GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9

Tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập

Tam giác ABC vuông tại A, các cạnh AB = 4, AC = 3, BC = 5 được vẽ cùng tỉ lệ. Với góc B, AC là cạnh đối và AB là cạnh kề.

Mục tiêu và kiến thức nền

Đọc đúng cạnh đối/kề/huyền và tính góc hoặc cạnh. Cần biết tam giác vuông và định lí Pythagore.

Định nghĩa

Trong tam giác vuông, với góc nhọn α: sin α=đối/huyền, cos α=kề/huyền, tan α=đối/kề, cot α=kề/đối. Cạnh đối và kề phụ thuộc góc đang xét; cạnh huyền luôn đối diện góc vuông. Các tỉ số không có đơn vị.

Tính chất

sin²α+cos²α=1; tan α=sin α/cos α; cot α=1/tan α. Với hai góc phụ nhau: sin α=cos(90°−α), tan α=cot(90°−α). Ở góc nhọn, các tỉ số đều dương; sin,cos nằm giữa 0 và 1. Giá trị đặc biệt sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2; sin 45°=cos 45°=√2/2; sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2.

Phương pháp và ghi nhớ

Vẽ/đánh dấu góc vuông và góc α, xác định ba cạnh trước khi chọn tỉ số chứa hai đại lượng liên quan. Tìm góc dùng chức năng ngược sin/cos/tan ở chế độ DEG. Không lấy tỉ số cạnh trong tam giác không vuông nếu chưa dựng đường cao tạo tam giác vuông. Khi thay góc, cạnh đối và cạnh kề có thể đổi vai trò.

Công thức trọng tâm

Với góc nhọn α trong tam giác vuông, a là cạnh đối, b là cạnh kề, h là cạnh huyền.

\sin\alpha=\frac ah,\quad\cos\alpha=\frac bh

\tan\alpha=\frac ab,\quad\cot\alpha=\frac ba

Ví dụ có lời giải từng bước

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 4, AC = 3. Tính bốn tỉ số lượng giác của góc B.

Cạnh huyền BC = √(4² + 3²) = 5.
Với góc B, cạnh đối là AC = 3, cạnh kề là AB = 4.
sin B = 3/5, cos B = 4/5, tan B = 3/4, cot B = 4/3.

Đổi góc đang xét thì vai trò cạnh đối và kề thay đổi, nhưng cạnh huyền vẫn là cạnh đối diện góc vuông.

Tự kiểm tra

Thử trả lời rồi mới mở lời giải.

sin C bằng bao nhiêu?

Với góc C, cạnh đối là AB = 4, huyền BC = 5, nên sin C = 4/5 = cos B.

3/4 có phải sin B trong ví dụ không?

Không. 3/4 = đối/kề là tan B. Sin dùng mẫu là cạnh huyền.

Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.

Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải

Đánh dấu góc đang xét rồi gọi tên ba cạnh theo góc đó. Sin và cos dùng cạnh huyền; tan và cot chỉ dùng hai cạnh góc vuông. Đổi sang góc nhọn còn lại thì đối và kề đổi vai trò, tạo nên hệ thức giữa hai góc phụ nhau.

Giá trị 45° suy ra từ tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 1, huyền √2. Giá trị 30°,60° suy ra từ nửa tam giác đều cạnh 2 có nửa đáy 1 và đường cao √3. Để tính góc theo độ, dùng DEG; khi tìm góc từ tỉ số, dùng hàm ngược.

Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng

Ví dụ 2. Tính bốn tỉ số từ ba cạnh

ABC vuông tại A, AB=6, AC=8, BC=10. Với góc B: đối=8, kề=6, huyền=10.
Sin B=4/5, cos B=3/5, tan B=4/3, cot B=3/4.
Kiểm sin²B+cos²B=16/25+9/25=1.

Ví dụ 3. Giải thích giá trị góc đặc biệt

Hạ đường cao tam giác đều cạnh 2, thu được tam giác vuông có huyền 2, cạnh đối góc 30° bằng 1, cạnh còn lại √3.
Vậy $\sin 30^{\circ} = 1 / 2$ , $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3} / 2$ , $\tan 30^{\circ} = \sqrt{3} / 3$ .
Hai góc phụ nhau nên $\sin 60^{\circ} = \sqrt{3} / 2$ , $\cos 60^{\circ} = 1 / 2$ .

Ví dụ 4. Tìm góc bằng máy tính

Góc nhọn α có tan α=3/4. Chọn DEG, dùng hàm ngược của tan với đầu vào 3/4.
Được α≈36,8699°, làm tròn 0,1° là 36,9°.
Thử tan(36,8699°)≈0,75. Kết quả thuộc khoảng 0° đến 90°, đúng giả thiết.

Lỗi thường gặp và cách sửa

Cạnh huyền đối diện góc vuông và dài nhất.
Cạnh kề của góc nhọn là cạnh góc vuông, không phải cạnh huyền.
Hàm ngược sin khi tìm góc khác với nghịch đảo 1/sin.

Tóm tắt và học tiếp

Đổi góc đang xét thì vai trò cạnh đối và kề thay đổi, nhưng cạnh huyền vẫn là cạnh đối diện góc vuông.

Bài tiếp theo: Hệ thức cạnh–góc trong tam giác vuông và ứng dụng – Toán 9

Luyện tập bài này

Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

← Về mục lục chương

Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.