GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Mở đầu về đường tròn lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập
Mục tiêu và kiến thức nền
Phân biệt đường tròn/hình tròn, xác định vị trí điểm và các yếu tố. Cần biết khoảng cách và trung trực.
Khái niệm
Đường tròn (O;R), R>0, gồm các điểm M có OM=R. Điểm trong có OM<R, ngoài có OM>R. Hình tròn gồm cả đường tròn và miền trong. Dây cung nối hai điểm trên đường tròn; đường kính là dây đi qua tâm, dài 2R và là dây dài nhất.
Đối xứng và xác định đường tròn
Tâm O là tâm đối xứng; mọi đường thẳng qua O là trục đối xứng. Qua ba điểm không thẳng hàng có duy nhất một đường tròn, tâm là giao hai đường trung trực của hai đoạn nối các điểm. Ba điểm thẳng hàng phân biệt không cùng thuộc một đường tròn.
Phương pháp
Chứng minh các điểm đồng viên bằng cách chỉ ra cùng cách một điểm O một khoảng R, hoặc dùng các tiêu chuẩn góc ở bài sau. Tìm tâm đường tròn qua các điểm bằng đường trung trực. Muốn kiểm điểm trong/ngoài, so khoảng cách tới tâm với bán kính, có thể so bình phương khi các đại lượng không âm.
Ghi nhớ
Đường tròn là đường biên, hình tròn là cả miền. Một đoạn nối hai điểm tùy ý trong hình tròn không nhất thiết là dây cung. Hai điểm xác định vô số đường tròn, chưa xác định duy nhất tâm.
Công thức trọng tâm
A, B thuộc đường tròn tâm O bán kính R > 0; d là đường kính.
Ví dụ có lời giải từng bước
Đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Có OM = 3 cm, OA = 5 cm, ON = 7 cm. Xác định vị trí M, A, N và độ dài đường kính.
- OM < 5 nên M nằm trong đường tròn; OA = 5 nên A thuộc đường tròn.
- ON > 5 nên N nằm ngoài đường tròn.
- Đường kính dài 2 R = 10 cm. M nằm trong hình tròn nhưng không thuộc đường biên tròn.
Đường tròn chỉ là tập điểm cách tâm đúng R; hình tròn gồm cả miền trong.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Một dây dài 11 cm có tồn tại trong đường tròn bán kính 5 cm không?
Không. Dây dài nhất là đường kính 10 cm.
Qua ba điểm thẳng hàng phân biệt có đường tròn nào không?
Không. Một đường thẳng chỉ có thể cắt một đường tròn tại nhiều nhất hai điểm.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải
Để dựng đường tròn qua ba điểm không thẳng hàng, dựng hai trung trực, lấy giao O và vẽ đường tròn bán kính OA. O cách đều ba điểm nên đường tròn đi qua cả ba. Hai điểm chưa đủ xác định tâm duy nhất; ba điểm thẳng hàng phân biệt không thuộc cùng một đường tròn.
Với dây AB, bất đẳng thức tam giác cho AB≤AO+OB=2 R. Dấu bằng khi A, O, B thẳng hàng, tức AB là đường kính. Mọi đường qua O là trục đối xứng; đối xứng tâm O biến một điểm trên đường tròn thành đầu kia của đường kính.
Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng
Ví dụ 2. Phân loại vị trí điểm
- Đường tròn R=7 cm, có OA=5, OB=7, OC=9 cm.
- A trong vì 5<7; B thuộc đường tròn vì 7=7; C ngoài vì 9>7.
- A thuộc hình tròn nhưng không thuộc đường tròn.
Ví dụ 3. Dây không dài hơn đường kính
- Đường tròn R=4 cm có dây AB. Theo bất đẳng thức tam giác, AB≤AO+OB=8 cm.
- Nếu AB=8 cm thì O thuộc đoạn AB; AB là đường kính.
- Dây không đi qua tâm có độ dài nhỏ hơn 8 cm.
Ví dụ 4. Đường tròn qua ba điểm tọa độ
- A(0; 0), B(6; 0), C(0; 8). Trung trực AB là x=3; trung trực AC là y=4.
- Tâm O(3; 4). OA=√(3²+4²)=5, OB=OC=5.
- Vậy bán kính bằng 5. Tâm cũng là trung điểm BC vì ABC vuông tại A.
Lỗi thường gặp và cách sửa
- Hai đầu dây phải thuộc đường tròn.
- Đường tròn là biên; hình tròn gồm cả miền trong.
- So khoảng cách và bán kính phải cùng đơn vị.
Tóm tắt và học tiếp
Đường tròn chỉ là tập điểm cách tâm đúng R; hình tròn gồm cả miền trong.
Bài tiếp theo: Cung và dây của đường tròn – Toán 9
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.