Bài 23: Phân số, phân số bằng nhau và rút gọn

1. Phân số biểu diễn cả kết quả chia số nguyên

Với a, b là số nguyên và b khác 0, $\frac{\text{a}}{\text{b}}$ là một phân số. Số a gọi là tử số; b gọi là mẫu số. Phân số biểu diễn kết quả của a chia cho b, kể cả khi phép chia không cho số nguyên.

Ví dụ, $\frac{\text{−3}}{\text{5}}$ có tử −3, mẫu 5. Mỗi số nguyên m cũng là phân số vì m = $\frac{\text{m}}{\text{1}}$. Các biểu thức có mẫu 0 không phải phân số hợp lệ. Trong khái niệm đang học, tử và mẫu phải là số nguyên: không dùng 2,5 làm tử rồi gọi đó là phân số theo định nghĩa này.

2. Hai cách viết, một giá trị

Nếu hai tờ giấy có cùng kích thước, tô một trong hai phần bằng nhau hoặc tô ba trong sáu phần bằng nhau đều chiếm một nửa. Vì vậy $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{6}}$. Phải so trên cùng một đơn vị toàn thể; nửa bánh lớn không có cùng lượng với nửa bánh nhỏ.

Với các mẫu b, d khác 0, hai phân số $\frac{\text{a}}{\text{b}}$ và $\frac{\text{c}}{\text{d}}$ bằng nhau khi a × d = b × c. Ta so sánh hai tích chéo, không so tử riêng với mẫu riêng.

$\frac{\text{−2}}{\text{3}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{−6}}$ vì (−2) × (−6) = 3 × 4 = 12.

3. Tính chất cơ bản và quy ước mẫu dương

Nhân cả tử và mẫu với cùng một số nguyên khác 0 được phân số bằng phân số ban đầu. Tương tự, chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung khác 0 thì giá trị không đổi. Chỉ thay tử hoặc chỉ thay mẫu thường làm đổi giá trị.

Để đưa mẫu âm về mẫu dương, nhân cả tử và mẫu với −1. Chẳng hạn $\frac{\text{5}}{\text{−7}}$ = $\frac{\text{−5}}{\text{7}}$; còn $\frac{\text{−5}}{\text{−7}}$ = $\frac{\text{5}}{\text{7}}$. Hai dấu âm trong tử và mẫu cho giá trị dương.

4. Rút gọn tới phân số tối giản

Rút gọn là chia tử và mẫu cho một ước chung khác ±1 để được số nhỏ hơn về phần số tự nhiên. Một phân số tối giản có tử và mẫu không còn ước chung nào ngoài 1 và −1. Em có thể rút gọn nhiều lần hoặc dùng ước chung lớn nhất của hai phần số tự nhiên để làm một lần.

Với $\frac{\text{−18}}{\text{30}}$, ƯCLN(18, 30) = 6. Chia cả tử và mẫu cho 6 được $\frac{\text{−3}}{\text{5}}$. Tử và mẫu mới nguyên tố cùng nhau nên dừng. Rút gọn không có nghĩa là phân số giảm giá trị; chỉ có cách viết gọn hơn.

Nếu tử bằng 0 và mẫu khác 0 thì giá trị phân số bằng 0, có thể viết 0/1. Nếu mẫu âm, nên đổi mẫu dương trước khi so sánh hoặc tính toán ở những bài tiếp theo.