Tổng kết chương/chủ đề
Parabol y=ax² có tính đối xứng, chiều mở theo dấu a. Phương trình ax²+bx+c=0 với a≠0 dùng biệt thức để xét nghiệm; Viète nối tổng/tích nghiệm với hệ số nhưng vẫn cần điều kiện có nghiệm thực nếu bài yêu cầu. Bài thực tế cần chọn nghiệm phù hợp đơn vị, dấu và miền của ẩn.
Mục lục bài học
- Toán 9 – Bài 18 – Hàm số y=ax², a≠0
- Toán 9 – Bài 19 – Phương trình bậc hai một ẩn
- Toán 9 – Bài 20 – Định lí Viète và ứng dụng
- Toán 9 – Bài 21 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Toán 9 – Bài 18 – Hàm số y=ax², a≠0
Mục tiêu và kiến thức nền
Đọc tính chất parabol, vẽ đồ thị và tìm hệ số từ một điểm. Cần biết hàm số và tọa độ.
Tính chất
Hàm y=ax² xác định trên ℝ, nhận cùng giá trị tại x và −x, nên đồ thị đối xứng qua Oy, đỉnh O(0;0). Nếu a>0, parabol mở lên, y≥0, giá trị nhỏ nhất 0 tại x=0; hàm giảm trên (−∞;0], tăng trên [0;+∞). Nếu a<0, parabol mở xuống, y≤0, giá trị lớn nhất 0; chiều biến thiên đảo lại.
Phương pháp
Lập bảng các cặp x đối nhau và x=0, tính y rồi đặt điểm, nối đường cong trơn đối xứng. Nếu đồ thị qua M(x₀;y₀), thay y₀=ax₀²; khi x₀≠0 thì a=y₀/x₀². Điểm O luôn thuộc mọi parabol dạng này nên dữ kiện “qua O” không xác định a.
Giao với đường thẳng y=mx+n được tìm bằng ax²=mx+n, chuyển thành phương trình bậc hai. Số nghiệm thực là số hoành độ giao điểm; tìm tung độ bằng một trong hai phương trình.
Ghi nhớ
Không vẽ parabol thành hai đoạn thẳng. Dấu a quyết định mở lên/xuống, |a| ảnh hưởng độ hẹp/rộng khi cùng hệ trục. Bài này chỉ xét đỉnh O; không tự áp tính chất đó cho mọi hàm bậc hai có thêm bx+c.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 19 – Phương trình bậc hai một ẩn
Mục tiêu và kiến thức nền
Nhận biết phương trình bậc hai, xác định số nghiệm và giải. Cần biết căn bậc hai và biến đổi đẳng thức.
Công thức
ax²+bx+c=0 với a≠0 có biệt thức Δ=b²−4ac. Nếu Δ>0, hai nghiệm phân biệt x₁,₂=(−b±√Δ)/(2a); Δ=0 có nghiệm kép x=−b/(2a); Δ<0 không có nghiệm thực. Nếu b=2b′, có thể dùng Δ′=b′²−ac và x=(−b′±√Δ′)/a khi Δ′≥0.
Các dạng nhanh
Nếu c=0, đặt x(ax+b)=0. Nếu b=0, chuyển x²=−c/a và xét dấu vế phải. Có thể phân tích nhân tử hoặc hoàn thành bình phương khi biểu thức thuận lợi; không bắt buộc dùng công thức cho mọi bài.
Phương pháp
Đưa về dạng chuẩn, xác định a,b,c cùng dấu của chúng, tính Δ, kết luận số nghiệm rồi tính. Với phương trình chứa mẫu/căn được quy về bậc hai, các nghiệm này mới là ứng viên, cần kiểm điều kiện ban đầu. Nếu a chứa tham số, xét a=0 riêng vì phương trình khi đó không còn bậc hai.
Ghi nhớ
Mẫu là 2a cho cả tử −b±√Δ. Không nhận nghiệm thực khi Δ<0. Nghiệm kép chỉ là một giá trị nghiệm, không phải hai giá trị khác nhau.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 20 – Định lí Viète và ứng dụng
Mục tiêu và kiến thức nền
Liên hệ tổng/tích nghiệm, nhẩm nghiệm và tính biểu thức đối xứng. Cần biết điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Định lí và đảo
Nếu x₁,x₂ là nghiệm của ax²+bx+c=0, a≠0, thì S=x₁+x₂=−b/a, P=x₁x₂=c/a. Hai số có tổng S và tích P là nghiệm t²−St+P=0; để hai số thực tồn tại cần S²−4P≥0.
Nếu a+b+c=0 thì x=1 là một nghiệm, nghiệm còn lại c/a. Nếu a−b+c=0 thì x=−1 là một nghiệm, nghiệm còn lại −c/a. Các quy tắc vẫn cần a≠0.
Biểu thức theo nghiệm
x₁²+x₂²=S²−2P; (x₁−x₂)²=S²−4P; 1/x₁+1/x₂=S/P khi P≠0. Muốn xét dấu hai nghiệm thực: P<0 cho trái dấu; P>0 cho cùng dấu và dấu chung theo S. P=0 cần xét một nghiệm bằng 0 riêng.
Phương pháp và ghi nhớ
Kiểm Δ≥0 trước khi dùng Viète để khẳng định tính chất của hai nghiệm thực. Đưa biểu thức cần tính về S,P để tránh giải nghiệm có căn dài. Với biểu thức không đối xứng, có thể cần biết thứ tự x₁,x₂ hoặc thêm điều kiện. Tổng và tích không cho phép kết luận “hai nghiệm dương” nếu chưa biết nghiệm thực và P>0,S>0.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 21 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Mục tiêu và kiến thức nền
Mô hình hóa bài toán dẫn tới phương trình bậc hai và chọn nghiệm thực tế. Cần biết hệ thức hình học, tốc độ, năng suất và phần trăm.
Quy trình
Chọn ẩn, ghi đơn vị và điều kiện. Biểu diễn các đại lượng liên quan, lập phương trình từ quan hệ chính, giải và đối chiếu điều kiện. Cuối cùng trả lời đại lượng đề hỏi, có thể khác ẩn vừa tìm.
Các mô hình
Hình chữ nhật: diện tích bằng dài nhân rộng, chu vi bằng hai lần tổng; bài tăng/giảm kích thước phải lập diện tích mới đúng. Chuyển động: t=s/v, hai vận tốc khác nhau tạo các phân thức; mẫu cần dương. Công việc: năng suất là công việc trên một đơn vị thời gian; làm chung cộng năng suất chứ không cộng thời gian. Lãi/tăng giảm qua hai kỳ: nhân liên tiếp các hệ số 1±r, không cộng hai phần trăm khi mốc nền đã thay đổi.
Phương pháp
Một bảng trước–sau hoặc từng đối tượng giúp kiểm đơn vị. Sau khi quy về bậc hai, giải đủ nghiệm; loại nghiệm trái điều kiện thay vì bỏ một nghiệm ngay do “thường lấy dương”. Có tình huống hai nghiệm dương cùng phù hợp, cần xem đề còn dữ kiện phân biệt hay không.
Ghi nhớ
Không làm tròn ẩn giữa chừng rồi thế vào quan hệ chính. Nghiệm phương trình chỉ là ứng viên cho bài toán. Các đại lượng nguyên như số người/sản phẩm cần kiểm tính nguyên, không tự sửa nghiệm thành số gần nhất.