TOÁN 12 · KẾT NỐI TRI THỨC · CHƯƠNG 5
Bài 16. Công thức tính góc trong không gian
Phân biệt góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng và đường thẳng với mặt phẳng. Học cách chọn vectơ, dùng đúng sin hoặc cos, rồi vận dụng qua ví dụ và bài tự luyện có lời giải.
Điểm cần nhớ: hai đường dùng hai chỉ phương và cos; hai mặt dùng hai pháp tuyến và cos; đường–mặt dùng chỉ phương, pháp tuyến và sin. Cả ba góc được lấy từ 0° đến 90°.
1. Lý thuyết công thức tính góc trong không gian
Ôn lý thuyết qua 12 ô nhớ
Chọn nội dung phù hợp cho từng ô rồi bấm Kiểm tra. Chuyển sang Đọc lý thuyết để xem công thức, điều kiện và cách giải.
- Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta lấy hai vectơ …….
- Để tính góc giữa hai mặt phẳng, ta lấy hai vectơ …….
- Mọi vectơ đưa vào mẫu số của công thức phải …….
- Góc hình học trong ba dạng của bài này thuộc …….
- Hai chỉ phương cho tỉ số |u·v|/(‖u‖‖v‖) bằng …….
- Hai pháp tuyến cho tỉ số |n₁·n₂|/(‖n₁‖‖n₂‖) bằng …….
- Chỉ phương u và pháp tuyến n cho tỉ số |u·n|/(‖u‖‖n‖) bằng …….
- Để đổi dấu chỉ phương mà góc hình học không đổi, tử số phải có …….
- Nếu u·n = 0 thì góc giữa đường có chỉ phương u và mặt có pháp tuyến n là …….
- Nếu chỉ phương của đường cùng phương với pháp tuyến của mặt thì góc đường–mặt là …….
- Nếu tích vô hướng hai pháp tuyến bằng 0 thì góc giữa hai mặt là …….
- Muốn máy tính trả kết quả theo độ, ta chọn chế độ …….
Đọc lý thuyết
1. Chọn đúng vectơ và kiểm tra điều kiện
Trong hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng có một vectơ chỉ phương u = (a; b; c), với a² + b² + c² > 0. Từ phương trình tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, hãy lấy các hệ số của t để có u. Nếu đường đi qua hai điểm A, B phân biệt, có thể chọn u = AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C), với A² + B² + C² > 0. Hệ số D không phải tọa độ của pháp tuyến. Vectơ chỉ phương nằm theo hướng của đường; vectơ pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng.
Tích vô hướng: u·v = aa′ + bb′ + cc′. Độ dài: ‖u‖ = √(a² + b² + c²). Trong bài này, các chữ in đậm u, v, n đều biểu thị vectơ. Góc hình học cần tìm được lấy trong [0°; 90°].
2. Góc giữa hai đường thẳng: dùng hai chỉ phương
Cho d₁, d₂ có chỉ phương khác vectơ không lần lượt là u, v. Gọi θ là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:
Nếu góc giữa hai vectơ đã chọn là góc tù, θ là góc bù của góc đó. Vì vậy công thức phải có trị tuyệt đối. Đổi u thành −u, hoặc nhân chỉ phương với một số khác 0, không làm đổi θ. Công thức vẫn áp dụng khi hai đường chéo nhau: ta xét các đường cùng phương đi qua một điểm.
- u·v = 0 ⇒ θ = 90°.
- u, v cùng phương ⇒ θ = 0°; chưa đủ để kết luận hai đường trùng nhau.
3. Góc giữa hai mặt phẳng: dùng hai pháp tuyến
Cho (P), (Q) có pháp tuyến khác vectơ không n₁, n₂. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng. Khi đó:
Với (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, tử số là |A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂|; mẫu số là √(A₁² + B₁² + C₁²)·√(A₂² + B₂² + C₂²).
- n₁·n₂ = 0 ⇒ hai mặt phẳng vuông góc, φ = 90°.
- Hai pháp tuyến cùng phương ⇒ φ = 0°; hai mặt phẳng có thể song song hoặc trùng nhau.
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: dùng sin
Cho d có chỉ phương u và (P) có pháp tuyến n, đều khác vectơ không. Gọi α là góc giữa d và (P). Khi d không vuông góc (P), α là góc giữa d và hình chiếu vuông góc của d lên (P). Nếu d vuông góc (P), quy ước α = 90°. Công thức chung là:
Ở công thức tọa độ, u = (a; b; c), n = (A; B; C). Gọi β là góc giữa đường d và đường mang pháp tuyến; ta có α + β = 90°, nên sin α = cos β. Nếu dùng arccos của tỉ số trên, em sẽ nhận được β, không phải α.
- u·n = 0 ⇒ α = 0°: đường song song với mặt phẳng hoặc nằm trong mặt phẳng.
- u cùng phương n ⇒ α = 90°: đường vuông góc mặt phẳng.
5. Quy trình giải và cách dùng máy tính
- Nhận diện: đường–đường, mặt–mặt hay đường–mặt?
- Chọn vectơ: chỉ phương cho đường, pháp tuyến cho mặt; kiểm tra từng vectơ khác 0.
- Tính tỉ số r: lấy trị tuyệt đối tích vô hướng, rồi chia cho tích hai độ dài. Kết quả phải thuộc [0; 1].
- Tìm góc: hai đường hoặc hai mặt dùng arccos r; đường–mặt dùng arcsin r. Đặt máy ở chế độ DEG và chỉ làm tròn kết quả cuối.
Ở đây arccos và arcsin là các hàm tìm góc từ cos hoặc sin, không phải 1/cos và 1/sin. Khi bài yêu cầu tìm tham số, giữ điều kiện vectơ khác 0 trước khi bình phương; thay nghiệm trở lại công thức ban đầu để kiểm tra.
6. Tự phát hiện lỗi trước khi kết luận
Nếu r âm, em có thể đã quên trị tuyệt đối. Nếu r > 1, hãy kiểm tra tích vô hướng, căn bậc hai và ngoặc ở mẫu. Nếu góc vượt 90°, hãy kiểm tra quy ước góc và chế độ DEG. Với đường–mặt, góc 0° tương ứng chỉ phương vuông góc pháp tuyến; góc 90° tương ứng chỉ phương cùng phương pháp tuyến.
2. Sơ đồ chọn công thức
3. Tám ví dụ giải từng bước
Em nên tự xác định hai vectơ và dự đoán dùng sin hay cos trước khi mở lời giải. Các kết quả gần đúng trong bài được làm tròn đến một chữ số thập phân.
Ví dụ 1. Hai đường chéo nhau vẫn có góc xác định
Cho d₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = −1 và d₂: x = 2 + s, y = 0, z = 1 + s (t, s ∈ ℝ). Tính góc giữa d₁ và d₂.
Xem lời giải từng bước
Bước 1. Lấy u = (1; 1; 0), v = (1; 0; 1). Các hằng số 1, 2, −1 xác định điểm đi qua, không tạo thành chỉ phương.
Bước 2. u·v = 1; ‖u‖ = ‖v‖ = √2. Do đó cos θ = 1/(√2·√2) = 1/2.
Kết luận: θ = 60°. Hai đường này không có điểm chung, nhưng vẫn tính góc qua hai chỉ phương; không cần tìm giao điểm trước.
Ví dụ 2. Tích vô hướng âm: giữ trị tuyệt đối
Hai đường có chỉ phương u = (1; 1; 0) và v = (−2; 0; 2). Tính góc giữa hai đường.
Xem lời giải từng bước
Tích vô hướng u·v = −2; tích độ dài bằng √2·√8 = 4. Công thức góc hai đường cho cos θ = |−2|/4 = 1/2, nên θ = 60°.
Nếu xét hai vectơ đã chọn, cos bằng −1/2 và góc vectơ là 120°. Góc giữa hai đường lấy góc không tù, nên bằng 180° − 120° = 60°. Có thể đổi v thành −v để kiểm tra.
Ví dụ 3. Góc giữa hai mặt phẳng và làm tròn
Tính góc giữa (P): x + 2y + 2z − 5 = 0 và (Q): 2x − y + 2z + 1 = 0. Làm tròn đến một chữ số thập phân.
Xem lời giải từng bước
Hai pháp tuyến là n₁ = (1; 2; 2), n₂ = (2; −1; 2), có độ dài đều bằng 3. Tích vô hướng là 2 − 2 + 4 = 4.
Vậy cos φ = 4/(3·3) = 4/9. Ở chế độ DEG, φ = arccos(4/9) ≈ 63,6°. Giữ phân số 4/9 khi nhập máy; không thay bằng 0,44 trước khi lấy góc.
Ví dụ 4. Nhận ra hai mặt phẳng vuông góc
Cho (P): x + y − 3 = 0 và (Q): x − y + 2z + 4 = 0. Tính góc giữa (P) và (Q).
Xem lời giải từng bước
n₁ = (1; 1; 0), n₂ = (1; −1; 2), đều khác vectơ không. Tích vô hướng bằng 1 − 1 + 0 = 0, nên cos φ = 0.
φ = 90°; hai mặt phẳng vuông góc. Hệ số z của (P) bằng 0 là một tọa độ hợp lệ của pháp tuyến, không làm mặt phẳng mất nghĩa.
Ví dụ 5. Đường–mặt: cùng tỉ số 1/2 nhưng lấy arcsin
Cho d: x = 2 + t, y = −1, z = 3 + t và (P): y + z − 1 = 0. Tính góc α giữa d và (P).
Xem lời giải từng bước
Đường có chỉ phương u = (1; 0; 1); mặt có pháp tuyến n = (0; 1; 1). Tích vô hướng bằng 1, tích độ dài bằng √2·√2 = 2.
Vì cần góc đường–mặt, sin α = 1/2, nên α = 30°. Góc 60° thu được từ arccos(1/2) là góc giữa d và pháp tuyến; lấy 90° − 60° cũng được 30°.
Ví dụ 6. Hai trường hợp biên: 0° và 90°
Với (P): z = 0, xét d₁: (x; y; z) = (t; 1; 2), d₂: (x; y; z) = (t; 1; 0), d₃: (x; y; z) = (1; 2; t). Tìm góc của từng đường với (P).
Xem lời giải từng bước
Pháp tuyến của (P) là n = (0; 0; 1). Hai đường d₁, d₂ cùng có chỉ phương (1; 0; 0), tích vô hướng với n bằng 0; cả hai góc đều 0°.
Tuy cùng góc 0°, d₁ song song (P) vì z luôn bằng 2, còn d₂ nằm trong (P) vì z luôn bằng 0. Đường d₃ có chỉ phương (0; 0; 1), cùng phương n; sin α = 1 và góc bằng 90°.
Ví dụ 7. Tìm tham số từ góc giữa hai đường
Hai đường có chỉ phương u = (m; 1; 0), v = (1; 0; 1). Tìm m để góc giữa chúng bằng 60°.
Xem lời giải từng bước
Hai vectơ luôn khác 0 với mọi m ∈ ℝ. Điều kiện là |m|/(√(m² + 1)·√2) = cos 60° = 1/2.
Hai vế không âm; bình phương được m²/[2(m² + 1)] = 1/4, suy ra 4m² = 2m² + 2 ⇒ m² = 1.
m = 1 hoặc m = −1. Thay mỗi giá trị vào công thức gốc đều cho tỉ số 1/2, nên nhận cả hai nghiệm. Bỏ trị tuyệt đối sẽ làm mất nghiệm âm.
Ví dụ 8. Độ nghiêng của một thanh so với nền ngang
Chọn hệ tọa độ với mặt nền (Oxy), đơn vị mét. Một thanh thẳng nối A(0; 0; 0) và B(12; 0; 5). Tính góc thanh với nền, làm tròn đến một chữ số thập phân.
Xem lời giải từng bước
Chỉ phương của thanh là AB = (12; 0; 5), có độ dài 13. Nền z = 0 có pháp tuyến n = (0; 0; 1).
sin α = 5/13, nên α = arcsin(5/13) ≈ 22,6°. Có thể kiểm tra bằng tam giác vuông có chiều cao 5 m, hình chiếu ngang 12 m: tan α = 5/12 cho cùng kết quả.
Không dùng sin α = 5/12: mẫu của sin là chiều dài thanh 13 m, còn 12 m là độ dài hình chiếu.
4. Mười sáu bài tự luyện có lời giải
Viết rõ loại góc, hai vectơ, tích vô hướng và tích độ dài. Làm xong từng bài rồi mở phần đối chiếu để kiểm tra cách lập luận.
Bài tự luyện 1. Chọn vectơ trước khi tính
Đường d có phương trình x = 2 − t, y = 3 + 2t, z = 1 + 2t. Mặt (P): 2x − y + 2z − 7 = 0. Viết một chỉ phương của d và một pháp tuyến của (P).
Đối chiếu đáp án và cách giải
Lấy hệ số của t: u = (−1; 2; 2). Lấy hệ số x, y, z: n = (2; −1; 2). Cả hai có độ dài 3 và khác vectơ không.
Bài tự luyện 2. Hai đường – góc đặc biệt
Hai đường có chỉ phương (1; 0; 0) và (1; √3; 0). Tính góc giữa chúng.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Tích vô hướng bằng 1; tích độ dài bằng 1·2 = 2. cos θ = 1/2 ⇒ θ = 60°.
Bài tự luyện 3. Hai chỉ phương ngược chiều
Hai đường có chỉ phương (2; −1; 2) và (−4; 2; −4). Góc giữa hai đường bằng bao nhiêu?
Đối chiếu đáp án và cách giải
Vectơ thứ hai bằng −2 lần vectơ thứ nhất, nên hai hướng cùng phương. Có cos θ = |−18|/(3·6) = 1, vì thế θ = 0°. Góc giữa hai vectơ đã chọn là 180°, nhưng góc giữa hai đường là 0°.
Bài tự luyện 4. Nhận ra góc vuông giữa hai đường
Hai đường có chỉ phương (1; 2; −1) và (2; −1; 0). Tính góc giữa chúng.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Tích vô hướng 1·2 + 2·(−1) + (−1)·0 = 0. Hai vectơ đều khác 0, nên θ = 90°.
Bài tự luyện 5. Hai mặt phẳng vuông góc
Tính góc giữa (P): x − y + z = 0 và (Q): 2x + y − z + 3 = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Hai pháp tuyến (1; −1; 1), (2; 1; −1) có tích vô hướng 2 − 1 − 1 = 0. Vậy φ = 90°.
Bài tự luyện 6. Hai mặt – dùng cos
Tính góc giữa (P): x + y − 1 = 0 và (Q): x + z + 2 = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Pháp tuyến (1; 1; 0), (1; 0; 1); tích vô hướng bằng 1 và mỗi độ dài bằng √2. cos φ = 1/2 ⇒ φ = 60°.
Bài tự luyện 7. Góc 0° giữa hai mặt
Tính góc giữa (P): 2x − y + 2z − 1 = 0 và (Q): 4x − 2y + 4z + 5 = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Hai pháp tuyến cùng phương vì (4; −2; 4) = 2(2; −1; 2), nên φ = 0°. Hai mặt song song, không trùng: nhân phương trình (P) với 2 cho hằng số −2, khác hằng số 5 của (Q).
Bài tự luyện 8. Góc với mặt phẳng song song Oxy
Đường d có chỉ phương (1; 0; 1). Tính góc của d với (P): z − 2 = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Pháp tuyến (0; 0; 1). sin α = 1/√2 = √2/2, nên α = 45°. Hằng số −2 không làm đổi hướng pháp tuyến.
Bài tự luyện 9. Đường–mặt có góc 30°
Đường có chỉ phương (√3; 0; 1). Tính góc của đường với mặt phẳng z = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Độ dài chỉ phương bằng √(3+1) = 2; pháp tuyến (0; 0; 1) có độ dài 1. sin α = 1/2 ⇒ α = 30°.
Bài tự luyện 10. Đường song song hoặc nằm trong mặt
Một đường có chỉ phương (1; 2; 0). Tính góc của đường với mặt (P): z = 3. Có thể kết luận đường nằm trong (P) chỉ từ chỉ phương này không?
Đối chiếu đáp án và cách giải
Pháp tuyến (0; 0; 1) cho tích vô hướng bằng 0, nên α = 0°. Chưa thể kết luận đường nằm trong (P); cần biết thêm một điểm của đường có tọa độ z = 3 hay không.
Bài tự luyện 11. Đường vuông góc mặt
Đường có chỉ phương (1; −2; 2). Tính góc của đường với (P): x − 2y + 2z = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Chỉ phương trùng một pháp tuyến của mặt. sin α = 9/(3·3) = 1, nên α = 90°.
Bài tự luyện 12. Đường qua hai điểm
Cho A(1; 2; 3), B(3; 3; 5). Tính góc của AB với mặt phẳng (Oxy), làm tròn đến một chữ số thập phân.
Đối chiếu đáp án và cách giải
AB = (2; 1; 2), độ dài 3. Pháp tuyến (Oxy) là (0; 0; 1), nên sin α = 2/3. Do đó α ≈ 41,8°.
Bài tự luyện 13. Tham số để hai mặt vuông góc
Tìm m để (Pm): mx + y + z = 0 vuông góc với (Q): x − y + 2z = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Hai pháp tuyến (m; 1; 1), (1; −1; 2) đều khác 0. Điều kiện tích vô hướng bằng 0 là m − 1 + 2 = 0, nên m = −1.
Bài tự luyện 14. Tham số từ góc hai đường
Hai đường có chỉ phương (1; m; 0) và (1; 0; 0). Tìm m để góc hai đường bằng 45°.
Đối chiếu đáp án và cách giải
cos θ = 1/√(1+m²). Đặt bằng √2/2, bình phương được 1/(1+m²) = 1/2 ⇒ m² = 1. Hai giá trị m = ±1 đều thỏa mãn công thức ban đầu.
Bài tự luyện 15. Tham số từ góc đường–mặt
Đường d có chỉ phương (m; 0; 1). Tìm m để d tạo với mặt phẳng z = 0 một góc 30°.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Chỉ phương luôn khác 0. Với pháp tuyến (0; 0; 1), sin α = 1/√(m²+1). Đặt bằng 1/2 được m²+1 = 4 ⇒ m = ±√3. Cả hai nghiệm đều cho α = 30°.
Bài tự luyện 16. Độ nghiêng của đường dốc
Trong hệ tọa độ có đơn vị mét, một đoạn dốc nối A(0; 0; 0), B(6; 0; 2√3). Tính góc của đoạn dốc với nền z = 0.
Đối chiếu đáp án và cách giải
Chỉ phương AB = (6; 0; 2√3), độ dài √(36+12) = 4√3. Vì sin α = 2√3/(4√3) = 1/2 nên α = 30°. Kiểm tra: tan α = 2√3/6 = √3/3.
5. Chốt kiến thức và học tiếp
Trước khi chuyển bài, em hãy tự giải thích vì sao góc đường–mặt dùng sin; vì sao cần trị tuyệt đối; và vì sao góc 0° chưa đủ phân biệt song song với nằm trong hoặc trùng nhau. Đây là ba điểm giúp tránh nhầm khi đề thay đổi cách cho phương trình.
PDF chương 5 hiện có
8 ví dụ và 16 bài tự luyện riêng của Bài 16 được trình bày trực tiếp trên trang này.
Học liệu, ví dụ, bài tập và sơ đồ do Gia Sư SV biên soạn. Tên và thứ tự bài theo Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống, tập hai.