Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Bài 8Mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết, đề bài, bảng số liệu và thứ tự được trình bày theo ảnh tài liệu Chương 3. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung.

A. Lý thuyết

1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm

Định nghĩa: Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu, mỗi nhóm thường có dạng [a;b) (nhóm cuối có thể lấy dạng [a;b]), với a là đầu mút trái, b là đầu mút phải.

2. Ghép nhóm mẫu số liệu

Định nghĩa:

Bước 1. Chia miền giá trị của mẫu thành các nhóm theo tiêu chí cho trước. Bước 2. Đếm tần số mỗi nhóm, lập bảng thống kê.

Chú ý: Độ dài nhóm [a;b) là b − a. Các nhóm không giao nhau, thường có độ dài bằng nhau; tổng độ dài các nhóm không nhỏ hơn khoảng biến thiên $R = x_{max} - x_{min}$ .

Chú ý: Số liệu rời rạc: $k_{1} - k_{2} ⟶ [k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ .

Định nghĩa: Giá trị đại diện của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ :

x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}

B. Ví dụ

Ví dụ 1.

Mẫu số liệu sau cho biết phân bố theo độ tuổi của dân số Việt Nam năm 2019.

Độ tuổi	Dưới 15 tuổi	Từ 15 đến dưới 65 tuổi	Từ 65 tuổi trở lên
Số người	23371882	65420451	7416651

Mẫu số liệu đã cho có phải là mẫu số liệu ghép nhóm không?
Nêu các nhóm và tần số tương ứng. Dân số Việt Nam năm 2019 là bao nhiêu?

Xem hướng dẫn giải

Có. Các độ tuổi được chia thành ba nhóm và mỗi nhóm có tần số là số người thuộc nhóm đó.
Ba nhóm là dưới 15 tuổi, từ 15 đến dưới 65 tuổi, từ 65 tuổi trở lên; tần số lần lượt là 23371882, 65420451 và 7416651. Tổng dân số là $23371882 + 65420451 + 7416651 = 96208984$ người.

Ví dụ 2.

Bảng sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên trong một giải Marathon.

Thời gian	129	130	133	134	135	136	138	141	142	143	144	145
Số VĐV	1	2	1	1	1	2	3	3	4	5	2	5

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 3.

Xem hướng dẫn giải

Có thể chọn sáu nhóm dưới đây. Mỗi nhóm có độ dài 3 phút và các nhóm bao phủ mọi số liệu từ 129 đến 145 phút.

Thời gian (phút)	[127,5;130,5)	[130,5;133,5)	[133,5;136,5)	[136,5;139,5)	[139,5;142,5)	[142,5;145,5)
Số VĐV	3	1	4	3	7	12

Kiểm tra tổng tần số: $3 + 1 + 4 + 3 + 7 + 12 = 30$ . Các cách chọn đầu mút khác vẫn đúng nếu có đủ sáu nhóm dài 3 phút, không giao nhau và chứa toàn bộ số liệu.

Ví dụ 3.

Kết quả bài kiểm tra của 35 học sinh được cho trong bảng sau:

Điểm thi	1–4	5–7	8–10
Số học sinh	5	20	10

Hiệu chỉnh mẫu số liệu trên về dạng các nhóm nửa khoảng.
Tìm giá trị đại diện của mỗi nhóm sau khi hiệu chỉnh.

Xem hướng dẫn giải

Hiệu chỉnh mỗi đầu trái giảm 0,5 và mỗi đầu phải tăng 0,5: [0,5;4,5), [4,5;7,5), [7,5;10,5). Tần số tương ứng vẫn là 5, 20, 10.
Các giá trị đại diện là $\frac{0, 5 + 4, 5}{2} = 2, 5$ , $\frac{4, 5 + 7, 5}{2} = 6$ và $\frac{7, 5 + 10, 5}{2} = 9$ .

Ví dụ 4.

Cân nặng (kg) của 42 học sinh lớp 11D được ghép nhóm như sau:
Cân nặng (kg) [40,5;45,5) [45,5;50,5) [50,5;55,5) [55,5;60,5) [60,5;65,5) [65,5;70,5)
Số học sinh 10 7 16 4 2 3
Xác định cỡ mẫu. Nhóm nào có nhiều học sinh nhất? Có bao nhiêu học sinh nặng từ 55,5 kg trở lên?
Chiều cao (cm) của 50 cây giống trong một vườn ươm được ghép nhóm như sau:
Chiều cao (cm) [20;25) [25;30) [30;35) [35;40) [40;45)
Số cây 6 13 18 9 4
Cây giống được xuất vườn nếu cao từ 30 cm trở lên. Hỏi tỉ lệ cây đủ tiêu chuẩn xuất vườn là bao nhiêu phần trăm?

Cân nặng (kg)	[40,5;45,5)	[45,5;50,5)	[50,5;55,5)	[55,5;60,5)	[60,5;65,5)	[65,5;70,5)
Số học sinh	10	7	16	4	2	3

Chiều cao (cm)	[20;25)	[25;30)	[30;35)	[35;40)	[40;45)
Số cây	6	13	18	9	4

Xem hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là $10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$ . Nhóm [50,5;55,5) có nhiều học sinh nhất (16 học sinh). Có $4 + 2 + 3 = 9$ học sinh nặng từ 55,5 kg trở lên.
Số cây đủ tiêu chuẩn là $18 + 9 + 4 = 31$ . Tỉ lệ là $\frac{31}{50} \cdot 100 % = 62 %$ .

Ví dụ 5.

Doanh thu (triệu đồng) của một cửa hàng trong 40 ngày được ghép nhóm như sau:
Doanh thu [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30)
Số ngày 5 9 12 10 4
Xác định cỡ mẫu, độ dài mỗi nhóm và giá trị đại diện của các nhóm. Có bao nhiêu ngày cửa hàng đạt doanh thu từ 18 triệu đồng trở lên? Chiếm bao nhiêu phần trăm?
Thời gian chạy 100 m (giây) của 40 vận động viên được ghép nhóm như sau:
Thời gian (giây) [12;13) [13;14) [14;15) [15;16) [16;17)
Số vận động viên 4 11 15 8 2
Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu. Tính tỉ lệ phần trăm số vận động viên chạy dưới 14 giây. Tính tần số tích lũy đến hết nhóm [14;15) và giá trị đại diện của nhóm đó.

Thời gian (giây)	[12;13)	[13;14)	[14;15)	[15;16)	[16;17)
Số vận động viên	4	11	15	8	2

Xem hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là 40; mỗi nhóm dài 4 triệu đồng. Các giá trị đại diện lần lượt là 12; 16; 20; 24; 28 triệu đồng. Có $12 + 10 + 4 = 26$ ngày đạt doanh thu từ 18 triệu đồng trở lên, chiếm $\frac{26}{40} \cdot 100 % = 65 %$ .
Cỡ mẫu là 40. Số vận động viên chạy dưới 14 giây là $4 + 11 = 15$ , chiếm $\frac{15}{40} \cdot 100 % = 37, 5 %$ . Tần số tích lũy đến hết nhóm [14;15) là $4 + 11 + 15 = 30$ ; giá trị đại diện là $\frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ giây.

Ví dụ 6.

Số lỗi chính tả trong 30 bài văn của học sinh lớp 11B được cho trong bảng sau:

Số lỗi	0–2	3–5	6–8
Số bài văn	8	15	7

Hiệu chỉnh mẫu số liệu trên về dạng các nhóm nửa khoảng.
Tìm giá trị đại diện của mỗi nhóm sau khi hiệu chỉnh.

Xem hướng dẫn giải

Ba nhóm sau hiệu chỉnh là [−0,5;2,5), [2,5;5,5), [5,5;8,5), với tần số lần lượt 8, 15, 7.
Giá trị đại diện lần lượt là $\frac{- 0, 5 + 2, 5}{2} = 1$ , $\frac{2, 5 + 5, 5}{2} = 4$ và $\frac{5, 5 + 8, 5}{2} = 7$ .

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu được cho dưới dạng

Dãy các giá trị rời rạc.
Bảng tần số của các nhóm số liệu.
Biểu đồ hình quạt.
Bảng tần số của từng giá trị riêng lẻ.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Theo định nghĩa, mẫu số liệu ghép nhóm được trình bày bằng bảng tần số của các nhóm số liệu.

Câu 2.

Giá trị đại diện của nhóm [18;22) là

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Giá trị đại diện là trung điểm: $\frac{18 + 22}{2} = 20$ .

Câu 3.

Sau khi hiệu chỉnh, nhóm số liệu rời rạc 5–7 trở thành

[5;7).
[4,5;7,5).
[5,5;7,5).
[4,5;6,5).

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Giảm đầu trái 0,5 và tăng đầu phải 0,5, được [4,5;7,5).

Câu 4.

Độ dài của nhóm [40,5;45,5) bằng

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Độ dài nhóm là $45, 5 - 40, 5 = 5$ .

Câu 5.

Mẫu số liệu có giá trị nhỏ nhất là 129, lớn nhất là 145. Khoảng biến thiên của mẫu bằng

129.
16.
145.
274.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Khoảng biến thiên là $R = 145 - 129 = 16$ .

Câu 6.

Khối lượng (kg) của 40 bao gạo trong một kho hàng được ghép nhóm như sau: nhóm [48;52) có 8 bao, nhóm [52;56) có 20 bao, nhóm [56;60) có 8 bao, nhóm [60;64) có 4 bao. Nhóm chứa nhiều bao gạo nhất chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm tổng số bao gạo?

20%.
50%.
8%.
32%.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Nhóm [52;56) có nhiều bao nhất: 20 bao. Tỉ lệ là $\frac{20}{40} \cdot 100 % = 50 %$ .

Câu 7.

Khi ghép nhóm mẫu số liệu, điều nào sau đây không đúng?

Ta chấp nhận mất thông tin về giá trị cụ thể của từng số liệu.
Ta thấy rõ hơn xu thế phân bố của mẫu.
Ta luôn tính lại được chính xác từng số liệu ban đầu.
Các nhóm thường có dạng [a;b).

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Bảng ghép nhóm chỉ cho biết số quan sát trong mỗi khoảng, nên không khôi phục được chính xác từng số liệu ban đầu.

Câu 8.

Mẫu số liệu về chiều cao 50 cây giống có các nhóm [20;25), [25;30), [30;35), [35;40), [40;45) với tần số 6; 13; 18; 9; 4. Tỉ lệ cây cao từ 30 cm trở lên là

36%.
62%.
38%.
50%.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Có $18 + 9 + 4 = 31$ cây cao từ 30 cm trở lên; tỉ lệ là $\frac{31}{50} \cdot 100 % = 62 %$ .

Câu 9.

Một mẫu số liệu có giá trị nhỏ nhất là 52, giá trị lớn nhất là 88. Muốn ghép mẫu số liệu này thành năm nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 8 thì tổng độ dài các nhóm bằng

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Tổng độ dài của năm nhóm là $5 \cdot 8 = 40$ . Khoảng biến thiên 36 là một đại lượng khác.

Câu 10.

Trong biểu đồ tần số ghép nhóm, chiều cao của mỗi cột biểu thị

Giá trị đại diện của nhóm.
Tần số của nhóm.
Độ dài của nhóm.
Đầu mút phải của nhóm.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Trục đứng của biểu đồ tần số biểu diễn tần số; chiều cao cột cho biết số quan sát trong nhóm.

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

Câu 11.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu (triệu đồng) trong 40 ngày của một cửa hàng:

Doanh thu	[10;14)	[14;18)	[18;22)	[22;26)	[26;30)
Số ngày	5	9	12	10	4

Cỡ mẫu của mẫu số liệu này bằng 40.
Độ dài mỗi nhóm bằng 4 và giá trị đại diện của nhóm thứ ba là 20.
Có 26 ngày cửa hàng đạt doanh thu từ 18 triệu đồng trở lên.
Có 5 ngày cửa hàng đạt doanh thu đúng 12 triệu đồng.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Tổng tần số là $5 + 9 + 12 + 10 + 4 = 40$ .
Mỗi nhóm dài 4; trung điểm nhóm thứ ba là $\frac{18 + 22}{2} = 20$ .
Số ngày có doanh thu từ 18 triệu đồng trở lên là $12 + 10 + 4 = 26$ .
Số 5 là tần số của cả khoảng [10;14). Không biết có bao nhiêu ngày đạt đúng 12 triệu đồng.

Câu 12.

Kết quả bài kiểm tra của 35 học sinh được cho bởi bảng: điểm 1–4 có 5 học sinh, điểm 5–7 có 20 học sinh, điểm 8–10 có 10 học sinh.

Đây là mẫu số liệu ghép nhóm với số liệu rời rạc.
Sau khi hiệu chỉnh, ba nhóm lần lượt là [0,5;4,5), [4,5;7,5), [7,5;10,5).
Giá trị đại diện của nhóm thứ hai sau hiệu chỉnh bằng 6.
Ba nhóm sau khi hiệu chỉnh có độ dài bằng nhau.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Bảng đã chia điểm số rời rạc thành các nhóm và ghi tần số, nên là mẫu số liệu ghép nhóm với số liệu rời rạc.
Hiệu chỉnh các nhóm được [0,5;4,5), [4,5;7,5), [7,5;10,5).
Trung điểm của nhóm thứ hai là $\frac{4, 5 + 7, 5}{2} = 6$ .
Độ dài các nhóm lần lượt là 4; 3; 3, không bằng nhau.

Câu 13.

Thời gian tự học buổi tối (phút) của 25 học sinh được ghép nhóm như sau:

Thời gian (phút)	[45;52)	[52;59)	[59;66)	[66;73)	[73;80]
Số học sinh	6	6	6	4	3

Cỡ mẫu bằng 25.
Mỗi nhóm (trừ nhóm cuối) có độ dài bằng 7.
Có 18 học sinh tự học dưới 66 phút.
Nhóm [66;73) là nhóm có tần số lớn nhất.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Cỡ mẫu là $6 + 6 + 6 + 4 + 3 = 25$ .
Bốn nhóm đầu đều có độ dài $52 - 45 = 7$ phút.
Số học sinh tự học dưới 66 phút là $6 + 6 + 6 = 18$ .
Nhóm [66;73) có tần số 4; tần số lớn nhất là 6, thuộc ba nhóm đầu.

Câu 14.

Một mẫu số liệu có giá trị nhỏ nhất là 129, giá trị lớn nhất là 145; người ta muốn ghép thành sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 3.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng 16.
Tổng độ dài của sáu nhóm bằng 18, lớn hơn khoảng biến thiên.
Nếu chọn đầu mút trái của nhóm đầu là 127,5 thì đầu mút phải của nhóm cuối là 145,5.
Nhóm thứ tư là [136,5;140,5).

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Khoảng biến thiên là $145 - 129 = 16$ .
Tổng độ dài các nhóm là $6 \cdot 3 = 18 > 16$ .
Đầu mút phải nhóm cuối là $127, 5 + 6 \cdot 3 = 145, 5$ .
Nhóm thứ tư là [136,5;139,5), vì $127, 5 + 3 \cdot 3 = 136, 5$ và mỗi nhóm dài 3.

Câu 15.

Thời gian (phút) để giải xong một bài toán của 32 học sinh được ghép nhóm như sau:

Thời gian (phút)	[10;14)	[14;18)	[18;22)	[22;26)	[26;30)
Số học sinh	6	10	9	5	2

Cỡ mẫu của mẫu số liệu này bằng 32.
Độ dài mỗi nhóm bằng 4 và giá trị đại diện của nhóm đầu tiên là 12.
Có 19 học sinh giải xong bài toán trong thời gian dưới 22 phút.
Nhóm chứa nhiều học sinh nhất là [14;18).

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Tổng tần số là $6 + 10 + 9 + 5 + 2 = 32$ .
Các nhóm dài 4; giá trị đại diện nhóm đầu là $\frac{10 + 14}{2} = 12$ .
Số học sinh giải dưới 22 phút là $6 + 10 + 9 = 25$ , không phải 19.
Tần số lớn nhất là 10, thuộc nhóm [14;18).

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Mẫu số liệu ghép nhóm

Khái niệm

Định nghĩa: Bảng tần số của các nhóm số liệu; mỗi nhóm thường có dạng [a;b), nhóm cuối có thể lấy [a;b].

Đầu mút: a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm [a;b) là b − a.

Tính chất: Các nhóm đôi một không giao nhau, thường có độ dài bằng nhau.

Ghép nhóm mẫu số liệu

Bước 1: Chia miền giá trị của mẫu thành các nhóm theo tiêu chí cho trước.

Bước 2: Đếm tần số $m_{i}$ của mỗi nhóm rồi lập bảng thống kê.

Chọn nhóm: Tổng độ dài các nhóm không nhỏ hơn khoảng biến thiên $R = x_{max} - x_{min}$ .

Giá trị đại diện

x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}

Là trung điểm của nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ . Thay cho mỗi số liệu của nhóm khi tính các số đặc trưng.

Số liệu rời rạc

Hiệu chỉnh: Nhóm $k_{1} - k_{2}$ chuyển thành $[k_{1} - 0, 5; k_{2} + 0, 5)$ .

Ví dụ: Điểm 1–4 chuyển thành [0,5;4,5); điểm 5–7 chuyển thành [4,5;7,5).

E. Học & Thi

Làm các câu hỏi trong bài, rồi mở hướng dẫn giải để đối chiếu. Em có thể luyện thêm với bộ 28 câu trên Học & Thi.

Luyện tập trên Học & Thi

Toán 11 Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm – Lý thuyết, bảng tần số và bài tập

A. Lý thuyết

1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm

2. Ghép nhóm mẫu số liệu

B. Ví dụ

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Mẫu số liệu ghép nhóm

Khái niệm

Ghép nhóm mẫu số liệu

Giá trị đại diện

Số liệu rời rạc

E. Học & Thi