GIA SƯ SV · TOÁN 9 · CHƯƠNG 1

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng thế và cộng đại số

Chọn phép thế hay cộng đại số phụ thuộc vào hệ số. Mục tiêu là tạo một phương trình một ẩn, đồng thời giữ đủ thông tin để tìm ẩn còn lại và không làm thay đổi tập nghiệm.

1. Nhìn hệ số trước khi tính

Cả hai phương pháp có thể đúng cho cùng một hệ. Ưu tiên cách giảm phép tính và giảm nguy cơ sai dấu, không phải cách tạo ra nghiệm nguyên. Nếu rút ẩn bằng phép chia, hệ số dùng để chia phải khác 0.

2. Phương pháp thế: thay một biểu thức bằng biểu thức bằng nó

Ví dụ 1. Một hệ có nghiệm phân số

Giải $\{\begin{array}{l}3x+2y=14\hfill \\ x-y=1\hfill \end{array}$.

1. Phương trình thứ hai có hệ số của $x$ bằng 1, nên rút $x=y+1$.
2. Thế vào phương trình đầu: $3(y+1)+2y=14$, tương đương $5y=11$. Suy ra $y=\frac{11}{5}$.
3. Thế ngược: $x=\frac{11}{5}+1=\frac{16}{5}$.
4. Kiểm hai phương trình gốc: $3·\frac{16}{5}+2·\frac{11}{5}=14$ và $\frac{16}{5}-\frac{11}{5}=1$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(\frac{16}{5};\frac{11}{5})$. Các phép biến đổi đều tương đương nên không bỏ sót nghiệm. Một cách khác hợp lệ là lấy phương trình đầu trừ ba lần phương trình sau để được $5y=11$.

3. Cộng đại số: làm cho một ẩn triệt tiêu

Ví dụ 2. Phải nhân cả hai phương trình

Giải $\{\begin{array}{l}2x+3y=13\hfill \\ 3x-2y=0\hfill \end{array}$.

1. Muốn khử $y$, chọn bội chung 6 của 3 và 2. Nhân phương trình đầu với 2: $4x+6y=26$. Nhân phương trình sau với 3: $9x-6y=0$.
2. Cộng theo vế: $13x=26$, nên $x=2$.
3. Giữ phương trình $3x-2y=0$, thế $x=2$ vào: $6-2y=0$, nên $y=3$.
4. Kiểm lại: $2·2+3·3=13$ và $3·2-2·3=0$.

Vậy nghiệm duy nhất là $(2;3)$. Có thể khử $x$ bằng cách nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 2 rồi trừ; đó cũng là lời giải đúng.

Vì sao phải giữ một phương trình? Chỉ riêng $13x=26$ không xác định $y$. Khi thay một phương trình bằng tổng của nó với một bội của phương trình kia và giữ phương trình kia, ta có thể khôi phục quan hệ cũ bằng phép trừ. Nhờ đó hệ mới có cùng tập nghiệm.

4. Thu gọn trước khi khử ẩn

Ví dụ 3. Hệ có dấu ngoặc

Giải $\{\begin{array}{l}2(x-y)+3y=8\hfill \\ 3(x+y)-x=12\hfill \end{array}$.

1. Khai triển và thu gọn được $2x+y=8$, $2x+3y=12$.
2. Lấy phương trình sau trừ phương trình đầu: $2y=4$, nên $y=2$.
3. Thế lại: $2x+2=8$, nên $x=3$.
4. Thử trên hệ có ngoặc: $2(3-2)+3·2=8$ và $3(3+2)-3=12$. Nghiệm là $(3;2)$.

5. Khi khử ẩn cho 0 = 0 hoặc điều vô lí

Với $x+2y=3$ và $2x+4y=7$, lấy phương trình sau trừ hai lần phương trình đầu được $0=1$. Hệ vô nghiệm.

Với $x+2y=3$ và $2x+4y=6$, phép trừ cho $0=0$. Đây là một quan hệ lặp. Giữ $x+2y=3$, đặt $y=t$ để có tập nghiệm $(3-2t;t)$, $t\in \mathbb{R}$. Không kết luận cả hai ẩn bằng 0.

Ví dụ 4. Không chia vội cho biểu thức chứa tham số

Xét $x+y=2$ và $2x+my=4$. Phương trình sau trừ hai lần phương trình đầu cho $(m-2)y=0$.

• Nếu $m\ne 2$, chia được cho $m-2$: $y=0$, $x=2$. Thế lại đúng với mọi $m\ne 2$.
• Nếu $m=2$, hai phương trình tương đương; mọi nghiệm có dạng $(t;2-t)$ với $t\in \mathbb{R}$.

Hai trường hợp đã bao phủ mọi giá trị thực của $m$. Hệ này không có trường hợp vô nghiệm.

6. Tự kiểm soát từng dòng biến đổi

• Khi nhân phương trình, nhân mọi số hạng và cả vế phải.
• Khi trừ, đặt ngoặc quanh toàn bộ vế bị trừ: $(2x+3y)-(2x+y)=2y$.
• Không dùng kết quả gần đúng để chứng minh số nghiệm. Máy tính có thể kiểm hệ số và nghiệm, nhưng lời giải cần nêu phép biến đổi.
• Kết thúc bằng cặp $(x;y)$ đúng thứ tự và thử lại trên hệ gốc.

Luyện tập và ôn lại

Mở bộ luyện bài này tại Thư viện Luyện tập · Bản đồ kiến thức và luyện tổng hợp Chương 1

Học tiếp: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: chọn ẩn, lập bảng, kiểm nghiệm.

Nội dung học tập và hình minh họa: Gia Sư SV.