Tải PDF · Chương 4

Đề cương56 trang Đáp án40 trang

PDF toàn học kỳ

Đề cương toàn học kỳ II146 trang Đáp án toàn học kỳ II109 trang

Gia Sư SV biên soạn lại · 2026–2027

TOÁN 12 · HỌC KỲ II · 2026–2027

Tích phân

Tính tích phân, xử lý dấu và hàm nhiều công thức; vận dụng vào quãng đường và các bài toán tích lũy.

12 ô nhớ5 ví dụ có lời giải45 bài tập

Ôn và đọc lý thuyết

Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ

Bấm từng ô trống và chọn nội dung phù hợp. Bấm Kiểm tra để xem kết quả; chuyển sang Đọc lý thuyết khi cần ôn lại công thức.

$\int_{a}^{b} f (x) d x =$ …… nếu $F^{'} = f$ .
$\int_{b}^{a} f (x) d x =$ ……
$\int_{a}^{a} f (x) d x =$ ……
$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x =$ ……
Kết quả của một tích phân xác định là ……
Để tính $\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$ , cần tách tại ……
Quãng đường đi được từ $t_{1}$ đến $t_{2}$ là ……
Để đổi 72 km/h sang m/s, kết quả là ……
Hàm $f$ lẻ, liên tục trên $[- a; a]$ , $a > 0$ . Tích phân đối xứng bằng ……
Tích phân của lợi nhuận biên từ $q_{1}$ đến $q_{2}$ cho ……
Bể có dòng vào $r (t)$ , dòng ra $d (t)$ . Tốc độ thay đổi lượng nước là ……
Khi tính nguyên hàm rồi thế hai cận, hằng số $C$ ……

Đọc lý thuyết đầy đủ

1. Tích phân và công thức Newton–Leibniz

Cho $f$ liên tục trên $[a; b]$ , $F$ là một nguyên hàm của $f$ . Tích phân xác định của $f$ từ $a$ đến $b$ là một số:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a) .

$a$ là cận dưới, $b$ là cận trên. Tên biến tích phân không làm đổi giá trị: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Không thêm $C$ vào kết quả của tích phân xác định.

Nếu $f (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ , $a < b$ , tích phân bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị, trục hoành và hai đường $x = a, x = b$ . Nếu hàm có phần âm, tích phân là diện tích có dấu.

2. Các tính chất cần nhớ

Tính chất	Công thức
Cận trùng nhau	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
Đổi cận	$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
Tuyến tính	$\int_{a}^{b} [α f + β g] d x = α \int_{a}^{b} f d x + β \int_{a}^{b} g d x$
Chia khoảng	$\int_{a}^{b} f d x = \int_{a}^{c} f d x + \int_{c}^{b} f d x$
Tích phân đạo hàm	$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$
Hàm không âm	$f \geq 0, a < b \Rightarrow \int_{a}^{b} f d x \geq 0$
So sánh	$f \leq g, a < b \Rightarrow \int_{a}^{b} f d x \leq \int_{a}^{b} g d x$

Nếu $m \leq f (x) \leq M$ trên $[a; b]$ , $a < b$ , thì $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$ . Giá trị trung bình của $f$ trên đoạn là $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

3. Quy trình tính tích phân

Kiểm tra hàm xác định trên toàn đoạn lấy tích phân.
Biến đổi biểu thức về các nguyên hàm đã học.
Chọn một nguyên hàm $F$ .
Tính $F (b) - F (a)$ , giữ dấu ngoặc khi thế cận dưới.
Kiểm tra dấu, đơn vị và mức độ hợp lý của kết quả.

Ghi nhớ nhanh: nếu $f$ lẻ và liên tục trên $[- a; a]$ thì tích phân bằng 0; nếu $f$ chẵn thì tích phân bằng $2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ , với $a > 0$ .

4. Dấu giá trị tuyệt đối và hàm nhiều công thức

Với $\int_{a}^{b} | f (x) | d x$ , tìm tất cả nghiệm của $f (x) = 0$ trong đoạn, xét dấu rồi tách tích phân. Trên đoạn $f \geq 0$ , dùng $f$ ; trên đoạn $f \leq 0$ , dùng $- f$ . Nghiệm không đổi dấu vẫn cần được kiểm tra, không tự động đổi dấu qua mọi nghiệm.

Nếu $f$ có nhiều công thức, tách tại từng điểm đổi công thức. Chẳng hạn, với $a < c < b$ , $f = f_{1}$ trên $[a; c]$ , $f = f_{2}$ trên $(c; b]$ :

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f_{1} (x) d x + \int_{c}^{b} f_{2} (x) d x .

Nếu đề yêu cầu liên tục ở $c$ , trước hết đặt hai giá trị hoặc giới hạn tại $c$ bằng nhau để tìm tham số. Giá trị của hàm tại riêng một điểm không ảnh hưởng tích phân của hàm từng khúc khả tích.

5. Ứng dụng trong chuyển động và tích lũy

Δ s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t, L = \int_{t_{1}}^{t_{2}} | v (t) | d t .

Q (t_{2}) = Q (t_{1}) + \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q^{'} (t) d t .

Độ dời $Δ s$ có thể âm; quãng đường $L$ luôn không âm. Khi xe phanh, chỉ dùng mô hình vận tốc đến thời điểm dừng. Nếu có thời gian phản ứng, cộng thêm quãng đường trong thời gian ấy. Đổi km/h sang m/s bằng cách chia 3,6.

Với chi phí hoặc lợi nhuận biên, tích phân cho phần thay đổi; muốn tìm tổng phải cộng giá trị ban đầu. Với lưu lượng, chọn đúng đơn vị thời gian trước khi tính. Khi cả dòng vào và dòng ra cùng có, dùng tốc độ thay đổi bằng lưu lượng vào trừ lưu lượng ra.

6. Sơ đồ ôn tập và kiểm tra bằng máy tính

Tích phân → kiểm tra miền xác định → nhận dạng: công thức / tính chất / trị tuyệt đối / từng khúc → tách khoảng nếu cần → nguyên hàm → cận trên trừ cận dưới → đọc ý nghĩa thực tế.

Có thể dùng chức năng tích phân số để đối chiếu kết quả. Với trị tuyệt đối hoặc công thức từng khúc, chủ động tách đoạn; với lượng giác, đặt radian. Máy tính cho giá trị gần đúng, không chứng minh các đẳng thức tham số. Không nhập tích phân qua điểm gián đoạn vô hạn như $1 / x$ trên $[- 1; 1]$ rồi áp dụng công thức Newton–Leibniz.

Tránh lỗi: đảo thứ tự thế cận; quên đổi dấu khi đổi cận; coi tích phân luôn là diện tích; coi nguyên hàm của tích là tích nguyên hàm; nhầm vận tốc với tốc độ; bỏ giá trị ban đầu khi tính đại lượng tích lũy.

Ví dụ và hướng dẫn giải theo dạng

Thử tự giải trước, rồi mở hướng dẫn để đối chiếu từng bước.

Ví dụ 1

Dạng 1. Tính chất. Biết

\int_{0}^{2} f (x) d x = 3

\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1

. Tính

I = \int_{0}^{2} [2 f (x) - 3 g (x) + 1] d x

Xem hướng dẫn giải

Áp dụng tính tuyến tính: $I = 2 \cdot 3 - 3 (- 1) + \int_{0}^{2} 1 d x = 6 + 3 + 2 = 11$ .

Ví dụ 2

Dạng 2. Trị tuyệt đối. Tính

I = \int_{0}^{3} | x - 1 | d x

Xem hướng dẫn giải

$x - 1 \leq 0$ trên $[0; 1]$ , $x - 1 \geq 0$ trên $[1; 3]$ . Vì vậy $I = \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{3} (x - 1) d x = 1 / 2 + 2 = 5 / 2$ .

Ví dụ 3

Dạng 3. Nhiều công thức. Cho

f (x) = x^{2}

khi

0 \leq x \leq 1

f (x) = 2 x - 1

khi

1 < x \leq 2

. Tính

\int_{0}^{2} f (x) d x

Xem hướng dẫn giải

Tách tại $x = 1$ : $\int_{0}^{2} f = \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{1}^{2} (2 x - 1) d x = 1 / 3 + [x^{2} - x]_{1}^{2} = 7 / 3$ .

Ví dụ 4

Dạng 4. Chuyển động đổi chiều. Vật có

v (t) = 2 t - 2

(m/s) trên

[0; 3]

. Tính độ dời và quãng đường.

Xem hướng dẫn giải

Độ dời là $\int_{0}^{3} (2 t - 2) d t = [t^{2} - 2 t]_{0}^{3} = 3$ m. Vận tốc đổi dấu ở $t = 1$ , nên quãng đường là $\int_{0}^{1} (2 - 2 t) d t + \int_{1}^{3} (2 t - 2) d t = 1 + 4 = 5$ m.

Ví dụ 5

Dạng 4. Tích lũy kinh tế. Chi phí biên

C^{'} (q) = 0, 2 q + 5

nghìn đồng/sản phẩm, chi phí cố định

C (0) = 100

nghìn đồng. Tính chi phí sản xuất 20 sản phẩm.

Xem hướng dẫn giải

$C (20) = C (0) + \int_{0}^{20} (0, 2 q + 5) d q = 100 + [0, 1 q^{2} + 5 q]_{0}^{20} = 240$ nghìn đồng.

Làm đầy đủ 45 bài tập

22 câu trắc nghiệm · 10 câu đúng / sai · 8 câu trả lời ngắn · 5 câu tự luận.

Luyện từ nhận biết đến vận dụng, rồi đối chiếu lời giải để tìm bước còn nhầm. Có thể dùng bản đề cương PDF để trình bày bài làm trên giấy.

Mở 45 bài tập và lời giải →

Tích phân – Toán 12 học kỳ II

Tải PDF · Chương 4

Ôn và đọc lý thuyết

Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ

Đọc lý thuyết đầy đủ

1. Tích phân và công thức Newton–Leibniz

2. Các tính chất cần nhớ

3. Quy trình tính tích phân

4. Dấu giá trị tuyệt đối và hàm nhiều công thức

5. Ứng dụng trong chuyển động và tích lũy

6. Sơ đồ ôn tập và kiểm tra bằng máy tính

Ví dụ và hướng dẫn giải theo dạng

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Làm đầy đủ 45 bài tập