Vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập

Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải

Đặt d là khoảng cách tâm, R≥r>0. Hai đường tròn phân biệt cắt nhau khi R−r<d<R+r; tiếp xúc ngoài khi d=R+r; tiếp xúc trong khi d=R−r>0. Nếu d>R+r thì rời nhau ngoài; nếu d<R−r thì một đường nằm trong đường kia và không giao.

Xét riêng d=0: R≠r cho đồng tâm không giao; R=r cho trùng nhau. Nếu cắt nhau tại A, B, cả hai tâm đều cách đều A, B nên đường nối tâm là trung trực của dây chung.

Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng

Ví dụ 2. Phân loại bằng hai mốc

1. R=5, r=3 cm: hiệu 2, tổng 8.
2. d=6 cho cắt nhau; d=8 tiếp xúc ngoài; d=2 tiếp xúc trong.
3. d=1 cho nằm trong nhau không giao; d=9 cho rời nhau ngoài.

Ví dụ 3. Khoảng cách tâm khi tiếp xúc

1. Hai đường tròn R=7, r=2 cm tiếp xúc ngoài nên d=7+2=9 cm.
2. Nếu tiếp xúc trong thì d=7−2=5 cm.
3. Hai kết quả ứng với hai cấu hình khác nhau, cần đọc đúng giả thiết.

Ví dụ 4. Dây chung khi hai bán kính khác nhau

1. Hai đường tròn tâm O, O′ có R=5 cm, r=3 cm, OO′=4 cm. Vì 2<4<8, chúng cắt tại A, B. Đặt H=AB∩OO′. Trên trục OO′, cho O có tọa độ 0, O′ có tọa độ 4, H có tọa độ h.
2. Từ Pythagore: $h^2+A{H}^2=25$ và $(h-4{)}^2+A{H}^2=9$.
3. Trừ hai đẳng thức: $8h-16=16$, nên h=4. Suy ra $AH=\sqrt{25-16}=3$ cm.
4. Vậy AB=2 AH=6 cm. Trong cấu hình này H trùng O′, dây chung là đường kính của đường tròn nhỏ.

Lỗi thường gặp và cách sửa

• Phải so d với cả tổng và hiệu bán kính.
• Hai đường tròn trùng nhau có vô số điểm chung.
• Tiếp xúc trong của hai đường tròn phân biệt có d>0.