Chương VI. Phân số

Phân số có dạng $\frac{a}{b}$, với $a,b$ là các số nguyên và $b\ne 0$. Số $a$ là tử số, số $b$ là mẫu số. Ví dụ, $\frac{–5}{8}$ và $\frac{0}{7}$ là phân số; biểu thức có mẫu bằng 0 không phải là phân số.

Mỗi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số có mẫu bằng 1, chẳng hạn $–6=\frac{–6}{1}$. Có thể chuyển dấu âm từ mẫu lên tử: $\frac{7}{–12}=\frac{–7}{12}$. Nếu cả tử và mẫu cùng âm thì phân số dương: $\frac{–3}{–5}=\frac{3}{5}$.

Hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ bằng nhau khi $ad=bc$, với $b,d\ne 0$. Chẳng hạn, $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ vì $2·12=3·8=24$.

Nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 được một phân số bằng phân số đã cho. Chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung khác 0 cũng giữ nguyên giá trị phân số.

Rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho một ước chung. Nên đưa mẫu về số dương rồi chia cho ước chung lớn nhất của trị tuyệt đối của tử và mẫu. Ví dụ, $\frac{18}{–30}=\frac{–18}{30}=\frac{–3}{5}$.

Không dùng phép cộng hoặc phép trừ cùng một số vào cả tử và mẫu như một quy tắc rút gọn. Khi nghi ngờ hai phân số có bằng nhau hay không, hãy kiểm tra tích chéo hoặc rút gọn mỗi phân số.

Muốn quy đồng mẫu các phân số, trước hết đưa các mẫu về số dương. Chọn một mẫu chung là bội chung của các mẫu, thường chọn bội chung nhỏ nhất; nhân cả tử và mẫu của từng phân số với thừa số thích hợp.

Hai phân số có cùng mẫu dương được so sánh bằng tử số. Ví dụ, $\frac{–5}{12}<\frac{–2}{12}$ vì $–5<–2$. Với hai mẫu khác nhau, có thể quy đồng rồi so sánh.

Mọi phân số âm nhỏ hơn 0, mọi phân số dương lớn hơn 0. Trong hai phân số âm, phân số có trị tuyệt đối lớn hơn lại nhỏ hơn; đừng bỏ qua dấu âm khi suy luận.

Với cùng tử dương, phân số có mẫu dương nhỏ hơn thì lớn hơn. Ví dụ, $\frac{4}{9}>\frac{4}{11}$. Quy tắc này không áp dụng nguyên xi khi tử chung là số âm.

Hỗn số dương gồm phần nguyên dương và một phân số dương nhỏ hơn 1. Khi đổi một phân số lớn hơn 1 và không phải số nguyên thành hỗn số, chia tử cho mẫu; thương là phần nguyên, số dư là tử của phần phân số. Ví dụ, $\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}$.

Đổi hỗn số sang phân số bằng cách lấy phần nguyên nhân mẫu rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu. Ví dụ, $2\frac{3}{4}=\frac{11}{4}$. Khi so sánh hỗn số dương, so sánh phần nguyên trước; nếu bằng nhau thì so sánh phần phân số.

Cộng các phân số cùng mẫu dương bằng cách cộng tử và giữ mẫu: $\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$, với $m>0$. Quy tắc vẫn dùng khi tử số âm.

Để cộng các phân số khác mẫu, đưa mẫu về số dương, quy đồng mẫu, cộng các tử tương ứng rồi rút gọn kết quả. Không cộng riêng tử với tử và mẫu với mẫu.

Hai phân số đối nhau có tổng bằng 0. Số đối của $\frac{a}{b}$ là $\frac{–a}{b}$, với $b\ne 0$. Ví dụ, $\frac{–3}{5}+\frac{3}{5}=0$.

Muốn trừ một phân số, cộng với số đối của nó: $\frac{a}{b}–\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\frac{–c}{d}$. Đặc biệt, trừ một phân số âm làm xuất hiện phép cộng phân số dương tương ứng.

Phép cộng phân số có tính chất giao hoán, kết hợp và cộng với 0. Có thể đổi thứ tự, nhóm các số có cùng mẫu hoặc các cặp số đối để tính nhanh. Với dấu trừ trước ngoặc, phải đổi dấu từng số hạng khi bỏ ngoặc.

Trong bài toán thực tế, các phần cần cộng hoặc trừ phải cùng chỉ một đại lượng gốc và cùng đơn vị. Có thể biểu diễn toàn bộ bằng 1 để tìm phần còn lại.

Nhân phân số bằng cách nhân các tử với nhau và các mẫu với nhau: $\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, với $b,d\ne 0$. Hai thừa số cùng dấu cho tích dương, khác dấu cho tích âm.

Có thể rút gọn các thừa số chung ở tử và mẫu trước khi nhân để số nhỏ hơn. Việc rút gọn phải áp dụng cho các thừa số trong tích; không tùy ý gạch bỏ các số hạng trong một tổng.

Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. Với $a,b\ne 0$, nghịch đảo của $\frac{a}{b}$ là $\frac{b}{a}$. Số 0 không có số nghịch đảo.

Chia cho một phân số khác 0 bằng nhân với nghịch đảo của nó: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}$, với $b,c,d\ne 0$. Không thực hiện phép chia cho 0.

Phép nhân phân số có các tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1 và phân phối đối với phép cộng. Có thể đặt thừa số chung để tính nhanh một tổng các tích.

Trong biểu thức có nhiều phép tính, thực hiện ngoặc trước, nhân và chia trước cộng và trừ. Các phép nhân và chia liên tiếp được thực hiện từ trái sang phải. Kết quả thực tế cần kèm đơn vị và phù hợp số phần nguyên được yêu cầu.

Bài toán thứ nhất: tìm giá trị $\frac{m}{n}$ của một số $a$. Thực hiện $a·\frac{m}{n}$. Ví dụ, $\frac{3}{5}$ của 20 kg là $20·\frac{3}{5}=12$ kg.

Bài toán thứ hai: biết giá trị $\frac{m}{n}$ của một số là $b$, cần tìm số ban đầu. Với $m,n>0$, thực hiện $b:\frac{m}{n}$. Kiểm tra bằng cách nhân kết quả tìm được với $\frac{m}{n}$ để thu lại $b$.

Đọc rõ đề cho toàn bộ hay cho một phần. Nếu đã biết toàn bộ và hỏi một phần thì dùng phép nhân; nếu đã biết một phần và hỏi toàn bộ thì dùng phép chia cho phân số tương ứng.

Khi biết phần còn lại, cần tìm phân số chỉ phần còn lại trước. Chẳng hạn, đã dùng $\frac{3}{10}$ thì còn $\frac{7}{10}$ lượng ban đầu. Không dùng nhầm $\frac{3}{10}$ để tìm toàn bộ từ lượng còn lại.

Phân số cần tìm có thể lớn hơn 1, chẳng hạn $\frac{5}{4}$ của 20 là 25. Kết quả có thể lớn hơn số ban đầu trong trường hợp này; không mặc định mọi phép nhân phân số đều làm số nhỏ đi.

Với bài toán nhiều bước, ghi rõ mỗi phân số tính theo lượng ban đầu hay theo lượng còn lại. Kết quả chỉ số người, số quyển sách hoặc số cây phải là số nguyên phù hợp; mọi kết quả thực tế cần có đơn vị.