các bài luyện tập gốc vẫn được liên kết ở cuối.

1. Hiểu bảng trước khi tính

Nhóm [a; b) chứa các giá trị từ a đến dưới b. Tần số là số quan sát trong nhóm; tổng tần số n phải dương. Tần số tích lũy cho biết số quan sát tính đến hết một nhóm.

Sắp các nhóm tăng dần, kiểm độ rộng và tránh các nhóm chồng lấn. Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm bằng mút phải nhóm cuối có quan sát trừ mút trái nhóm đầu có quan sát. Không thay các mút bằng trung điểm nhóm.

2. Tìm nhóm và nội suy

Q₁=L+n/4−Ffh
Q₃=L+3n/4−Ffh

Trong mỗi công thức: L là mút trái nhóm chứa tứ phân vị; F là tần số tích lũy trước nhóm; f > 0 là tần số riêng của nhóm; h là độ rộng nhóm đó. Các tham số của Q₁ và Q₃ thường thuộc hai nhóm khác nhau.

Chọn nhóm bằng cách đối chiếu vị trí n4 hoặc 3n4 với tần số tích lũy. Khi vị trí đúng tại biên tích lũy của hai nhóm liền nhau, nội suy ở hai phía cho cùng mút chung. Nếu có khoảng trống hoặc nhóm tần số 0 ở giữa, cần theo quy ước của bảng và không chia cho 0.

Diễn giải: IQR = Q₃ − Q₁ đo độ trải rộng của khoảng 50% giá trị ở giữa. IQR ít nhạy với các giá trị rất xa hơn khoảng biến thiên. Cả hai cùng đơn vị với số liệu. Từ bảng ghép nhóm thường không khôi phục chính xác giá trị nhỏ nhất, lớn nhất hoặc từng ngoại lệ của dữ liệu thô.

Quy tắc 1,5IQR nhận diện giá trị dưới Q₁ − 1,5IQR hoặc trên Q₃ + 1,5IQR. Đây là dấu hiệu cần xem xét, không phải bằng chứng dữ liệu sai. Giữ số chưa làm tròn đến bước kết luận.

Bảng mẫu: thời gian tự học trong ngày (phút)
Nhóm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Tần số	2	8	12	6	4
Tích lũy	2	10	22	28	32

Tứ phân vị nội suy của bảng 32 học sinh: Q₁ = 17,5 và Q₃ = 100/3 phút. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1.1. Đọc bảng và khoảng biến thiên

Dùng bảng thời gian tự học phía trên. Tính cỡ mẫu và khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm.

Tổng tần số n = 2 + 8 + 12 + 6 + 4 = 32.
Nhóm đầu và cuối có quan sát là [0; 10) và [40; 50). Lấy mút phải cuối trừ mút trái đầu.

Kết luận: n = 32, R = 50 − 0 = 50 phút. Đây không phải khoảng biến thiên chính xác của dữ liệu thô.

Ví dụ 1.2. Nội suy Q₁ và Q₃

Dùng cùng bảng, xác định hai tứ phân vị.

Vị trí Q₁ là n4 = 8, thuộc nhóm [10; 20): L = 10, F = 2, f = 8, h = 10. Q₁ = 10 + 8−28×10 = 17,5.
Vị trí Q₃ là 3n4 = 24, thuộc nhóm [30; 40): L = 30, F = 22, f = 6, h = 10. Q₃ = 30 + 24−226×10 = 1003.

Kết luận: Q₁ = 17,5 phút; Q₃ ≈ 33,33 phút.

Ví dụ 1.3. Khoảng tứ phân vị và ngưỡng ngoại lệ

Từ Q₁ = 17,5, Q₃ = 1003, tính IQR và hai ngưỡng 1,5IQR.

IQR = 1003 − 352 = 956 ≈ 15,83 phút.
Ngưỡng dưới là 352 − (32)(956) = −6,25; ngưỡng trên là 1003 + (32)(956) = 68512 ≈ 57,08.

Kết luận: IQR ≈ 15,83 phút. Giá trị dưới −6,25 hoặc trên 57,08 phút là ngoại lệ theo quy tắc này; không tự ý xóa dữ liệu.

Ví dụ 1.4. Tần số bằng 0 ở rìa

Ba nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30) có tần số lần lượt 0, 5, 3. Tính R.

Nhóm [0; 10) không có quan sát nên không dùng làm nhóm đầu.
Nhóm đầu thực sự là [10; 20), nhóm cuối là [20; 30).

Kết luận: R = 30 − 10 = 20, không phải 30.

Tự kiểm tra

Tần số tích lũy trước nhóm có phải tần số riêng của nhóm?
Từ bảng ghép nhóm có biết chính xác giá trị lớn nhất không?

Xem đáp án và giải thích

Không. Đó là tổng tần số các nhóm đứng trước.
Thường không; chỉ biết nhóm chứa giá trị đó.

Mở bài gốc và luyện tập

Bài 1: lý thuyết gốc, ví dụ và luyện tập

Sơ đồ tư duy cuối bài 1

Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Đọc sơ đồ bằng chữ

Đọc bảng: Cộng tần số để có n; lập cột tích lũy; Mỗi nhóm dùng đúng độ rộng của nó.
Khoảng biến thiên: R = mút phải cuối − mút trái đầu; Chỉ xét nhóm rìa có quan sát.
Nội suy tứ phân vị:Q=L+vị trí−Ffh; Vị trí Q₁: n4; vị trí Q₃: 3n4.
Diễn giải: IQR = Q₃ − Q₁; cùng đơn vị số liệu; Ngưỡng 1,5IQR giúp nhận diện ngoại lệ.

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 2 · Toán 12 · Chương 3

Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Mục tiêu: biết tính trung bình có trọng số, phương sai, độ lệch chuẩn và kiểm đơn vị.

1. Từ nhóm đến giá trị đại diện

Với nhóm [a_i; b_i), dùng trung điểm c_i=a_i+b_i2 làm giá trị đại diện. Tần số n_i là trọng số; n = Σn_i > 0. Số đặc trưng tính từ bảng ghép nhóm xấp xỉ đặc trưng của dữ liệu gốc, vì ta không biết từng giá trị trong nhóm.

¯x=∑n_ic_in
s²=∑n_i(c_i−¯x)²n=∑n_ic2in−¯x²
s=√s²

2. Quy trình tính và kiểm tra

Lập cột trung điểm, n_ic_i và n_ic_i².
Cộng các cột và tính x̄ với đủ chữ số.
Tính s² rồi lấy căn không âm để được s.
Kiểm s² ≥ 0, đơn vị và mức làm tròn đề yêu cầu.

Đúng công thức phổ thông: phương sai ở đây chia cho n. Không đổi sang n − 1 của phương sai mẫu hiệu chỉnh trong một số tài liệu thống kê khác. Nếu kết quả âm đáng kể, cần kiểm dữ liệu, bình phương và trọng số; không tự lấy trị tuyệt đối để sửa.

3. Hiểu kết quả

Phương sai có đơn vị bình phương, còn độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho biết số liệu tập trung hơn quanh trung bình trong cùng đại lượng và thang đo; điều đó không tự động đồng nghĩa với chất lượng tốt hơn.

Cộng cùng một hằng số vào mọi số liệu không đổi phương sai và độ lệch chuẩn. Nhân mọi số liệu với k làm phương sai nhân k² và độ lệch chuẩn nhân |k|. Khi đổi đơn vị đo, phải đổi cả kết quả theo quy tắc này.

Bảng tính mẫu cho thời gian (phút)
Nhóm	nᵢ	cᵢ	nᵢcᵢ	nᵢcᵢ²
[0; 10)	2	5	10	50
[10; 20)	4	15	60	900
[20; 30)	2	25	50	1250
Tổng	8	—	120	2200

Hai mẫu số liệu rời minh họa ý nghĩa độ phân tán, không dùng để thay bảng ghép nhóm ở ví dụ. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 2.1. Tính trung bình có trọng số

Dùng bảng mẫu phía trên. Tính số trung bình của mẫu ghép nhóm.

Trung điểm ba nhóm lần lượt là 5, 15, 25.
Cộng n_ic_i = 120; tổng tần số n = 8. Chia tổng có trọng số cho n.

Kết luận: x̄ = 1208 = 15 phút.

Ví dụ 2.2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn

Tiếp tục bảng mẫu, tính s² và s.

Dùng công thức rút gọn: s² = 22008 − 15² = 275 − 225 = 50.
Lấy căn không âm: s = √50 = 5√2. Kiểm tra s² ≥ 0.

Kết luận: s² = 50 phút²; s ≈ 7,07 phút.

Ví dụ 2.3. Kiểm bằng công thức độ lệch

Kiểm tra phương sai 50 bằng cách tính độ lệch so với 15.

Các độ lệch đại diện là −10, 0, 10; bình phương là 100, 0, 100.
Tổng có trọng số bằng 2 × 100 + 4 × 0 + 2 × 100 = 400; chia 8.

Kết luận: s² = 4008 = 50, khớp công thức rút gọn.

Ví dụ 2.4. Đổi đơn vị và so sánh

Một mẫu thời gian có s = 2 phút. Đổi sang giây; nếu cộng thêm 3 phút vào mọi số liệu thì s thay đổi thế nào?

Đổi phút ra giây là nhân mọi số liệu với 60; độ lệch chuẩn cũng nhân 60.
Cộng cùng một hằng số chỉ dịch chuyển trung bình; độ lệch so với trung bình được giữ nguyên.

Kết luận: độ lệch chuẩn là 120 giây. Cộng 3 phút vào mọi số liệu vẫn cho s = 2 phút.