Chương IX. Dữ liệu và xác suất thực nghiệm

Dữ liệu là những thông tin được thu thập khi tìm hiểu một vấn đề. Thông tin có thể đến từ việc quan sát, đếm, đo đạc, phỏng vấn, dùng phiếu hỏi hoặc đọc một nguồn đã có.

Dữ liệu số gồm những giá trị bằng số như số quyển sách, thời gian, khối lượng hoặc độ dài. Phải kèm đơn vị khi cần: số đo $15$ phút khác với $15$ km.

Dữ liệu không phải số có thể là tên, màu sắc, loại phương tiện hoặc sở thích. Tên lớp 6A vẫn là dữ liệu không phải số; chữ số trong một tên gọi không biến tên ấy thành số lượng.

Một cuộc khảo sát nên bắt đầu bằng câu hỏi rõ ràng và nhóm đối tượng phù hợp. Nếu cần đếm số học sinh theo phương tiện chính đến trường, phải quy định mỗi em chỉ chọn một phương tiện chính.

Dữ liệu ban đầu cần được ghi đủ, theo cùng một quy ước và cùng đơn vị. Có thể sắp xếp các bản ghi vào bảng để dễ kiểm tra. Tổng số lượt chọn phải khớp số người được hỏi khi mỗi người chọn đúng một phương án.

Dữ liệu có thể bị ghi nhầm hoặc không phù hợp với điều kiện của cuộc khảo sát. Khi phát hiện điều bất thường, hãy đối chiếu phiếu gốc hoặc hỏi lại. Không vội thay số liệu và không dùng một nhóm nhỏ có đặc điểm riêng để kết luận cho cả lớp.

Bảng thống kê sắp xếp dữ liệu thành hàng và cột. Tiêu đề, tên đối tượng, tên đại lượng và đơn vị cần được ghi rõ để người đọc hiểu từng số liệu.

Khi lập bảng từ một danh sách, đếm lần lượt từng bản ghi, đánh dấu bản ghi đã đếm để không bỏ sót hoặc đếm lặp. Cuối cùng kiểm tra tổng số lượng.

Biểu đồ tranh dùng các hình giống nhau để biểu thị số lượng. Chú giải cho biết một hình tương ứng bao nhiêu đơn vị. Các hình có kích thước và giá trị giống nhau trong cùng một biểu đồ.

Muốn đọc số lượng, lấy số hình nhân với giá trị của một hình. Chẳng hạn, một hình ứng với $3$ chai thì $4$ hình ứng với $4·3=12$ chai.

Muốn vẽ, lấy số lượng chia cho giá trị của một hình. Có thể dùng nửa hình nếu đã giải thích rõ. Ví dụ, một hình ứng với $4$ cây thì $3$ hình rưỡi ứng với $3·4+2=14$ cây.

Chỉ so sánh trực tiếp số hình khi các hình có cùng chú giải. Nếu hai biểu đồ dùng hai giá trị khác nhau cho một hình, phải đổi về số lượng thực trước khi so sánh. Tổng số lượng và chênh lệch đều tính từ số liệu thực.

Biểu đồ cột biểu diễn số liệu bằng các cột. Với biểu đồ cột đứng, tên các đối tượng thường đặt trên trục ngang, số lượng hoặc số đo được đọc theo trục đứng.

Trước khi đọc số liệu, xem tên biểu đồ, đại lượng, đơn vị và giá trị mỗi khoảng chia. Các khoảng bằng nhau trên trục phải biểu thị những mức tăng bằng nhau.

Các cột dùng cùng một thang chia và có bề rộng thống nhất. Trong những biểu đồ đang học, chân các cột cùng bắt đầu từ 0. Độ cao cột tỉ lệ với giá trị được biểu diễn.

Muốn vẽ biểu đồ từ bảng, chọn thang chia đủ chứa số lớn nhất, ghi tên các đối tượng, dựng từng cột đến đúng mức và ghi rõ tiêu đề, đơn vị. Có thể ghi thêm giá trị trên đầu cột để tiện kiểm tra.

Từ biểu đồ có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tổng số lượng hoặc chênh lệch. Khi tính tổng, phải chắc rằng các số liệu cùng loại đại lượng và cùng đơn vị.

Một biểu đồ cần được đọc trong đúng phạm vi đã ghi. Đừng kết luận một cột gấp đôi cột khác chỉ từ hình nhìn thấy khi trục hoặc mốc gốc không rõ. Hãy dùng các số liệu để kiểm tra.

Biểu đồ cột kép biểu diễn hai dãy số liệu theo cùng những đối tượng hoặc cùng các mốc thời gian. Mỗi đối tượng thường có hai cột đặt cạnh nhau, tạo thành một cặp.

Chú giải nêu tên của hai dãy, thường phân biệt bằng màu hoặc họa tiết. Khi đọc, xác định cột trái, cột phải thuộc dãy nào rồi đọc độ cao theo trục đứng.

Hai dãy đang so sánh phải cùng loại đại lượng và cùng đơn vị. Các cột dùng chung thang chia, cùng mốc 0; màu hoặc họa tiết được giữ thống nhất ở mọi cặp.

Muốn vẽ biểu đồ cột kép, lập bảng gồm các đối tượng và hai dãy số liệu. Chọn thang chia đủ lớn, vẽ lần lượt từng cặp, ghi tiêu đề, đơn vị và chú giải. Có thể ghi số liệu trên đầu mỗi cột.

Đọc từng cặp để biết nhóm nào lớn hơn ở một đối tượng và tính chênh lệch bằng phép trừ. Để so sánh toàn bộ giai đoạn, cộng riêng từng dãy, sau đó mới so sánh hai tổng.

Một nhóm có thể lớn hơn ở nhiều đối tượng nhưng chưa chắc có tổng lớn hơn. Hai dãy có thể cùng tổng trong khi từng cặp vẫn khác nhau. Mọi nhận xét cần chỉ rõ đang nói về một cặp hay cả giai đoạn.

Trước khi liệt kê kết quả có thể, cần nói rõ thực hiện thao tác gì và ghi nhận thông tin nào. Chẳng hạn, lấy một thẻ có thể ghi số trên thẻ, màu của thẻ hoặc cả màu lẫn số; các cách ghi này có thể cho các danh sách kết quả khác nhau.

Với một trò chơi đơn giản có hữu hạn kết quả, hãy liệt kê đủ các kết quả có thể, không bỏ sót và không lặp lại. Một kết quả có thể xuất hiện nhiều lần trong thực tế nhưng chỉ ghi một lần trong danh sách các khả năng.

Khi tung đồng xu và chỉ chấp nhận lần đồng xu dừng phẳng, ghi N cho mặt ngửa và S cho mặt sấp. Có hai kết quả có thể: N, S. Trước khi tung, ta chưa biết kết quả của lần đó.

Khi gieo xúc xắc sáu mặt được ghi từ $1$ đến $6$, ta đọc số chấm ở mặt trên. Sáu kết quả có thể là $1;2;3;4;5;6$. Một lần gieo cho một kết quả trong danh sách này.

Một sự kiện được mô tả bằng một điều kiện. Sự kiện “số chấm lớn hơn $4$” xảy ra khi kết quả là $5$ hoặc $6$; không xảy ra khi kết quả là $\mathrm{1,2,3}$ hoặc $4$. Muốn xác định sự kiện có xảy ra, đối chiếu kết quả thực tế với điều kiện.

Một sự kiện chắc chắn xảy ra nếu mọi kết quả có thể đều thỏa mãn điều kiện của nó. Một sự kiện không thể xảy ra nếu không kết quả có thể nào thỏa mãn. Nếu có kết quả thỏa mãn và có kết quả không thỏa mãn, chưa thể khẳng định trước lần chơi sự kiện sẽ xảy ra hay không.

Thực hiện một trò chơi hoặc thí nghiệm $n$ lần với $n>0$, theo cùng cách quan sát. Nếu sự kiện A xảy ra $k$ lần thì xác suất thực nghiệm của A trong đợt đó là $P_{TN}\left(A\right)=\frac{k}{n}$. Tử số đếm số lần A xảy ra, mẫu số đếm tất cả các lần thực hiện.

Vì $0\le k\le n$ nên $0\le \frac{k}{n}\le 1$. Đừng lấy số lần sự kiện xảy ra chia cho số lần nó không xảy ra. Nếu chưa thực hiện lần nào, không tính được xác suất thực nghiệm vì mẫu số sẽ bằng $0$.

Ghi chép kết quả sau mỗi lần thực hiện hoặc lập bảng kiểm đếm. Nếu mỗi lần rơi vào đúng một trong các nhóm kết quả đã liệt kê đầy đủ, tổng số lần của các nhóm phải bằng tổng số lần thực hiện. Khi gộp các đợt quan sát cùng điều kiện, cộng số lần xảy ra và cộng tổng số lần rồi mới chia.

Có thể rút gọn phân số hoặc đổi sang số thập phân, phần trăm. Ví dụ, một sự kiện xuất hiện $12$ lần trong $30$ lần thực hiện có xác suất thực nghiệm $\frac{12}{30}=\frac{2}{5}=0,4=40\%$.

Các đợt thí nghiệm khác nhau có thể cho xác suất thực nghiệm khác nhau. Có thể dùng số liệu đã có để ước lượng số lần xuất hiện trong một đợt mới với cùng điều kiện: lấy số lần dự định thực hiện nhân với xác suất thực nghiệm. Phải dùng các từ “ước lượng”, “khoảng” vì kết quả mới không được bảo đảm trùng với dự đoán.

Xác suất thực nghiệm bằng $0$ chỉ nói rằng sự kiện chưa xảy ra trong đợt đã quan sát. Bằng $1$ chỉ nói rằng sự kiện xảy ra ở tất cả các lần của đợt đó. Chỉ từ các giá trị thực nghiệm này, không được kết luận sự kiện sẽ không bao giờ xảy ra hoặc chắc chắn xảy ra trong mọi lần về sau.