Rút gọn căn thức Toán 9 thường nhanh hơn khi em nhận ra biểu thức đang lặp lại, thay vì nhân và khai triển ngay. Hai câu hỏi nên đặt trước là: “Điều kiện nào làm mẫu bằng 0?” và “Nếu gọi √x là một chữ, biểu thức có quen hơn không?”. Bài này hướng dẫn cách dùng t = √x, giữ điều kiện gốc và nhận ra tổng có thể triệt tiêu.
Các bài luyện do Gia Sư SV tự biên soạn, phù hợp ôn phần biến đổi căn thức và đọc câu đại số trong đề vào lớp 10. Mỗi cách giải nhanh đều đi kèm một tình huống không được dùng máy móc.
1. Ba việc trước khi biến đổi
- Ghi điều kiện của căn và mẫu trong biểu thức ban đầu.
- Nhìn các cặp x − a2 và √x ± a. Chúng thường gợi hiệu hai bình phương.
- Nếu √x xuất hiện nhiều lần, đặt t = √x và ghi t ≥ 0; khi cần, chuyển cả điều kiện loại trừ sang t.
Đặt ẩn phụ là đổi cách viết, không phải thêm một nghiệm mới. Vì t = √x nên x = t2. Nhưng từ t2 = x không được tự nhận mọi t âm: căn bậc hai số học luôn không âm.
Ví dụ x − 9 = (√x − 3)(√x + 3) chỉ được dùng trong phạm vi x ≥ 0. Nhận dạng trước giúp em thấy nhân tử nào có thể rút gọn và điều kiện nào phải được giữ.
2. Đề có hai phân thức: đặt t để nhìn ra phép tính
Đề tự luyện: Rút gọn A = (√x + 1)/(√x − 1) − 2√x/(x − 1), rồi tìm x để A = 2.
Gợi ý đầu tiên: Đừng nhân riêng từng căn. Hai mẫu liên quan với nhau qua x − 1 = (√x − 1)(√x + 1).
- Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1. Đặt t = √x thì t ≥ 0, t ≠ 1.
- Viết lại A = (t + 1)/(t − 1) − 2t/[(t − 1)(t + 1)].
- Quy đồng: A = [(t + 1)2 − 2t]/(t2 − 1).
- Khai triển đúng phần cần thiết: (t + 1)2 − 2t = t2 + 1.
- Trở về x: A = (x + 1)/(x − 1), với x ≥ 0, x ≠ 1.
Giải A = 2: x + 1 = 2(x − 1), suy ra x = 3. Giá trị này thỏa điều kiện ban đầu nên nhận x = 3. Em có thể thay vào biểu thức đã rút gọn để kiểm tra (3 + 1)/(3 − 1) = 2.
Muốn kiểm tra riêng quá trình rút gọn, chọn x = 9: biểu thức ban đầu bằng 4/2 − 6/8 = 5/4; biểu thức cuối bằng 10/8 = 5/4. Một lần thử không chứng minh được đẳng thức, nhưng phát hiện được nhiều lỗi khai triển hoặc quy đồng.
3. Cái bẫy: mẫu biến mất không làm điều kiện biến mất
Xét B = (x − 9)/(√x − 3). Điều kiện ban đầu là x ≥ 0 và x ≠ 9. Phân tích tử cho B = √x + 3, nhưng kết quả này vẫn phải đi kèm x ≠ 9.
Nếu hỏi “tính B tại x = 9”, không được lấy 3 + 3 = 6. Biểu thức B ban đầu có mẫu bằng 0 nên không xác định tại đó. Số 6 là giá trị của biểu thức mới √x + 3 tại x = 9, không phải giá trị của B tại một điểm bị loại.
Một lỗi khác là rút gọn √((x − 3)2) thành x − 3 với mọi x. Dạng đúng là |x − 3|. Thử x = 1: căn bằng 2, còn x − 3 bằng −2. Chỉ khi đã biết x ≥ 3 mới bỏ giá trị tuyệt đối theo cách ấy.
4. Tổng nhiều phân thức: thử liên hợp trước khi cộng
Đề tự luyện: Tính T = 1/(√2 + 1) + 1/(√3 + √2) + … + 1/(3 + √8). Tổng có tám số hạng, tương ứng k từ 1 đến 8 trong 1/(√(k + 1) + √k).
Nếu bấm từng căn rồi cộng số thập phân, em vừa làm nhiều thao tác vừa dễ bị lệch do làm tròn. Nhân tử và mẫu của một số hạng với √(k + 1) − √k:
1/(√(k + 1) + √k) = √(k + 1) − √k, vì mẫu mới bằng (k + 1) − k = 1.
Do đó T = (√2 − 1) + (√3 − √2) + … + (3 − √8). Mỗi căn ở giữa xuất hiện một lần dấu cộng và một lần dấu trừ, nên triệt tiêu. Còn lại T = 3 − 1 = 2.
Đây không phải mẹo “cứ có căn là triệt tiêu”. Nó hiệu quả vì các số hạng nối tiếp đúng mẫu trên. Nếu đổi một số hạng thành 1/(√5 + √2), mẫu sau liên hợp là 5 − 2 = 3; không còn được chép cùng kết quả.
5. Ba câu ngắn để kiểm tra em đã nhận dạng được chưa
Câu 1. Rút gọn C = (x − 16)/(√x − 4) rồi tính tại x = 25.
Lời giải: Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 16. Tử là (√x − 4)(√x + 4), nên C = √x + 4 trên miền ấy. Với x = 25, C = 9. Không nhận x = 16 dù mẫu đã bị rút gọn.
Câu 2. Rút gọn √((x − 5)2) khi x < 5.
Lời giải: Căn bằng |x − 5|. Vì x − 5 < 0 nên kết quả là 5 − x, không phải x − 5.
Câu 3. Cộng các số hạng 1/(√(k + 1) + √k) với k từ 4 đến 15.
Lời giải: Mỗi số hạng thành √(k + 1) − √k. Các căn ở giữa triệt tiêu, còn √16 − √4 = 2. Hãy kiểm tra cả chỉ số đầu và cuối trước khi lấy hai căn ngoài cùng.
6. Cách trình bày ngắn mà vẫn đủ căn cứ
Em có thể viết gọn nhưng cần giữ điều kiện, phép phân tích hoặc liên hợp quyết định, biểu thức sau rút gọn và kết luận. Những bước này giúp người đọc biết em đã hiểu vì sao được khử một nhân tử. Không cần chép lại cả phần lý thuyết căn thức.
Hãy chọn câu rút gọn trong bộ đề ôn thi vào lớp 10, thử khoanh chỗ lặp √x trước khi giải. Nếu vẫn sai, ghi đúng nguyên nhân vào sổ lỗi sai: bỏ điều kiện, bỏ giá trị tuyệt đối hay nhầm dấu khi liên hợp.
Nguồn đối chiếu quy tắc căn và liên hợp: OpenStax — Radicals and Rational Exponents. Các câu luyện và lời giải được biên soạn riêng.