Hệ thức Vi-ét giúp em tính nhiều biểu thức chứa hai nghiệm mà không phải tìm riêng từng nghiệm. Khi gặp câu “không giải phương trình”, hãy hỏi trước: đề cần biết hai số đó là bao nhiêu, hay chỉ cần biết tổng và tích của chúng? Chọn đúng câu hỏi này thường giúp tránh một loạt phép tính với căn thức.
Bài này dành cho Toán 9 và ôn thi vào lớp 10. Các câu luyện dưới đây do Gia Sư SV tự biên soạn để tập nhận dạng; không gắn tên trường hoặc năm thi cho đề chưa có nguồn xác nhận.
1. Đọc yêu cầu trước khi bấm máy tìm nghiệm
Với phương trình ax2 + bx + c = 0, trước hết phải có a ≠ 0 và nghiệm thực. Đặt S = x1 + x2, P = x1x2. Theo Vi-ét, S = −b/a và P = c/a. Nếu đề yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì cần Δ > 0; nếu cho phép nghiệm kép thì Δ ≥ 0.
Đừng vội học thêm một danh sách dài. Ba phép biến đổi thường dùng nhất đều xuất phát từ việc khai triển bình phương hoặc quy đồng:
- x12 + x22 = S2 − 2P.
- (x1 − x2)2 = S2 − 4P.
- 1/x1 + 1/x2 = S/P, với P ≠ 0.
Cách tự nhớ dòng đầu: bình phương tổng tạo ra thêm 2x1x2, nên muốn giữ lại hai bình phương riêng thì phải trừ phần thêm đó. Viết được câu giải thích này tốt hơn nhớ một công thức mà không biết dấu cộng hay trừ.
2. Một câu đề, ba yêu cầu: làm từ tổng và tích
Đề tự luyện: Cho phương trình 3x2 − 10x + 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, tính A = x12 + x22, B = 1/x1 + 1/x2 và C = x1/x2 + x2/x1.
Gia sư gợi ý: Nếu dùng công thức nghiệm, em sẽ gặp căn của 76. Nhưng cả ba biểu thức đều giữ nguyên khi đổi chỗ hai nghiệm. Hãy thử đưa chúng về S và P trước.
- Kiểm tra: Δ = 100 − 24 = 76 > 0. Vì P = 2/3 ≠ 0 nên cả hai nghiệm khác 0, các phân thức trong đề có nghĩa.
- Ghi một lần: S = 10/3 và P = 2/3.
- A = (10/3)2 − 2 × (2/3) = 100/9 − 12/9 = 88/9.
- B = (10/3)/(2/3) = 5.
- Quy đồng C trước: C = (x12 + x22)/(x1x2) = A/P = (88/9)/(2/3) = 44/3.
Điểm tiết kiệm ở đây là dùng lại A trong câu C. Khi đề có nhiều ý, hãy đọc ý sau trước lúc bỏ kết quả ý trước. Không có bước nào cần tìm riêng x1 và x2.
3. Chỉ đổi một yêu cầu, cách làm đã khác
Vẫn phương trình trên, nếu đề yêu cầu x1 − x2 nhưng không quy ước nghiệm nào lớn hơn, em chưa thể ghi một giá trị có dấu duy nhất. Ta chỉ suy ra bình phương hiệu bằng 76/9, nên hiệu có thể là 2√19/3 hoặc −2√19/3.
Nếu bổ sung x1 > x2, mới chọn 2√19/3. Nếu bổ sung x1 < x2, phải chọn dấu âm. Đây là chỗ mẹo “cứ đưa về S, P là xong” cần được dừng lại: tổng và tích không phân biệt cách đặt tên hai nghiệm.
Muốn tự kiểm tra nhanh, đổi chỗ hai nghiệm trong biểu thức đề hỏi. Nếu biểu thức đổi dấu hoặc đổi giá trị, hãy tìm thêm điều kiện về thứ tự nghiệm. Đây là câu hỏi chẩn đoán, không phải khẳng định mọi biểu thức đối xứng đều có cùng độ khó.
4. Bài tham số: tìm được m vẫn phải kiểm tra nghiệm
Xét x2 − 4x + m = 0. Đề yêu cầu hai nghiệm thực thỏa x12 + x22 = 10. Ta có S = 4, P = m, nên 16 − 2m = 10 và m = 3. Kiểm tra Δ = 16 − 12 = 4 > 0: nhận m = 3.
Bây giờ đổi vế phải thành −2. Nếu chỉ thay vào công thức, em sẽ tìm được m = 9. Nhưng Δ = 16 − 36 = −20 < 0: phương trình không có hai nghiệm thực. Cũng có thể loại ngay vì tổng hai bình phương thực không thể âm. Vậy yêu cầu mới không có giá trị m phù hợp.
Mẹo đúng là kiểm tra dấu của biểu thức trước khi tính, rồi kiểm tra điều kiện sau khi tìm tham số. Mẹo sai là dùng Vi-ét như thể nghiệm thực luôn tồn tại.
5. Ba câu luyện: thử làm trước rồi đối chiếu
Câu 1. Với x2 − 6x + 7 = 0, tính tổng bình phương hai nghiệm và tổng nghịch đảo hai nghiệm.
Lời giải: Δ = 36 − 28 = 8 > 0; S = 6, P = 7. Tổng bình phương là 36 − 14 = 22; tổng nghịch đảo là 6/7. P khác 0 nên phép chia hợp lệ.
Câu 2. Với x2 − 5x + 2 = 0, tính x13 + x23.
Lời giải: Δ = 17 > 0. Khai triển S3 rồi bỏ phần 3PS: kết quả là S3 − 3PS = 125 − 30 = 95. Không nhầm với S3 − 3P vì hạng tử bị trừ còn chứa tổng S.
Câu 3. Tìm m để x2 − 2x + m = 0 có hai nghiệm thực với tổng bình phương bằng 8.
Lời giải: 4 − 2m = 8 cho m = −2. Khi đó Δ = 4 + 8 = 12 > 0. Kết luận m = −2.
6. Mang cách làm này vào đề tổng hợp
Trong bài thi tự luận, em nên giữ bốn dòng: điều kiện nghiệm, tổng–tích, biến đổi biểu thức cần tính và kết luận. Máy tính có thể giúp kiểm tra kết quả số, nhưng không thay được lời giải thích vì sao được chia cho P hoặc vì sao nhận một giá trị tham số.
Tiếp tục với kho đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Chọn một câu có Vi-ét, che lời giải rồi tự viết riêng dòng nhận dạng. Nếu sai, ghi lỗi vào sổ lỗi sai môn Toán theo nguyên nhân: thiếu điều kiện, sai dấu hay không nhìn ra biểu thức đối xứng.
Nguồn nền tảng đối chiếu: OpenStax — Quadratic Equations. Các câu luyện, cách dẫn dắt và lời giải trong bài do Gia Sư SV biên soạn.