Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Dùng khi: đề yêu cầu tính giá trị, rút gọn hoặc giải phương trình chứa căn. Căn bậc hai thực cần biểu thức dưới căn không âm; mẫu số phải khác 0. Với căn nằm ở mẫu, biểu thức dưới căn phải dương.

Công thức tích ở trên áp dụng khi A ≥ 0 và B ≥ 0. Khi chia hai căn, cần thêm biểu thức dưới căn ở mẫu dương. Hai hằng đẳng thức hay dùng: A² − B² = (A − B)(A + B) và (A ± B)² = A² ± 2AB + B².

Ví dụ: √(x − 2) xác định khi x ≥ 2; √((x − 3)²) = |x − 3|. Nếu x = 1 thì giá trị là 2.

Nhớ để tránh sai: căn của bình phương không luôn bằng biểu thức ban đầu; không tách √(A + B) thành √A + √B. Rút gọn x − 1 ở mẫu x − 1 vẫn phải giữ điều kiện x ≠ 1.

Học và luyện: Cách rút gọn biểu thức chứa căn.

Dùng khi: có hai đại lượng chưa biết và hai quan hệ độc lập. Dễ rút một ẩn thì dùng phương pháp thế; hệ số dễ tạo thành đối nhau thì dùng cộng đại số.

Ví dụ: x + y = 7 và 2x − y = 2. Cộng hai phương trình được 3x = 9, nên x = 3; thay lại được y = 4. Kiểm tra cặp (3; 4) thỏa cả hai phương trình.

Bất phương trình: cộng hoặc trừ cùng một số ở hai vế giữ chiều; nhân hoặc chia hai vế với một số âm phải đổi chiều. Ví dụ −2x > 6 thì x < −3.

Lỗi cần tránh: rút ẩn rồi quên thay lại; nhân một vế mà không nhân vế kia; giữ nguyên chiều khi chia số âm.

Học và luyện: Phương pháp thế và cộng · Bất phương trình bậc nhất.

Với y = ax², a ≠ 0, đồ thị là parabol có đỉnh O(0; 0), trục đối xứng Oy. Nếu a > 0, parabol mở lên; nếu a < 0, parabol mở xuống. Lập bảng giá trị tại các hoành độ đối nhau để vẽ chính xác hơn.

Nhận dạng nhanh: M(x₀; y₀) thuộc đồ thị khi y₀ = ax₀². “Tung độ nhỏ hơn hoành độ k đơn vị” viết y = x − k. Giao điểm y = ax² và y = mx + n được tìm bằng ax² = mx + n, rồi tính lại tung độ.

Ví dụ: với y = x², bảng x: −2, −1, 0, 1, 2 tương ứng y: 4, 1, 0, 1, 4. Điểm có hoành độ −2 là (−2; 4).

Lỗi cần tránh: viết (−2)² = −4; tìm được x nhưng chưa kết luận tọa độ (x; y); nối các điểm bằng những đoạn thẳng gãy khúc.

Học và luyện: Hàm số y = ax² và cách vẽ đồ thị.

Đưa về ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0. Tính Δ = b² − 4ac: Δ > 0 có hai nghiệm phân biệt; Δ = 0 có nghiệm kép; Δ < 0 không có nghiệm thực.

Công thức nghiệm trên dùng khi Δ ≥ 0. Nếu phương trình có hai nghiệm thực x₁, x₂ (kể cả nghiệm kép), theo Viète:

Ba biến đổi dễ gặp: x₁² + x₂² = S² − 2P; (x₁ − x₂)² = S² − 4P; 1/x₁ + 1/x₂ = S/P khi P ≠ 0.

Ví dụ: x² − 5x + 6 = 0 có Δ = 1 > 0, S = 5, P = 6. Không cần giải từng nghiệm vẫn tính được x₁² + x₂² = 25 − 12 = 13.

Lỗi cần tránh: dùng Viète cho nghiệm thực mà chưa xét điều kiện có nghiệm; quên dấu trừ ở S = −b/a. Nếu hệ số a chứa tham số, xét riêng trường hợp a = 0.

Học và luyện: Phương trình bậc hai · Định lí Viète.

Quy trình 4 bước: đặt ẩn và điều kiện → lập phương trình hoặc hệ → giải → kiểm nghiệm và trả lời bằng lời kèm đơn vị.

• Mua bán: thành tiền = số lượng × đơn giá. Giá sau giảm p% bằng giá gốc × (1 − p/100); tăng p% dùng (1 + p/100).
• Chuyển động: quãng đường = vận tốc × thời gian. Đổi phút sang giờ trước khi dùng km/h.
• Làm chung: hoàn thành một công việc trong t giờ thì năng suất là 1/t công việc mỗi giờ, với t > 0.
• Hình học thực tế: diễn tả các cạnh theo ẩn, lập diện tích/thể tích, rồi chọn nghiệm phù hợp với kích thước.

Ví dụ: mua 3 quyển vở giá x đồng/quyển và 1 bút giá 8 000 đồng, tổng 38 000 đồng: 3x + 8 000 = 38 000 nên x = 10 000 đồng/quyển.

Lỗi cần tránh: nhận nghiệm âm cho chiều dài; cộng trực tiếp hai tỉ lệ giảm giá liên tiếp; dùng số tiền tính theo nghìn đồng rồi ghi đơn vị đồng.

Học và luyện: Lập hệ phương trình · Lập phương trình.

Số trung bình cộng: lấy tổng các giá trị chia số giá trị. Với bảng tần số, nhân mỗi giá trị với tần số của nó rồi cộng; chia cho tổng tần số. Tần số tương đối = tần số / tổng số quan sát; nhân 100% để đổi sang phần trăm.

Xác suất: khi không gian mẫu hữu hạn và các kết quả đồng khả năng, lấy số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể.

Ví dụ: chọn ngẫu nhiên một thẻ trong 5 thẻ ghi số 1 đến 5. Biến cố “số trên thẻ lớn hơn 3” có 2 kết quả thuận lợi là 4, 5, nên xác suất bằng 2/5.

Lỗi cần tránh: “lớn hơn” khác “lớn hơn hoặc bằng”; “không quá” nghĩa là ≤; đọc nhầm trục hoặc đơn vị biểu đồ. Không dùng cách đếm trên nếu các kết quả không đồng khả năng.

Học và luyện: Bảng tần số · Xác suất của biến cố.

Với góc nhọn α: sin α = đối/huyền; cos α = kề/huyền; tan α = đối/kề; cot α = kề/đối. “Đối” và “kề” phải xác định theo chính góc α.

Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Với tam giác ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC².

Ví dụ: một thang dài 5 m tạo góc 60° với mặt đất nằm ngang. Độ cao đầu thang là 5 sin 60° = 5√3/2 ≈ 4,33 m (bỏ qua độ dày thang).

Lỗi cần tránh: xem cạnh huyền là cạnh kề; máy tính ở chế độ radian khi đề cho độ. Trong bài đo đạc, nhớ cộng chiều cao mắt hoặc dụng cụ nếu đề yêu cầu.

Học và luyện: Tỉ số lượng giác · Ứng dụng tính cạnh và đo đạc.

• Tiếp tuyến: vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm ngoài có độ dài bằng nhau.
• Góc nội tiếp: bằng nửa số đo cung bị chắn. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
• Tứ giác nội tiếp: tứ giác lồi có tổng hai góc đối bằng 180° thì nội tiếp một đường tròn. Hai góc vuông cùng nhìn một đoạn thẳng cũng giúp nhận ra đường tròn đường kính đoạn đó.
• Đồng dạng và Thalès: tìm các góc bằng nhau hoặc cặp đường song song trước; viết đỉnh tương ứng rồi mới lập tỉ số cạnh.

Ví dụ: AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) tại B, C. Vì OB ⟂ AB và OC ⟂ AC nên B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO; do đó ABOC nội tiếp.

Khi cần chứng minh trung điểm: ngoài vị trí điểm trên đoạn, hãy tìm hai đoạn bằng nhau qua đồng dạng, Thalès hoặc đường trung trực. Khi tính diện tích tứ giác, thử chia thành hai tam giác có cạnh hoặc chiều cao đã biết.

Lỗi cần tránh: kết luận từ hình vẽ; lập tỉ số lệch thứ tự đỉnh; dùng góc nội tiếp nhưng không chỉ ra cung bị chắn.

Học và luyện: Tiếp tuyến · Góc nội tiếp · Tứ giác nội tiếp.

Với các độ dài cùng đơn vị: hình chữ nhật S = ab; tam giác S = ah/2; hình bình hành S = ah; hình thang S = (a + b)h/2, trong đó a, b là hai đáy của hình thang và h vuông góc với đáy.

Đường tròn bán kính R có chu vi C = 2πR và diện tích S = πR². Với góc ở tâm n° (0 < n ≤ 360):

Ví dụ: hình bình hành có đáy 2 m, chiều cao 5 m thì diện tích là 10 m². Nếu lát sỏi giá 120 000 đồng/m², chi phí là 1 200 000 đồng.

Lỗi cần tránh: lấy cạnh xiên thay chiều cao; nhầm đường kính với bán kính; tính phần còn lại nhưng quên trừ phần lối đi hoặc phần bị khoét.

Học và luyện: Cung tròn, quạt tròn và vành khuyên.

Với R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón:

• Hình hộp chữ nhật: V = dài × rộng × cao.
• Hình trụ: V = πR²h; diện tích xung quanh S_xq = 2πRh.
• Hình nón: V = πR²h/3; S_xq = πRl. Với hình nón tròn xoay, l² = R² + h².
• Hình cầu: V = 4πR³/3; diện tích mặt cầu S = 4πR².

Ví dụ: lon hình trụ có đường kính 6 cm và chiều cao 10 cm thì R = 3 cm, V = π·3²·10 = 90π cm³. Thể tích phần trống trong hộp bằng thể tích hộp trừ tổng thể tích các vật chứa trong hộp theo mô hình của đề.

Lỗi cần tránh: dùng đường kính trong công thức bán kính; nhầm đường sinh với chiều cao; nhầm cm² với cm³. Giữ π đến bước cuối rồi làm tròn theo yêu cầu. Hình trụ kín có diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng diện tích hai đáy.

Học và luyện: Hình trụ và hình nón · Hình cầu.