GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9
Biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn lớp 9 – Lý thuyết, cách giải và bài tập
Mục tiêu và kiến thức nền
Đưa thừa số ra/vào căn, trục căn thức mẫu và rút gọn phân thức chứa căn. Cần biết giá trị tuyệt đối và hằng đẳng thức.
Biến đổi cơ bản
√(A²B)=|A|√B khi B≥0. Đưa thừa số c≥0 vào căn: c√B=√(c²B); với c<0 giữ dấu âm ngoài căn. Các căn đồng dạng a√m+b√m=(a+b)√m sau khi đã rút gọn số dưới căn.
Trục căn thức ở mẫu
Với B>0, A/√B=A√B/B. Nếu mẫu là √A±√B, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp √A∓√B; tích mẫu thành A−B. Cần A,B≥0 và mẫu gốc khác 0; nếu A=B làm mẫu liên hợp mới bằng 0 phải xét dạng cụ thể, không áp dụng mù quáng.
Phương pháp
Ghi điều kiện; phân tích tử/mẫu bằng hằng đẳng thức hoặc đặt t=√x (t≥0); quy đồng và rút gọn nhân tử chung; trả về biến x và giữ điều kiện. Nếu tiếp theo giải phương trình/bất phương trình từ biểu thức rút gọn, chỉ nhận nghiệm nằm trong miền gốc. Với phương trình chứa căn, cô lập căn, kiểm dấu vế kia rồi bình phương, cuối cùng đối chiếu nghiệm.
Ghi nhớ
Chỉ rút gọn nhân tử chung, không rút một số hạng của tổng. (√A−√B)²=A+B−2√(AB), không bằng A−B. Không quên dấu |A| khi đưa A² ra khỏi căn.
Công thức trọng tâm
Miền gốc được giữ sau khi rút gọn; không bổ sung x = 1.
Ví dụ có lời giải từng bước
Rút gọn A = (x − 1)/(√x − 1), nêu điều kiện và tính A tại x = 9.
- Điều kiện: x ≥ 0 và √x − 1 ≠ 0, tức x ≥ 0, x ≠ 1.
- x − 1 = (√x − 1)(√x + 1), nên A = √x + 1 trên miền gốc.
- Tại x = 9 thỏa điều kiện, A = 3 + 1 = 4. Kiểm trực tiếp (9 − 1)/(3 − 1) = 4.
Biểu thức rút gọn chỉ bằng biểu thức gốc trên miền xác định gốc; không tự bổ sung x = 1 dù dạng cuối có nghĩa.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Rút gọn 1/(√3 + 1).
Nhân tử và mẫu với √3 − 1: kết quả (√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1)/2.
(√5 − √2)² có bằng 3 không?
Không. Bằng 5 + 2 − 2√10 = 7 − 2√10. Bình phương một hiệu có số hạng chéo.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Chọn phương pháp và tự kiểm soát lời giải
Rút gọn theo thứ tự: tìm điều kiện, phân tích nhân tử, đưa bình phương ra ngoài căn, nhận diện căn đồng dạng rồi mới cộng trừ. Với phân thức chứa √x, đặt t=√x≥0 giúp thấy rõ các hằng đẳng thức. Sau khi trở lại x, giữ mọi giá trị đã loại ở mẫu ban đầu.
Trục căn thức là nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức khác 0. Nếu mẫu là tổng hoặc hiệu hai căn, dùng liên hợp khi thích hợp; không chỉ nhân riêng tử. Giải tiếp phương trình từ biểu thức rút gọn phải đối chiếu miền gốc.
Ví dụ bổ sung: từ cơ bản đến vận dụng
Ví dụ 2. Cộng các căn đồng dạng
- Tính . Có , , .
- Biểu thức bằng .
- Cộng hệ số 6−6+5 sau khi đã đưa về cùng căn √3.
Ví dụ 3. Trục căn bằng liên hợp
- Rút gọn . Mẫu khác 0 vì √3≠1. Nhân tử và mẫu với √3+1.
- Kết quả .
- Kiểm bằng cách nhân kết quả với mẫu gốc: (√3+1)(√3−1)=2.
Ví dụ 4. Rút gọn rồi giải phương trình
- Cho , tìm x để P=5. Điều kiện x≥0, x≠4.
- nên trên miền gốc.
- P=5 cho √x=3, suy ra x=9, thỏa điều kiện. Thay gốc được (9−4)/(3−2)=5.
Lỗi thường gặp và cách sửa
- , không cộng các số dưới căn.
- , không bỏ điều kiện dấu.
- Chỉ triệt tiêu nhân tử chung khác 0, không triệt tiêu một số hạng trong tổng.
Tóm tắt và học tiếp
Biểu thức rút gọn chỉ bằng biểu thức gốc trên miền xác định gốc; không tự bổ sung x = 1 dù dạng cuối có nghĩa.
Bài tiếp theo: Căn bậc ba và căn thức bậc ba – Toán 9
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.