Bài tập ứng dụng tỉ số lượng giác lớp 9 – 25 ý có lời giải

Vào thời điểm tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc \(60^\circ\), bóng của một cái tháp trên mặt đất dài \(20\) m. Gọi \(A\) là đỉnh tháp, \(B\) là chân tháp và \(C\) là đầu bóng; \(AB\perp BC\), \(BC=20\) m, \(\widehat{ACB}=60^\circ\).

Một tàu ngầm bắt đầu lặn từ mặt nước và đi theo một đường thẳng tạo với mặt nước một góc \(21^\circ\). Gọi \(A\) là vị trí bắt đầu lặn, \(C\) là vị trí của tàu dưới nước và \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên mặt nước. Khi đó \(AB\) nằm trên mặt nước, \(BC\) là độ sâu và \(\widehat{BAC}=21^\circ\).

Một khúc sông rộng \(250\) m. Dòng nước làm thuyền đi lệch một góc \(40^\circ\) so với phương vuông góc với hai bờ. Gọi \(B\) là nơi xuất phát, \(C\) là điểm đối diện vuông góc trên bờ bên kia và \(A\) là nơi thuyền cập bến; \(BC=250\) m, \(AC\perp BC\), \(\widehat{CBA}=40^\circ\).

Một chiếc thuyền dự định đi từ \(A\) đến \(B\) theo phương vuông góc với hai bờ sông song song. Dòng nước đẩy thuyền đến \(C\) trên bờ bên kia, cách điểm dự định \(B\) một đoạn \(BC=30\) m. Bề rộng sông là \(AB=150\) m và \(AB\perp BC\).

Một tháp \(AB\) đứng thẳng trên bờ sông, \(B\) là chân tháp. Từ điểm \(C\) ở bờ đối diện, người ta nhìn đỉnh \(A\) dưới góc nâng \(\widehat{ACB}=60^\circ\). Đi tiếp ra xa tháp đến điểm \(D\) sao cho \(CD=20\) m thì góc nâng là \(\widehat{ADB}=30^\circ\). Các điểm \(D,C,B\) thẳng hàng theo thứ tự ấy và \(AB\perp DB\).

Một cây cao \(14\) m nằm cách một bức tường cao \(8\) m một khoảng ngang \(12\) m. Một người cao \(1{,}8\) m đứng ở phía bên kia bức tường. Xét mô hình người quan sát có tầm mắt ở độ cao \(1{,}8\) m so với mặt đất, các chân cây, tường và người cùng nằm trên một đường thẳng ngang.

Hải đăng \(AB\) cao \(75\) m, \(A\) là chân hải đăng và \(B\) là đỉnh. Một tàu đi thẳng về phía \(A\). Từ \(B\), góc hạ xuống tàu lần lượt là \(20^\circ\) khi tàu ở \(C\) và \(30^\circ\) khi tàu ở \(D\). Các điểm \(C,D,A\) nằm trên mặt biển ngang theo thứ tự ấy.

Một máy bay đang bay ở độ cao \(12\) km. Khi hạ cánh, đường đi thẳng của máy bay tạo với mặt đất một góc.

Một chiếc thang dài \(6\) m tựa vào một bức tường thẳng đứng. Để đặt thang theo góc an toàn đã cho, góc giữa thang và mặt đất ngang phải bằng \(65^\circ\).

Một chiếc thang chữ A được mô hình hóa bằng tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), với hai chân \(B,C\) trên mặt đất ngang. Mỗi cạnh thang tạo với mặt đất góc \(75^\circ\). Độ cao thẳng đứng từ đỉnh \(A\) xuống mặt đất là \(AH=2\) m, với \(H\in BC\) và \(AH\perp BC\).

Để đo chiều cao \(CH\) của một tòa nhà ở phía bên kia sông, người ta chọn hai điểm \(A,B\) trên mặt đất ngang, với \(A,B,H\) thẳng hàng theo thứ tự ấy, \(AB=371\) m và \(CH\perp AH\). Các góc nâng lên đỉnh \(C\) là \(\widehat{HAC}=43^\circ\) và \(\widehat{HBC}=75^\circ\).

Một tòa nhà \(AB\) cao \(70\) m, \(A\) là chân nhà và \(B\) là đỉnh. Một đèn ở \(B\) chiếu tới ô tô tại điểm \(C\) trên mặt đất ngang. Tia sáng tạo với phương ngang góc \(35^\circ\); do các phương ngang song song, \(\widehat{BCA}=35^\circ\).

Tính các độ dài \(x,y\) trong từng hình dưới đây. Các độ dài đều tính bằng xăng-ti-mét; làm tròn kết quả đến hàng phần mười của xăng-ti-mét.

Một người đứng tại \(A\), cách chân cột cờ \(C\) một đoạn \(AC=20\) m. Mắt người ở vị trí \(B\), cao hơn mặt đất \(AB=1{,}5\) m. Cột cờ \(CE\) thẳng đứng. Đường ngang \(BD\) qua mắt gặp cột cờ tại \(D\); góc nâng lên đỉnh cột cờ là \(\widehat{EBD}=32^\circ\).

Mặt cắt đứng phần mái của một ngôi nhà là tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Mỗi cạnh mái dài \(3{,}5\) m, tức \(AB=AC=3{,}5\) m. Góc giữa mái và phương ngang là \(\widehat{ABC}=25^\circ\).

Trên mặt biển ngang, ca nô ở \(A\), cách chân hải đăng \(B\) một đoạn \(AB=300\) m. Người quan sát trên tháp đặt mắt tại \(C\). Tia nhìn \(CA\) tạo với tia nằm ngang \(Cx\) góc \(\widehat{ACx}=27^\circ\), với \(AB\parallel Cx\) và \(BC\perp AB\).

Một chiếc thuyền đi từ \(P\) theo hướng Đông với tốc độ \(20\) km/h trong \(1\) giờ \(30\) phút đến \(A\). Sau đó thuyền đi theo hướng Bắc với cùng tốc độ trong \(3\) giờ \(30\) phút đến \(B\).

Từ đài quan sát có đỉnh \(B\) cao \(15\) m so với mặt biển và chân \(A\), một người nhìn thấy hai chiếc thuyền ở \(C\) và \(D\) dưới các góc hạ lần lượt \(10^\circ\) và \(40^\circ\). Hai thuyền ở cùng một phía đối với chân đài, với \(C,D,A\) thẳng hàng theo thứ tự ấy. Mặt biển được coi là ngang.

Các điểm \(H,B,C\) thẳng hàng theo thứ tự ấy trên một đường ngang. Điểm \(A\) ở phía trên \(H\) với \(AH\perp HC\) và \(AH=120\) m. Từ \(B,C\) kẻ các tia thẳng đứng hướng lên là \(Bx,Cy\). Biết góc giữa \(BA\) và \(Bx\) bằng \(30^\circ\), góc giữa \(CA\) và \(Cy\) bằng \(45^\circ\).

Tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật với \(AB=50\) m; \(A,C\) ở trên mặt đất ngang, \(B,D\) nằm phía trên tương ứng. Điểm \(E\) nằm trên tia \(CD\), ở phía trên \(D\). Biết \(\widehat{EBD}=31{,}5^\circ\) và \(\widehat{DBC}=41^\circ\).

Cho tam giác \(ABC\) với \(BC=250\) m, \(\widehat{ABC}=30^\circ\) và \(\widehat{ACB}=40^\circ\).