Đạo hàm bằng 0 có luôn là cực trị không? Không. Trong bài Toán 12, việc giải f′(x) = 0 mới tìm được những điểm cần xét; muốn kết luận cực đại hay cực tiểu phải kiểm tra dấu của f′ ở hai bên. Với dạng đạo hàm cho sẵn thành tích, em thường không cần khai triển đa thức và cũng không cần tìm lại f(x).
Bài này dùng câu tự biên soạn để tập đọc đề: cần đếm số cực trị, tìm hoành độ cực trị hay tính giá trị cực trị? Phân biệt ba yêu cầu này sẽ giúp em dừng đúng lúc và không làm những phép tính đề không cần.
1. Trước khi tính, khoanh đúng điều đề hỏi
- Số điểm cực trị: cần đếm các lần đổi dấu phù hợp của đạo hàm, với điểm đang xét thuộc miền xác định và hàm liên tục tại đó.
- Hoành độ cực trị: cần ghi các giá trị x tương ứng.
- Giá trị cực trị: sau khi tìm x còn phải tính f(x). Chỉ biết đạo hàm thường chưa đủ để xác định giá trị này.
Trong các ví dụ đạo hàm đa thức dưới đây, giả thiết hàm khả vi trên toàn bộ trục số giúp việc xét dấu thuận lợi. Nếu đề có mẫu, căn hoặc miền xác định bị ngắt, em phải xét điều kiện trước. Không gom hai khoảng bị ngăn bởi một điểm không xác định thành một khoảng đồng biến.
2. Đạo hàm dạng tích: nhìn bội để tiết kiệm phép tính
Đề tự luyện: Hàm f khả vi trên R, có f′(x) = (x + 2)(x − 1)2(x − 3). Hỏi hàm có bao nhiêu điểm cực trị và đạt cực trị tại các giá trị x nào?
Câu hỏi gia sư: Em thấy ba nghiệm của đạo hàm, nhưng có chắc cả ba đều làm dấu đổi không? Riêng (x − 1)2 là bình phương, nên luôn dương ngoài x = 1. Nó không tự làm dấu đổi khi đi qua 1.
Ta giữ nguyên dạng tích và lập bảng nhỏ:
| Khoảng | Dấu f′ | Chiều biến thiên của f |
|---|---|---|
| x < −2 | + | Đồng biến |
| −2 < x < 1 | − | Nghịch biến |
| 1 < x < 3 | − | Nghịch biến |
| x > 3 | + | Đồng biến |
- Qua x = −2: dấu đổi từ + sang −, nên f đạt cực đại tại x = −2.
- Qua x = 1: dấu vẫn là −, nên không có cực trị tại x = 1.
- Qua x = 3: dấu đổi từ − sang +, nên f đạt cực tiểu tại x = 3.
Kết luận có hai điểm cực trị. Hàm vẫn nghịch biến trên cả khoảng (−2; 3), dù đạo hàm bằng 0 tại điểm riêng lẻ x = 1. Không cần khai triển đạo hàm bậc bốn để có kết luận này.
Ở dạng tích đa thức, một nghiệm bội chẵn không đổi dấu; một nghiệm bội lẻ làm đổi dấu, miễn các nhân tử còn lại không bằng 0 tại đó. Khi các nhân tử cùng có một nghiệm, phải cộng bội của nghiệm ấy trước khi áp dụng nhận xét.
3. Chỉ thêm dấu trừ: vị trí giữ nguyên nhưng loại cực trị đổi
Giả sử g′(x) = −(x + 2)(x − 1)2(x − 3). Các nghiệm đạo hàm vẫn là −2, 1 và 3. Tuy nhiên mọi dấu trong bảng bị đảo: −, +, +, −.
Vì vậy g có cực tiểu tại −2, cực đại tại 3 và vẫn không có cực trị tại 1. Nếu chỉ thuộc lòng “nghiệm bên trái là cực đại” mà không đọc hệ số và dấu, em sẽ trả lời ngược.
Cách tự kiểm tra: chọn một điểm nằm bên phải tất cả các nghiệm, chẳng hạn x = 4, thay vào đạo hàm để biết dấu khoảng cuối. Sau đó đi ngược qua từng nghiệm và quyết định có đổi dấu hay không. Một phép thế giúp giữ đúng chiều của cả bảng.
4. Khi đề hỏi giá trị cực trị, phải quay về hàm ban đầu
Đề tự luyện: Tìm giá trị cực đại và cực tiểu của h(x) = x3 − 3x2 − 9x + 4.
- Tính h′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1).
- Dấu h′ lần lượt là +, −, + trên các khoảng chia bởi −1 và 3.
- h đạt cực đại tại x = −1, với h(−1) = −1 − 3 + 9 + 4 = 9.
- h đạt cực tiểu tại x = 3, với h(3) = 27 − 27 − 27 + 4 = −23.
Nếu đề chỉ hỏi hoành độ cực đại, đáp án là −1. Nếu hỏi giá trị cực đại, đáp án là 9. Nếu hỏi điểm cực đại trên đồ thị, đó là (−1; 9). Đọc kỹ một chữ trong yêu cầu có thể tránh mất điểm dù em đã xét dấu đúng.
5. Hai bẫy cần chặn khi đọc đồ thị hoặc miền xác định
Đồ thị đang vẽ là f hay f′? Nếu là đồ thị f′, hãy nhìn nó nằm trên hay dưới trục hoành để suy ra dấu đạo hàm. Đoạn đồ thị f′ đang đi lên chưa có nghĩa f đồng biến; nó có thể đi lên nhưng vẫn nằm dưới trục hoành, khi đó f′ âm và f nghịch biến.
Đạo hàm dương nhưng miền bị ngắt: Với u(x) = −1/x, ta có u′(x) = 1/x2 > 0 khi x ≠ 0. Hàm đồng biến trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞). Không kết luận đồng biến trên toàn bộ R bỏ 0: lấy −1 < 1 nhưng u(−1) = 1 > −1 = u(1).
Với điểm hàm không liên tục hoặc không thuộc miền xác định, không áp dụng máy móc quy tắc đổi dấu như trong ví dụ đa thức. Điểm “đạo hàm không xác định” cũng cần được phân biệt với điểm “hàm không xác định”.
6. Ba câu luyện nhanh có giải thích
Câu 1. Hàm khả vi trên R có f′(x) = −2(x + 3)3(x − 2)2. Có mấy điểm cực trị?
Lời giải: Qua −3, nhân tử bội 3 đổi dấu; qua 2, nhân tử bội 2 không đổi dấu. Thử x = 3 cho đạo hàm âm, suy ra dấu hai phía −3 là + rồi −. Có một cực đại tại x = −3, không có cực trị tại 2.
Câu 2. Hàm khả vi trên R có f′(x) = (x − 1)2. Có cực trị tại 1 không?
Lời giải: Không. Đạo hàm dương ở cả hai phía và chỉ bằng 0 tại 1. Hàm vẫn đi theo một chiều qua điểm đó.
Câu 3. Hàm khả vi trên R có f′(x) = 3x2 − 12. Chỉ từ dữ kiện này có tính được giá trị cực đại không?
Lời giải: Ta xác định được cực đại tại x = −2 và cực tiểu tại x = 2 từ dấu +, −, +. Nhưng chưa biết giá trị cực đại: các hàm x3 − 12x + C có cùng đạo hàm, còn giá trị cực đại thay đổi theo C.
Muốn ôn lại nền tảng, xem Toán 12: ứng dụng đạo hàm. Khi chuyển sang đề tổng hợp, dùng bảng kiến thức nền Toán 12 để chọn đúng phần cần luyện, không học lại toàn chương nếu em chỉ đang nhầm một bước đọc đề.
Nguồn nền tảng đối chiếu: OpenStax — Derivatives and the Shape of a Graph. Các đề và phép tính trong bài do Gia Sư SV biên soạn, kiểm tra riêng.