TOÁN 12 · CHƯƠNG 3 · THỐNG KÊ
Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn
Tính trung bình có trọng số, phương sai và độ lệch chuẩn; hiểu vì sao cùng trung bình vẫn có thể khác độ đồng đều.
1. Từ giá trị đại diện đến độ phân tán
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán quanh số trung bình. Để tính, ta dùng trung điểm của mỗi nhóm và tần số của nhóm làm trọng số.
Hai nhóm học sinh có thể cùng thời gian tự học trung bình 25 phút nhưng mức chênh lệch giữa các bạn rất khác nhau. Độ lệch chuẩn giúp nhìn rõ sự khác biệt đó.
Với nhóm [aᵢ; bᵢ), giá trị đại diện là trung điểm cᵢ. Gọi nᵢ là tần số và n là tổng các tần số.
2. Ba công thức, một quy trình
Số trung bình có trọng số
Phương sai
Dạng thuận tiện khi lập bảng:
Độ lệch chuẩn
- Lập trung điểm cᵢ của từng nhóm.
- Tính tổng n, tổng nᵢcᵢ và tổng nᵢcᵢ².
- Tính x̄, rồi s², sau cùng lấy căn để có s.
- Kiểm tra đơn vị và chỉ làm tròn ở kết quả cuối.
3. Sáu ví dụ giải từng bước
| Nhóm | nᵢ | cᵢ | nᵢcᵢ | nᵢcᵢ² |
|---|---|---|---|---|
| [0; 10) | 2 | 5 | 10 | 50 |
| [10; 20) | 4 | 15 | 60 | 900 |
| [20; 30) | 2 | 25 | 50 | 1250 |
| Tổng | 8 | — | 120 | 2200 |
Ví dụ 1. Tính trung bình đúng trọng số
Tính số trung bình của bảng 2.
- Trung điểm: (0 + 10)/2 = 5; (10 + 20)/2 = 15; (20 + 30)/2 = 25.
- Nhân từng trung điểm với tần số: 2 × 5 + 4 × 15 + 2 × 25 = 120.
- Chia cho tổng tần số n = 8: x̄ = 120/8.
Kết quả: x̄ = 15 phút. Dù ví dụ này đối xứng, vẫn phải dùng công thức có trọng số.
Ví dụ 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Tiếp tục dùng bảng 2.
- Tổng nᵢcᵢ² = 2 × 5² + 4 × 15² + 2 × 25² = 2.200.
- s² = 2.200/8 − 15² = 275 − 225 = 50.
- s = √50 = 5√2 ≈ 7,0711.
Kết quả: s² = 50 phút²; s ≈ 7,07 phút (làm tròn đến hàng phần trăm).
Ví dụ 3. Kiểm lại bằng công thức độ lệch
Kiểm tra kết quả s² = 50 của ví dụ 2.
- Độ lệch của các trung điểm so với 15 là −10, 0, 10.
- Bình phương: 100, 0, 100. Nhân tần số: 200, 0, 200.
- Tổng bằng 400; s² = 400/8 = 50.
Kết quả: Hai công thức cho cùng s² = 50 phút²; đây là cách kiểm tra phép tính.
Ví dụ 4. Hai mẫu cùng trung bình
Các nhóm [0; 10), …, [40; 50) có trung điểm 5, 15, 25, 35, 45. Mẫu A có tần số 0, 2, 12, 2, 0; mẫu B có tần số 4, 2, 4, 2, 4.
- Cả hai có n = 16; tổng nᵢcᵢ = 400 nên x̄ = 25 phút.
- Mẫu A: s² = (2 × 10² + 2 × 10²)/16 = 25. Suy ra s = 5 phút.
- Mẫu B: s² = (4 × 20² + 2 × 10² + 2 × 10² + 4 × 20²)/16 = 225. Suy ra s = 15 phút.
Kết quả: Mẫu A tập trung hơn quanh trung bình. Kết luận này nói về độ đồng đều, không tự động khẳng định kết quả học tập tốt hơn.
Ví dụ 5. Khi tần số không bằng nhau
Các nhóm [0; 10), [10; 20), [20; 30) có tần số 1, 2, 7. Tính x̄ và s.
- n = 10; tổng nᵢcᵢ = 1 × 5 + 2 × 15 + 7 × 25 = 210. Suy ra x̄ = 21.
- Tổng nᵢcᵢ² = 25 + 450 + 4.375 = 4.850.
- s² = 4.850/10 − 21² = 485 − 441 = 44; s = √44.
Kết quả: x̄ = 21 phút; s ≈ 6,63 phút. Lấy (5 + 15 + 25)/3 = 15 sẽ bỏ mất trọng số.
Ví dụ 6. Đổi đơn vị và dịch chuyển dữ liệu
Một mẫu có s = 2 phút. Đổi sang giây; sau đó xét việc cộng thêm 3 phút vào mọi giá trị.
- Đổi phút sang giây là nhân dữ liệu với 60, nên s mới = 60 × 2 = 120 giây.
- Phương sai ban đầu 4 phút² đổi thành 60² × 4 = 14.400 giây².
- Cộng cùng 3 phút vào mọi giá trị chỉ dịch chuyển trung bình; các độ lệch so với trung bình giữ nguyên.
Kết quả: Đổi đơn vị: s = 120 giây. Cộng 3 phút: s vẫn bằng 2 phút, s² vẫn bằng 4 phút².
4. Tự kiểm tra và thử số liệu
5. Ghi nhớ và lỗi cần tránh
Tại sao máy tính ra phương sai âm?
s = 0 có nghĩa mọi dữ liệu gốc bằng nhau không?
Có thể so trực tiếp độ lệch chuẩn đo bằng phút với đo bằng giây không?
6. Luyện tập và học tiếp
Đã nắm được công thức? Em mở bộ luyện tập đang có của Gia Sư SV để thực hành thêm và đối chiếu lời giải.
Mở bộ luyện tập bài 2 · 62 câuVí dụ trong bài này do Gia Sư SV biên soạn để minh họa. Bộ luyện tập được giữ theo tài liệu đang có trên website.
Biên soạn: Gia Sư SV · Cập nhật 18/10/2026. Cần gia sư hướng dẫn thêm? Tìm gia sư phù hợp · 0946 99 62 68.