Chương II · Số thực

BÀI GIẢI

\(\frac5{18}=0,2777\ldots=0,2(7)\), chu kì 7. \(-\frac{17}{11}=-1,545454\ldots=-1,(54)\), chu kì 54. Đây là các số thập phân vô hạn tuần hoàn; 0,8 và 1,25 là các số thập phân hữu hạn.

BÀI GIẢI

Chữ số hàng phần mười là 3< 5 nên \(46,333\ldots\approx46\). Sai lệch nhỏ hơn 0,5; độ chính xác là \(d=0,5\).

BÀI GIẢI

a) \(d=0,5\): làm tròn đến hàng đơn vị, được 3.

b) \(d=0,005\): làm tròn đến hàng phần trăm. Chữ số phần nghìn là 1 nên được 3,14.

BÀI GIẢI

Bước 1. Xác định hàng làm tròn. Độ chính xác \(d=50\) ứng với làm tròn đến hàng trăm; \(d=500\) ứng với làm tròn đến hàng nghìn.

Bước 2. Xét cách viết số. Nếu số đã cho là \(13\,593{,}28\): a) chữ số hàng chục là 9 nên làm tròn hàng trăm được \(13\,600\); b) chữ số hàng trăm là 5 nên làm tròn hàng nghìn được \(14\,000\).

Nếu số đã cho là số nguyên \(1\,359\,328\):

a) chữ số hàng chục là 2 nên kết quả là \(1\,359\,300\);

b) chữ số hàng trăm là 3 nên kết quả là \(1\,359\,000\).

Lưu ý: cách ghi số trong đề chưa xác định rõ dấu phân cách. Hai cách hiểu cho hai bộ đáp số khác nhau; cần xác nhận số đã cho trước khi chọn đáp số.

BÀI GIẢI

\(31,(81)=31,8181\ldots\approx32\), \(4,9\approx5\). Do đó \(31,(81)\cdot4,9\approx32\cdot5=160\).

BÀI GIẢI

Một cách chọn số tròn thuận tiện:

a) \(6123\approx6000\), \(99\approx100\), nên tích xấp xỉ 600000.

b) \(922,01\approx900\), \(59,49\approx60\), nên tích xấp xỉ 54000.

Các cách làm tròn hợp lí khác có thể cho những ước lượng khác.

BÀI GIẢI

Bước 1. Đổi pound sang kilôgam. Theo hệ số đã cho, khối lượng vali xấp xỉ \[50{,}99\cdot0{,}45359237=23{,}1286749463\text{ kg}.\]

Bước 2. Làm tròn đến hàng đơn vị. Chữ số hàng phần mười là 1, nhỏ hơn 5, nên kết quả làm tròn là 23 kg.

Bước 3. Trả lời theo yêu cầu. Dùng số đã làm tròn, vali không vượt 23 kg. Tuy nhiên, khối lượng trước làm tròn lớn hơn 23 kg khoảng 0,129 kg; vì vậy phép làm tròn này không đủ để khẳng định vali thực tế được miễn cước.

BÀI GIẢI

\(\sqrt{11}=3,31662479\ldots\approx3,32\). Trên mẫu máy trong tài liệu: mở SETUP, chọn Number Format, chọn Fix và 2 chữ số thập phân; sau đó nhập \(\sqrt{11}\) và lấy kết quả thập phân. Tên mục/phím có thể khác theo mẫu máy; luôn kiểm tra màn hình hiển thị 3,32.

BÀI GIẢI

Hữu hạn:0,1; −6,725. Vô hạn tuần hoàn:−1,(23), chu kì 23; 11,2(3), chu kì 3.

BÀI GIẢI

Chu kì là 01, nên \(0,010101\ldots=0,(01)\).

BÀI GIẢI

Không. Số chữ số 0 giữa hai chữ số 1 liên tiếp tăng mãi; không có một khối chữ số cố định nào lặp lại vô hạn kể từ một vị trí. Đây là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

BÀI GIẢI

\(3,2(31)=3,2313131\ldots\). Năm chữ số thập phân đầu là 2,3,1,3,1, nên chữ số thứ năm là 1. Chữ số thứ sáu là 3< 5; kết quả làm tròn là 3,23131.

BÀI GIẢI

Xét lần lượt chữ số ngay sau hàng làm tròn, được:

a)−12,4;

b) 15,01;

c)−0,256;

d) 9,4;

e) 7,8;

f) 5,22;

g)−11,29;

h)−0,092.

BÀI GIẢI

Bước 1. Tính tổng điểm có nhân hệ số. Bốn điểm hệ số 1 được giữ nguyên; điểm hệ số 2 nhân 2; điểm hệ số 3 nhân 3: \[8+9+10+10+2\cdot10+3\cdot8=81.\]

Bước 2. Chia cho tổng hệ số. Tổng hệ số là \(1+1+1+1+2+3=9\). Vì vậy \(\overline{x}=81:9=9\).

Bước 3. Viết đến một chữ số thập phân. Điểm trung bình là 9,0 điểm.

BÀI GIẢI

\(d=5\) ứng với làm tròn đến hàng chục. Hàng đơn vị là 8 nên \(635\,988\approx635\,990\) người.

BÀI GIẢI

\[\overline x=\frac{7+7+8+6+2\cdot8+3\cdot7}{4+2+3}=\frac{65}{9}=7,222\ldots\approx7,2.\]

BÀI GIẢI

a) Làm tròn hàng nghìn: \(9\,214\,235\approx9\,214\,000\).

b) Làm tròn hàng trăm: \(7\,891\,233\approx7\,891\,200\).

BÀI GIẢI

\(32\cdot2,54=81,28\)cm. Làm tròn:81,3 cm.

BÀI GIẢI

\(65\cdot2,54=165,1\)cm. Làm tròn:165 cm.

BÀI GIẢI

Làm tròn các thừa số đến hàng đơn vị:

a) \(10\cdot5=50\); giá trị đúng 51,942387.

b) \(6\cdot(-11)=-66\); giá trị đúng−67,108596.

c) \((-9)\cdot9=-81\); giá trị đúng−80,93674.

d) \((-16)\cdot(-2)=32\); giá trị đúng 31,2698271.

BÀI GIẢI

Cách 1. Làm tròn từng số trước khi tính. Đến hàng đơn vị, \(99{,}21\approx99\), \(5{,}89\approx6\), \(3{,}05\approx3\). Thay các số này vào biểu thức: \[A\approx\dfrac{99\cdot6}{3}=198.\]

Cách 2. Tính biểu thức rồi làm tròn. Giữ nguyên các số đã cho: \[A=\dfrac{99{,}21\cdot5{,}89}{3{,}05}=191{,}5891475\ldots\] Chữ số hàng phần mười là 5, nên làm tròn đến hàng đơn vị được 192.

So sánh: hai cách cho 198 và 192. Làm tròn từng số làm thay đổi các phép nhân, chia tiếp theo. Nếu cần làm tròn giá trị của chính biểu thức đã cho, tính trước rồi làm tròn cuối cùng; đáp số là 192.

BÀI GIẢI

a) Tính độ dài một đoạn. Chia đều 10 m thành 7 đoạn: \(\dfrac{10}{7}=1{,}(428571)\) m. Nhóm chữ số 428571 lặp lại tuần hoàn.

b) Cách đo từng cạnh đến centimét. Một cạnh dài xấp xỉ 1,43 m. Cộng bốn số đo đã làm tròn: \(C\approx4\cdot1{,}43=5{,}72\) m.

Cách tính chu vi trước khi làm tròn. Giữ độ dài cạnh chính xác: \[C=4\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{40}{7}=5{,}714285\ldots\text{ m}.\] Với \(d=0{,}005\), làm tròn đến hàng phần trăm được 5,71 m.

So sánh: hai kết quả chênh \(5{,}72-5{,}71=0{,}01\) m, tức 1 cm, do cách thứ nhất làm tròn từng cạnh trước khi cộng. Nếu đo trực tiếp cả chu vi đến centimét thì cũng được xấp xỉ 5,71 m.

BÀI GIẢI

Hình vuông ban đầu có diện tích \(2^2=4\)dm². Hai tam giác chiếm một nửa diện tích, nên hình vuông mới có diện tích 2 dm². Cạnh \(x>0\) thỏa \(x^2=2\), do đó \(x=\sqrt2\approx1,414\)dm; thước chỉ cho số đo gần đúng, khoảng 1,4 dm.

BÀI GIẢI

Cạnh bằng căn bậc hai số học của diện tích:

a) 2 cm;

b) 4 cm;

c)\(|a|\)cm (bằng \(a\)cm khi \(a\ge0\)).

BÀI GIẢI

Các giá trị \(a^2\) lần lượt:0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169.

Các giá trị \(\sqrt A\) tương ứng:0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13.

BÀI GIẢI

Phát biểu thứ nhất đúng. Căn bậc hai số học luôn không âm, nên \(\sqrt{25}=5\), còn dấu trừ đứng ngoài cho \(-\sqrt{25}=-5\). Phát biểu thứ hai sai vì nhầm căn bậc hai số học với hai nghiệm của \(x^2=25\).

BÀI GIẢI

Cạnh sân \(a=\sqrt{144}=12\)m. Chu vi \(P=4\cdot12=48\)m.

BÀI GIẢI

a) 21.

b)\(4-9=-5\).

c)\(2\cdot5-3\cdot6=-8\).

d)\(36-14-\frac23=\frac{64}{3}\).

BÀI GIẢI

Bước 1. Tìm diện tích sân. Mỗi mét vuông tốn 125 000 đồng, nên diện tích sân là \[S=10\,125\,000:125\,000=81\text{ m}^2.\]

Bước 2. Tìm cạnh hình vuông. Gọi cạnh sân là \(a>0\) m. Vì \(S=a^2\), ta có \(a^2=81\), nên \(a=\sqrt{81}=9\) m.

Đáp số: cạnh sân dài 9 m. Chỉ lấy giá trị dương vì \(a\) là độ dài.

BÀI GIẢI

Nhập phím căn, số dưới căn rồi phím kết quả. Các giá trị:5; khoảng 1,414213562; khoảng 1,732050808; 123; 100; khoảng 3,162277660.

BÀI GIẢI

a) \(a=\sqrt{12996}=114\)m.

b) \(R^2=\frac{100}{\pi}\), nên \(R=\sqrt{\frac{100}{\pi}}=\frac{10}{\sqrt\pi}\approx5,642\)cm.

BÀI GIẢI

\(a=\sqrt{52198,16}=228,4691664\ldots\approx228,5\)m.

BÀI GIẢI

Vì \(S=\pi R^2\), \(R=\sqrt{\frac{9869}{\pi}}\approx56,048\)m. Nếu làm tròn phần trăm, \(R\approx56,05\)m.

BÀI GIẢI

\(R=\sqrt{\frac{42,52}{\pi}}\approx3,6789314\)m, xấp xỉ 3,68 m đến phần trăm.

BÀI GIẢI

a)\(\sqrt{81}=9\)dm.

b)\(\sqrt{3600}=60\)m.

c) 1 ha=10000 m², nên cạnh \(\sqrt{10000}=100\)m.

BÀI GIẢI

\(S=36\,720\,000:255\,000=144\)m². Cạnh \(a=\sqrt{144}=12\)m.

BÀI GIẢI

Bước 1. Đổi về cùng đơn vị. Cạnh viên gạch \(50\) cm \(=0{,}5\) m.

Bước 2. Tính diện tích một viên gạch. Viên gạch hình vuông có diện tích \(0{,}5^2=0{,}25\) m².

Bước 3. Tìm số viên gạch. Lấy diện tích sân chia cho diện tích một viên: \(100:0{,}25=400\) viên.

Đáp số: cần 400 viên gạch khi bỏ qua mạch ghép.

BÀI GIẢI

Độ chính xác 0,005 ứng với làm tròn đến phần trăm:

a)\(\sqrt3\approx1,73\);

b)\(\sqrt{41}\approx6,40\);

c)\(\sqrt{2021}\approx44,96\).

BÀI GIẢI

Gọi đường chéo là \(d>0\). Theo dữ kiện \(d^2=8^2+5^2=89\), nên \(d=\sqrt{89}=9,43398\ldots\approx9,4\)dm.

BÀI GIẢI

Cả hai điểm đều cách 0 một khoảng 3,5 đơn vị, nên \(OA=OB=3,5\). Hai điểm nằm ở hai phía của 0.

BÀI GIẢI

Đổi dấu từng số, được:

a)−5,12;

b)\(-\pi\);

c)\(\sqrt{13}\);

d)\(-\sqrt2\).

BÀI GIẢI

Đó là điểm được ghi nhãn \(-\sqrt2\), nằm đối xứng với \(M(\sqrt2)\) qua \(O\). Vì \(-\sqrt2\approx-1,414\), vị trí đúng nằm giữa−2 và−1, cách 0 một khoảng \(\sqrt2\) về bên trái.

Hai điểm biểu diễn \(a,-a\) đối xứng qua 0; khi \(a=0\), hai điểm trùng nhau.

BÀI GIẢI

Chia đoạn[0; 1] thành 4 phần bằng nhau. Điểm thứ 3 tính từ 0 về phía dương biểu diễn \(\frac34=0,75\).

BÀI GIẢI

\(-\frac54=-1,25\). Từ 0 đi 5 đoạn, mỗi đoạn dài \(\frac14\) đơn vị, theo chiều âm; điểm nằm giữa−2 và−1, cách−1 một phần tư đơn vị về trái.

BÀI GIẢI

\(OM=ON=3\). Giá trị tuyệt đối của số thực là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó tới 0; \(|-3|=|3|=3\).

BÀI GIẢI

a)\(\frac35\).

b)\(\frac35\).

c)\(\frac23-\frac72=\frac{4-21}{6}=-\frac{17}{6}\), nên giá trị tuyệt đối bằng \(\frac{17}{6}\).

BÀI GIẢI

Quy tắc dùng chung: nếu \(|A|=a\) với \(a>0\), thì \(A=a\) hoặc \(A=-a\).

a) \(|x|=\dfrac12\) nên \(x=\dfrac12\) hoặc \(x=-\dfrac12\).

b) Chia hai vế cho 3: \(|x|=\dfrac32:3=\dfrac12\). Vậy \(x=\dfrac12\) hoặc \(x=-\dfrac12\).

c) Xét biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối: \[x+\dfrac13=\dfrac12\quad\text{hoặc}\quad x+\dfrac13=-\dfrac12.\] Trừ \(\dfrac13\) ở mỗi trường hợp, được \(x=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16\) hoặc \(x=-\dfrac12-\dfrac13=-\dfrac56\).

BÀI GIẢI

a) Đúng: các số vô tỉ này thuộc \(\mathbb R\).

b) Sai: \(\mathbb Z⊂\mathbb R\).

c) Đúng: các số hữu tỉ thuộc \(\mathbb R\).

d) Sai:0 là hữu tỉ, không là vô tỉ.

e) Đúng.

BÀI GIẢI

\[-\sqrt2<-\frac34<-\frac23<\frac73<\pi<3,2<4,1.\]Dùng \(-\sqrt2\approx-1,414\), \(-\frac34=-0,75\), \(-\frac23\approx-0,667\), \(\frac73\approx2,333\), \(\pi\approx3,142\).

BÀI GIẢI

Các giá trị là 3,2; 2,13;\(\sqrt2\);\(\frac73\). Do đó \[|{-\sqrt2}|<|2,13|<\left|{-\frac73}\right|<|{-3,2}|.\]

BÀI GIẢI

a)\(\frac1{16}+\frac43\cdot\frac1{16}=\frac7{48}\).

b)\(-\frac13+\frac13=0\).

c)\(\frac14+\frac78+1=\frac{17}{8}\).

d)\(-\frac18+\frac76-\frac78=\frac16\).

BÀI GIẢI

e)\(3+(-\frac1{12})^2-7=-\frac{575}{144}\).

f)\(\frac1{25}-\frac43=-\frac{97}{75}\).

g)\(-\frac18+\frac12+1=\frac{11}{8}\).

h)\(\frac9{25}+\frac56\cdot\frac6{15}=\frac9{25}+\frac13=\frac{52}{75}\).

BÀI GIẢI

a)\(15+\frac85=\frac{83}{5}\).

b)\(12-10+2+\frac12=\frac92\).

c)\(4\cdot\frac34+\frac98\cdot\frac13=\frac{27}{8}\).

d)\(\frac17-12+15=\frac{22}{7}\).

BÀI GIẢI

e)\(13-\frac1{49}\cdot\frac{49}{4}+3=\frac{63}{4}\).

f)\(\frac12\cdot\frac47+5\cdot\frac{14}{5}=\frac{100}{7}\).

g)\(2-5+1=-2\).

h)\(\frac95-(2-1)\frac45=1\).

BÀI GIẢI

a)\(x+\frac12=\pm\frac34\), nên \(x=\frac14\) hoặc \(x=-\frac54\).

b)\(x-\frac23=\pm\frac59\), nên \(x=\frac{11}{9}\) hoặc \(x=\frac19\).

c)\(|x|=\frac{19}{12}\), nên \(x=\pm\frac{19}{12}\).

BÀI GIẢI

d) Tính vế phải: \(3{,}5+\dfrac12=4\). Do đó \(x-\dfrac23=4\) hoặc \(x-\dfrac23=-4\). Cộng \(\dfrac23\) vào hai vế của từng trường hợp, được \(x=\dfrac{14}{3}\) hoặc \(x=-\dfrac{10}{3}\).

e) Điều kiện \(|x|\ne0\), tức \(x\ne0\). Tìm số chia: \[|x|=\dfrac25:\dfrac32=\dfrac25\cdot\dfrac23=\dfrac4{15}.\] Vậy \(x=\dfrac4{15}\) hoặc \(x=-\dfrac4{15}\); cả hai đều thỏa mãn điều kiện.

f) Tách hai trường hợp cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối:

Trường hợp 1: \(\dfrac23x-\dfrac12=\dfrac56\). Suy ra \(\dfrac23x=\dfrac56+\dfrac12=\dfrac43\), nên \(x=2\).

Trường hợp 2: \(\dfrac23x-\dfrac12=-\dfrac56\). Suy ra \(\dfrac23x=-\dfrac56+\dfrac12=-\dfrac13\), nên \(x=-\dfrac12\).

Kết luận câu f: \(x=2\) hoặc \(x=-\dfrac12\).

BÀI GIẢI

a)\(x=\pm4\).

b)\(x^2=\frac9{16}\), nên \(x=\pm\frac34\).

c)\(x+5=\pm6\), nên \(x=1\) hoặc \(x=-11\).

BÀI GIẢI

d)\(x+\frac23=\pm\frac45\), nên \(x=\frac2{15}\) hoặc \(x=-\frac{22}{15}\).

e)\(x-4=\pm4\), nên \(x=8\) hoặc \(x=0\).

f)\(x-\frac34=\pm\frac58\), nên \(x=\frac{11}{8}\) hoặc \(x=\frac18\).