Chương III · Góc và đường thẳng song song

BÀI GIẢI

a) Cạnh chung là \(Oz\); hai phần trong của góc không có điểm chung.

b) Khi đo và cộng, ta được \(\widehat{xOz}+\widehat{zOy}=\widehat{xOy}\). Đây là quan hệ cộng góc khi \(Oz\) nằm trong góc \(xOy\); kết quả đo thực hành có thể có sai số.

c) \(125^\circ+55^\circ=180^\circ\). Hai góc \(mOn,nOp\) kề bù.

BÀI GIẢI

a) \(\widehat{yOx}\) và \(\widehat{xOt}\) kề nhau, cạnh chung \(Ox\); hình không cho chúng bù nhau.

b) Hai góc bù nhau vì \(60^\circ+120^\circ=180^\circ\); chúng không kề nhau.

c) \(\widehat{mAn}\) và \(\widehat{nAp}\) kề bù, cạnh chung \(An\).

d) \(\widehat{yOz}\) và \(\widehat{zOx}\) kề bù, cạnh chung \(Oz\) (cũng là tia \(OM\)).

BÀI GIẢI

a) Vì \(OM\) nằm trong góc \(xOz\), \(\widehat{xOM}+\widehat{MOz}=\widehat{xOz}\). Suy ra \(\widehat{zOM}=80^\circ-35^\circ=45^\circ\).

b) Vẽ tia \(Oy\) đối tia \(Oz\). Hai góc \(xOy,xOz\) kề bù, nên \(\widehat{xOy}=180^\circ-80^\circ=100^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Các góc \(\widehat{zOy},\widehat{zOn},\widehat{zOm}\) kề với \(\widehat{tOz}\), cùng cạnh chung \(Oz\).

b) Góc kề bù là \(\widehat{nOt}=180^\circ-30^\circ=150^\circ\).

c) \(\widehat{mOy}=180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Do \(On\) nằm trong góc \(mOy\), \(\widehat{nOy}=90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

d) Góc kề bù là \(\widehat{zOm}=180^\circ-45^\circ=135^\circ\).

BÀI GIẢI

Hai góc chung đỉnh \(O\); \(Ox,Ox^{\prime}\) là hai tia đối nhau, \(Oy,Oy^{\prime}\) cũng là hai tia đối nhau. Vì vậy \(\widehat{xOy}\) và \(\widehat{x^{\prime} Oy^{\prime}}\) là hai góc đối đỉnh.

BÀI GIẢI

Có hai cặp: \(\widehat{xOn}\) và \(\widehat{yOm}\); \(\widehat{xOm}\) và \(\widehat{yOn}\). Trong mỗi cặp, hai cạnh của góc này lần lượt đối với hai cạnh của góc kia.

BÀI GIẢI

Chỉ hìnhc có hai cặp góc đối đỉnh: \(\widehat O_1,\widehat O_3\) và \(\widehat O_2,\widehat O_4\). Hìnha,b không có đủ hai cặp tia đối nhau; hìnhd không chung đỉnh nên không thể đối đỉnh.

BÀI GIẢI

Hai số đo bằng nhau (trong sai số đo của thước). Có thể kiểm chứng không phụ thuộc độ chính xác của hình: \(\widehat O_1+\widehat O_2=180^\circ\) và \(\widehat O_1+\widehat O_4=180^\circ\), suy ra \(\widehat O_2=\widehat O_4\). Kết luận: hai góc đối đỉnh bằng nhau.

BÀI GIẢI

\(\widehat{BOC}\) đối đỉnh với \(\widehat{AOD}\), nên bằng \(145^\circ\). \(\widehat{AOC}\) đối đỉnh với \(\widehat{DOB}\), nên bằng \(35^\circ\).

BÀI GIẢI

Vẽ góc \(xOy=60^\circ\), rồi kéo dài hai cạnh qua \(O\). Góc đối đỉnh \(\widehat{x^{\prime} Oy^{\prime}}=60^\circ\). Hai góc còn lại kề bù với góc \(60^\circ\), nên \(\widehat{xOy^{\prime}}=\widehat{x^{\prime} Oy}=120^\circ\). Hai góc bẹt \(xOx^{\prime},yOy^{\prime}\) bằng \(180^\circ\).

BÀI GIẢI

Trên hình chuẩn, số đo xấp xỉ \(\widehat{xOy}=120^\circ\), \(\widehat{yOz}=\widehat{xOz}=60^\circ\). Hai góc nhỏ bằng nhau và mỗi góc bằng một nửa góc lớn; \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

BÀI GIẢI

\(OB\) là tia phân giác của \(\widehat{AOC}\) vì nằm trong góc và chia góc thành hai góc cùng bằng \(35^\circ\). Góc \(AOC\) bằng \(70^\circ\).

BÀI GIẢI

\(OM\) là phân giác của \(\widehat{AOC}\) vì \(\widehat{AOM}=\widehat{MOC}=30^\circ\).

\(OC\) là phân giác của \(\widehat{AON}\) vì \(\widehat{AOC}=\widehat{CON}=60^\circ\).

\(ON\) là phân giác của \(\widehat{COB}\) vì \(\widehat{CON}=\widehat{NOB}=60^\circ\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{xOy}=2\widehat{xOz}=2\cdot32^\circ=64^\circ\).

BÀI GIẢI

Ta có \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ\). Đặt tâm thước tại \(O\), cạnh \(Ox\) trùng vạch 0; đánh dấu điểm nằm trong góc ở vạch \(40^\circ\), kẻ tia qua \(O\) và điểm ấy. Tia đó là \(Oz\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{xOz}=\frac12\widehat{xOy}=35^\circ\). Dùng thước đo góc dựng tia \(Oz\) nằm trong góc \(xOy\), tạo với \(Ox\) góc \(35^\circ\). Khi đó \(\widehat{zOy}=70^\circ-35^\circ=35^\circ\), đúng tính chất phân giác.

BÀI GIẢI

Đổi \(500\text{g}=0,5\text{kg}\). Đĩa phải nặng \(3,5+0,5=4\)kg. Để hai bên bằng nhau, quả cân chưa biết phải nặng \(4-1=3\)kg.

BÀI GIẢI

Vì hai góc kề bù, \(\widehat{yAz}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{yOz}=180^\circ-\widehat{xOy}=180^\circ-25^\circ=155^\circ\).

BÀI GIẢI

Vẽ góc \(xOy=80^\circ\), rồi vẽ \(Ot\) đối \(Ox\). Khi đó \(\widehat{yOt}=180^\circ-80^\circ=100^\circ\).

BÀI GIẢI

Vẽ \(\widehat{zBy}=110^\circ\), vẽ \(Bx\) đối \(Bz\). Vì \(\widehat{yBz}=\widehat{zBy}\), \(\widehat{xBy}=180^\circ-110^\circ=70^\circ\).

BÀI GIẢI

Vẽ \(Ok\) đối \(Ox\). Ta có \(\widehat{kOy}=\widehat{yOk}=180^\circ-50^\circ=130^\circ\).

BÀI GIẢI

Hình 1: đối đỉnh nên \(b=132^\circ\); kề bù nên \(a=c=180^\circ-132^\circ=48^\circ\).

Hình 2: đối đỉnh nên \(e=21^\circ\); kề bù nên \(d=f=180^\circ-21^\circ=159^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Tia \(BO\) (cũng là \(BD\)) là phân giác của \(\widehat{ABC}\); tia \(DO\) (cũng là \(DB\)) là phân giác của \(\widehat{ADC}\).

b) \(\widehat{ABO}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\); \(\widehat{ADO}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\).

BÀI GIẢI

Vẽ tia \(Ot\) nằm trong góc và tạo với \(Ox\) góc \(50^\circ\). Do \(Ot\) là phân giác, \(\widehat{tOy}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat{MAQ}=145^\circ\) (đối đỉnh). \(\widehat{PAM}=\widehat{NAQ}=180^\circ-145^\circ=35^\circ\).

b) \(\widehat{PAt}=\frac{145^\circ}{2}=72,5^\circ\). Vì \(AP,AQ\) đối nhau, \(\widehat{tAQ}=180^\circ-72,5^\circ=107,5^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Vẽ \(Ok\) đối \(Ox\), được \(\widehat{yOk}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

b) Do \(Ot\) là phân giác, \(\widehat{kOt}=\frac12\widehat{kOy}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{xOt}=\frac{142^\circ}{2}=71^\circ\). Vì \(Ox,Oz\) đối nhau, \(\widehat{zOt}=180^\circ-71^\circ=109^\circ\). Cũng có thể cộng \(\widehat{zOy}=38^\circ\) với \(\widehat{yOt}=71^\circ\).

BÀI GIẢI

Bước 1. Dùng tia phân giác thứ nhất. Vì \(Oz\) là phân giác của \(\widehat{xOy}\), nên \(\widehat{zOy}=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ\).

Bước 2. Tính góc kề bù rồi chia đôi. Hai góc \(xOy,yOx^{\prime}\) kề bù, nên \(\widehat{yOx^{\prime}}=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Vì \(Oz^{\prime}\) là phân giác của góc này, \(\widehat{yOz^{\prime}}=\dfrac{60^\circ}{2}=30^\circ\).

Bước 3. Cộng hai góc kề nhau. Tia \(Oy\) nằm giữa \(Oz\) và \(Oz^{\prime}\), vì thế \[\widehat{zOz^{\prime}}=\widehat{zOy}+\widehat{yOz^{\prime}}=60^\circ+30^\circ=90^\circ.\]

Đáp số: \(\widehat{zOy}=60^\circ\), \(\widehat{yOz^{\prime}}=30^\circ\), \(\widehat{zOz^{\prime}}=90^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat{mOy}=\widehat{xOy}-\widehat{xOm}=80^\circ-40^\circ=40^\circ\).

b) Có. Tia \(Om\) nằm trong góc \(xOy\) và \(\widehat{xOm}=\widehat{mOy}=40^\circ\), thỏa đủ hai điều kiện của tia phân giác.

BÀI GIẢI

Hai cặp so le trong: \(\widehat A_1,\widehat B_3\) và \(\widehat A_4,\widehat B_2\).

Bốn cặp đồng vị: \((\widehat A_1,\widehat B_1)\), \((\widehat A_2,\widehat B_2)\), \((\widehat A_3,\widehat B_3)\), \((\widehat A_4,\widehat B_4)\). Khi liệt kê góc đồng vị, cần nêu đủ bốn cặp.

BÀI GIẢI

Hai cặp so le trong: \((\widehat{xPQ},\widehat{PQv})\), \((\widehat{yPQ},\widehat{PQu})\).

Bốn cặp đồng vị: \((\widehat{xPm},\widehat{uQP})\), \((\widehat{mPy},\widehat{PQv})\), \((\widehat{xPQ},\widehat{uQn})\), \((\widehat{QPy},\widehat{nQv})\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat A_2=180^\circ-\widehat A_1=120^\circ\); \(\widehat B_4=180^\circ-\widehat B_3=120^\circ\). Vậy \(\widehat A_2=\widehat B_4\).

b) Chọn \(\widehat A_1,\widehat B_1\). Vì \(\widehat B_1=\widehat B_3=60^\circ\) (đối đỉnh), nên \(\widehat A_1=\widehat B_1=60^\circ\). Tương tự mọi cặp đồng vị đều bằng nhau: cặp 3 cùng \(60^\circ\), cặp 2 và cặp 4 cùng \(120^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Đối đỉnh: \(\widehat A_4=\widehat A_2=40^\circ\), \(\widehat B_2=\widehat B_4=40^\circ\). Kề bù: \(\widehat A_1=\widehat A_3=\widehat B_1=\widehat B_3=180^\circ-40^\circ=140^\circ\).

b) \(\widehat A_1+\widehat B_4=140^\circ+40^\circ=180^\circ\); \(\widehat A_2+\widehat B_3=40^\circ+140^\circ=180^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(a\parallel b\), vì hai góc đồng vị bằng nhau.

b) \(d,e\) không song song: nếu song song, hai góc so le trong phải bằng nhau, trái với \(90^\circ\ne80^\circ\).

c) \(m\parallel n\), vì hai góc so le trong bằng nhau.

BÀI GIẢI

a) \(\widehat H_1,\widehat K_1\) là hai góc đồng vị bằng nhau, nên \(m\parallel n\).

b) Hai góc tại \(C,D\) là một cặp so le trong bằng nhau, nên \(c\parallel d\).

BÀI GIẢI

Đường \(c\) cắt \(a,b\), tạo một cặp góc đồng vị cùng bằng \(90^\circ\). Theo dấu hiệu nhận biết, \(a\parallel b\). Đây cũng là chứng minh tính chất: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

BÀI GIẢI

Cách 1: vẽ đường cắt \(d\), tại hai điểm khác nhau dựng \(a,b\) sao cho một cặp góc đồng vị bằng nhau.

Cách 2: tại hai điểm trên \(d\), dựng \(a,b\) sao cho một cặp góc so le trong bằng nhau.

Cách 3: dùng êke dựng \(a,b\) cùng vuông góc với \(d\) tại hai điểm khác nhau. Mỗi cách đều dựa vào một dấu hiệu đã học.

BÀI GIẢI

a) Hai cặp so le trong: \((\widehat P_3,\widehat Q_1)\), \((\widehat P_4,\widehat Q_2)\).

b) Bốn cặp đồng vị \((\widehat P_i,\widehat Q_i)\), với \(i=1,2,3,4\).

c) Đối đỉnh: \(\widehat P_3=\widehat Q_3=30^\circ\). Các góc còn lại \(\widehat P_2,\widehat P_4,\widehat Q_2,\widehat Q_4\) đều bằng \(180^\circ-30^\circ=150^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Hai cặp so le trong: \((\widehat{AMN},\widehat{MNC})\), \((\widehat{BMN},\widehat{MND})\). Với các tia đã vẽ, chưa có cặp đồng vị gọi tên được đầy đủ.

b) So le trong: \((\widehat{ABN},\widehat{BNC})\). Đồng vị: \((\widehat{ABM},\widehat{DNB})\).

c) \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{BCD}\) là hai góc so le trong; hình chưa có cặp đồng vị được thể hiện đủ tia.

Nếu kéo dài các đoạn thành đường thẳng, sẽ có thêm các góc; cần đặt tên thêm điểm hoặc tia trước khi liệt kê.

BÀI GIẢI

So le trong: \((\widehat A_2,\widehat B_4)\), \((\widehat A_3,\widehat B_1)\).

Đồng vị: \((\widehat A_1,\widehat B_1)\), \((\widehat A_2,\widehat B_2)\), \((\widehat A_3,\widehat B_3)\), \((\widehat A_4,\widehat B_4)\).

BÀI GIẢI

a) So le trong: \((\widehat A_4,\widehat B_2)\), \((\widehat A_1,\widehat B_3)\).

b) Bốn cặp đồng vị: \((\widehat A_i,\widehat B_i)\), \(i=1,2,3,4\).

c) Cặp so le trong \(\widehat A_4,\widehat B_2\) bằng nhau và cùng bằng \(38^\circ\), nên \(a\parallel b\).

BÀI GIẢI

a) Nhận diện vị trí các góc. Hai cặp so le trong là \((\widehat P_1,\alpha)\), \((\widehat P_3,\beta)\). Bốn cặp đồng vị là \((\widehat P_4,\alpha)\), \((\widehat P_2,\beta)\), \((\widehat P_1,γ)\), \((\widehat P_3,\widehat Q_1)\).

b) Tính góc tại \(P\). Hai góc \(\widehat P_3\) và \(\widehat P_1\) kề bù, nên \[\widehat P_3=180^\circ-\widehat P_1=180^\circ-72^\circ=108^\circ.\]

c) Dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Theo câu b và giả thiết, \(\widehat P_3=\widehat Q_1=108^\circ\). Đây là hai góc đồng vị tạo bởi đường cắt với \(m,n\); do đó \(m\parallel n\).

BÀI GIẢI

a) So le trong: \((\widehat H_3,\widehat K_1)\), \((\widehat H_1,\widehat K_2)\). Đồng vị: \((\widehat H_4,\widehat K_2)\), \((\widehat H_2,\widehat K_1)\), \((\widehat H_3,\widehat K_3)\), \((\widehat H_1,\widehat K_4)\).

b) \(\widehat H_3=\widehat H_2=60^\circ\) (đối đỉnh); \(\widehat H_1=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

c) Hai góc đồng vị \(\widehat H_3=\widehat K_3=60^\circ\), nên \(x\parallel y\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{xAB}=180^\circ-\widehat{yAB}=60^\circ\). Hai góc \(\widehat{xAB},\widehat{zBm}\) là đồng vị và bằng nhau, do đó \(xy\parallel zt\).

BÀI GIẢI

Có đúng một đường thẳng \(b\) như vậy, theo tiên đề Euclid.

BÀI GIẢI

Dùng êke dựng đường \(d\) qua \(A\), vuông góc với \(a\); sau đó dựng \(b\) qua \(A\), vuông góc với \(d\). Hai đường \(a,b\) cùng vuông góc với \(d\), nên \(b\parallel a\). Theo tiên đề Euclid, đường \(b\) qua \(A\) này là duy nhất.

BÀI GIẢI

Giả sử \(a,b\) cắt nhau tại \(M\). Vì \(a\parallel c\), điểm \(M\notin c\). Khi đó qua \(M\) có hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) cùng song song với \(c\), trái tiên đề Euclid. Vậy \(a,b\) không cắt nhau; chúng song song.

BÀI GIẢI

a) Chọn \(\widehat A_3,\widehat B_1\); hai số đo bằng nhau. Hoặc chọn \(\widehat A_2,\widehat B_4\), cũng bằng nhau.

b) Chọn \(\widehat A_1,\widehat B_1\); hai số đo bằng nhau. Tương tự \(\widehat A_i=\widehat B_i\) với từng \(i=1,2,3,4\). Việc đo minh họa tính chất; số đo cụ thể phụ thuộc hình vẽ.

BÀI GIẢI

\(x=60^\circ\), vì \(x\) và góc \(60^\circ\) là so le trong. Góc \(y\) kề bù với góc \(60^\circ\), nên \(y=180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

BÀI GIẢI

\(\widehat{ABx^{\prime}}=\widehat{yAB}=50^\circ\) (so le trong). \(\widehat{y^{\prime} Bz^{\prime}}=\widehat{yAB}=50^\circ\) (đồng vị).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat B_2=\widehat A_4=37^\circ\) (so le trong).

b) \(\widehat A_1=180^\circ-37^\circ=143^\circ\) (kề bù); \(\widehat B_1=\widehat A_1=143^\circ\) (đồng vị).

c) \(\widehat B_3=\widehat B_1=143^\circ\) (đối đỉnh).

BÀI GIẢI

Điền \(a\perp c; b\perp c; a\parallel b\).

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường còn lại. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

BÀI GIẢI

a) Hai đường thẳng phân biệt \(a,b\) cùng vuông góc với \(AB\), nên \(a\parallel b\).

b) \(\widehat{ADC}\) và \(\widehat{BCD}\) là hai góc trong cùng phía, nên \[\widehat{BCD}=180^\circ-\widehat{ADC}.\]Chưa cho số đo \(\widehat{ADC}\), vì vậy không thể xác định một đáp số bằng số. Không được suy số đo từ độ nghiêng của nét vẽ.

BÀI GIẢI

a) So le trong với \(\widehat A_2\) là \(\widehat B_1\); đồng vị là \(\widehat B_3\).

b) \(\widehat B_1=\widehat B_3=\widehat A_2=70^\circ\); \(\widehat A_1=180^\circ-70^\circ=110^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(a,b\) phân biệt và cùng vuông góc với \(x\), nên \(a\parallel b\).

b) \(\widehat M_1=180^\circ-65^\circ=115^\circ\). Theo góc đồng vị, \(\widehat N_1=115^\circ,\widehat N_2=65^\circ\).

BÀI GIẢI

\(\widehat E_2=\widehat F_1=130^\circ\) (đồng vị). \(\widehat E_1=180^\circ-130^\circ=50^\circ\) (kề bù); \(\widehat E_3=\widehat E_1=50^\circ\) (đối đỉnh).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat A_3=\widehat A_1=50^\circ\) (đối đỉnh); \(\widehat B_3=\widehat A_3=50^\circ\) (đồng vị).

b) Vì \(a\parallel b\) và \(c\perp a\), đường \(c\) cũng vuông góc với \(b\).

BÀI GIẢI

\(\widehat D_2=39^\circ\) (đồng vị). \(\widehat D_4=\widehat D_2=39^\circ\) (đối đỉnh). \(\widehat D_1=\widehat D_3=180^\circ-39^\circ=141^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Vì \(Ma,Ma^{\prime}\) đối nhau, \(\widehat{cMa^{\prime}}=180^\circ-125^\circ=55^\circ\). Hai góc \(\widehat{cMa^{\prime}}\), \(\widehat{MNP}\) đồng vị và bằng nhau, nên \(aa^{\prime}\parallel bb^{\prime}\).

b) \(PQ\perp bb^{\prime}\), mà \(aa^{\prime}\parallel bb^{\prime}\), nên \(PQ\perp aa^{\prime}\).

BÀI GIẢI

a) Chứng minh hai đường thẳng song song. Vì \(a\perp GK\) và \(x\perp GK\), hai đường thẳng \(a,x\) cùng vuông góc với một đường thẳng. Suy ra \(a\parallel x\).

b) Tính góc \(\widehat M_3\). Khi \(a\parallel x\), hai góc so le trong \(\widehat M_3\) và \(\widehat N_2\) bằng nhau. Vì vậy \(\widehat M_3=110^\circ\).

c) Tính \(\widehat{MDN}\). Trong hình, \(D\) nằm bên trái \(N\). Vì \(MD\) là tia phân giác của \(\widehat{GMN}=\widehat M_3\), nên \[\widehat{GMD}=\widehat{DMN}=\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ.\] Dùng lại \(a\parallel x\) với đường cắt \(MD\): \(\widehat{GMD}\) và \(\widehat{MDN}\) là hai góc so le trong. Do đó \(\widehat{MDN}=55^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat A_1=\widehat B_1=60^\circ\) là hai góc đồng vị, nên \(a\parallel b\).

b) \(\widehat D_1=\widehat C_1=110^\circ\) (đồng vị); \(\widehat D_3=\widehat D_1=110^\circ\) (đối đỉnh); \(\widehat D_4=180^\circ-110^\circ=70^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat H_1,\widehat K_1\) là hai góc so le trong bằng nhau, nên \(x\parallel y\).

b) \(\widehat M_4=\widehat N_2=110^\circ\) (đồng vị). Do đối đỉnh và kề bù, \(\widehat M_1=110^\circ\), \(\widehat M_2=\widehat M_3=70^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat F_2=\widehat F_1=110^\circ\) (đối đỉnh). Hai góc đồng vị \(\widehat E_3=\widehat F_2=110^\circ\), nên \(m\parallel n\).

b) \(\widehat P_1=180^\circ-\widehat P_2=120^\circ\). \(\widehat Q_3=\widehat P_1=120^\circ\) (so le trong).

BÀI GIẢI

a) \(m,n\) cùng vuông góc với \(AB\), nên \(m\parallel n\).

b) Hai góc đồng vị ở \(C,D\) cùng bằng \(60^\circ\), nên \(n\parallel p\). Vì \(m\parallel n\) và \(p\parallel n\), suy ra \(m\parallel p\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat H_2=180^\circ-120^\circ=60^\circ\); \(\widehat H_3=\widehat H_2=60^\circ\) (đối đỉnh).

b) Hai góc đồng vị \(\widehat H_2=\widehat K_1=60^\circ\), nên \(x\parallel y\).

c) Phân giác chia \(\widehat H_1\) thành hai góc \(60^\circ\). Góc tạo bởi \(HA\) với tia của \(x\) hướng sang phải bằng \(60^\circ\), so le trong với \(\widehat{HAK}\). Vậy \(\widehat{HAK}=60^\circ\).

BÀI GIẢI

a) \(\widehat E_2=\widehat F_1=130^\circ\) (đồng vị); \(\widehat E_3=180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

b) Theo hình, lấy tia \(Fy\) hướng về phía chữ \(y\), tức hướng sang trái. Khi đó \(\widehat{EFy}=180^\circ-130^\circ=50^\circ\). Tia phân giác \(Fm\) cho \(\widehat{DFy}=25^\circ\), và \(D\) nằm bên trái \(E\). Vì \(x\parallel y\), \(\widehat{EDF}=\widehat{DFy}=25^\circ\) (so le trong).

Đối chiếu khi sửa đề: Nếu giáo viên muốn phân giác của góc \(\widehat F_1=130^\circ\) ở phía phải, phải đổi cách xác định tia. Bài đã sửa ấy cho \(D\) bên phải \(E\) và \(\widehat{EDF}=65^\circ\); đây là một cấu hình khác, không phải đáp số của cách đọc tia \(Fy\) hướng trái.

BÀI GIẢI

Do \(AB\perp a\) và \(a\parallel b\), \(AB\perp b\); góc cần tìm tại \(B\) bằng \(90^\circ\).

Hai góc trong cùng phía tại \(D,C\) bù nhau, nên góc tại \(D=180^\circ-130^\circ=50^\circ\).

BÀI GIẢI

a) Tính góc kề bù. \(\widehat M_1\) và \(\widehat M_3\) kề bù, nên \[\widehat M_1=180^\circ-70^\circ=110^\circ.\]

b) Chứng minh \(x\parallel y\). Ta có \(\widehat M_1=\widehat N_2=110^\circ\). Hai góc này ở vị trí so le trong với đường cắt \(MN\), nên \(x\parallel y\).

c) Tính \(\widehat K_1\). Do \(x\parallel y\), hai góc so le trong tạo bởi đường cắt \(HK\) bằng nhau: \(\widehat K_1=\widehat H_1=85^\circ\).

d) Dùng phân giác rồi cộng góc. Vì \(Mz\) là phân giác của \(\widehat M_1\), nên \[\widehat{NMz}=\dfrac12\widehat M_1=\dfrac{110^\circ}{2}=55^\circ.\] Mặt khác, \(\widehat{HMN}=70^\circ\), và tia \(MN\) nằm trong góc \(HMz\). Do đó \[\widehat{HMz}=\widehat{HMN}+\widehat{NMz}=70^\circ+55^\circ=125^\circ.\]

BÀI GIẢI

a) Hai đường \(xx^{\prime},yy^{\prime}\) cùng vuông góc với \(zz^{\prime}\), nên song song.

b) \(\widehat{ADC},\widehat{BCD}\) là hai góc trong cùng phía, nên \(\widehat{ADC}=180^\circ-70^\circ=110^\circ\).

c) Hai góc \(xAB,yBz^{\prime}\) đều là góc vuông. Do phân giác, \(\widehat{tAB}=\widehat{mBz^{\prime}}=45^\circ\). Hai góc này đồng vị khi đường \(zz^{\prime}\) cắt các đường chứa \(At,Bm\), nên \(At\parallel Bm\).

BÀI GIẢI

a) Tính một góc để nhận biết song song. Hai góc \(\widehat P_1,\widehat P_2\) kề bù, nên \[\widehat P_1=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\] Vì \(\widehat P_1=\widehat Q_3=120^\circ\) là hai góc so le trong, suy ra \(m\parallel n\).

b) Dùng góc đồng vị rồi góc đối đỉnh. Từ \(m\parallel n\), \(\widehat F_2=\widehat E_3=110^\circ\) (đồng vị). Tiếp theo, \(\widehat F_1=\widehat F_2=110^\circ\) (đối đỉnh).

c) Tính các góc do hai tia phân giác tạo ra. Vì \(Px,Qt\) lần lượt là các tia phân giác, nên \[\widehat{xPQ}=\dfrac12\widehat P_1=60^\circ,\qquad\widehat{PQt}=\dfrac12\widehat Q_3=60^\circ.\] Hai góc \(xPQ,PQt\) là hai góc so le trong tạo bởi đường \(PQ\) với hai đường chứa \(Px,Qt\). Chúng bằng nhau nên \(Px\parallel Qt\).

BÀI GIẢI

a) Hai góc \(\widehat{MNE},\widehat{NEF}\) so le trong và bằng nhau, nên \(MN\parallel EF\).

b) Hai góc \(\widehat{HKD},\widehat{EFD}\) đồng vị và bằng nhau, nên \(HK\parallel EF\).

c) Từ \(MN\parallel EF\), \(HK\parallel EF\), suy ra \(HK\parallel MN\).

Nếu giữ nguyên “\(MK\parallel MN\)” thì mệnh đề sai: hai đường \(MK,MN\) phân biệt cùng đi qua \(M\), nên cắt nhau. Đây là lỗi kí hiệu của đề, không thể chứng minh bằng dữ kiện đã cho.

BÀI GIẢI

GT: \(\widehat O_1,\widehat O_2\) là hai góc đối đỉnh.

KL: \(\widehat O_1=\widehat O_2\).

BÀI GIẢI

Giả thiết: hai góc \(xOy,yOz\) kề bù; \(Om\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), \(On\) là tia phân giác của \(\widehat{yOz}\). Kết luận cần chứng minh: \(\widehat{mOn}=90^\circ\).

Bước 1. Viết hệ thức của hai góc kề bù. \[\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=180^\circ.\]

Bước 2. Dùng tính chất tia phân giác. \[\widehat{mOy}=\dfrac12\widehat{xOy},\qquad\widehat{yOn}=\dfrac12\widehat{yOz}.\]

Bước 3. Cộng hai góc. Tia \(Oy\) nằm giữa \(Om,On\), nên \[\widehat{mOn}=\widehat{mOy}+\widehat{yOn}=\dfrac12\bigl(\widehat{xOy}+\widehat{yOz}\bigr)=\dfrac12\cdot180^\circ=90^\circ.\]

Vậy góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.

BÀI GIẢI

Vẽ \(a\parallel b\), đường \(c\perp a\).

GT: \(a\parallel b, c\perp a\).

KL: \(c\perp b\).

Để kiểm tra: góc đồng vị với góc vuông tại giao điểm \(c,a\) cũng bằng \(90^\circ\), nên \(c\perp b\).

BÀI GIẢI

a) “…bằng nhau”.

b) “…chúng song song với nhau”.

BÀI GIẢI

a) Điền “bằng nhau”.

b) Điền “vuông góc”. Điền “song song” cũng tạo thành một định lí đúng khác, chính là nội dung Bài tập 4.

Hai chỗ trống này nằm trong giả thiết.

BÀI GIẢI

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Kí hiệu: \(a\ne b, a\parallel c, b\parallel c\Rightarrow a\parallel b\).

BÀI GIẢI

Gọi số đo ba góc là \(\alpha,\beta,γ\).

GT: \(\alpha+γ=90^\circ, \beta+γ=90^\circ\).

KL: \(\alpha=\beta\).

Từ GT, \(\alpha=90^\circ-γ\) và \(\beta=90^\circ-γ\). Hai biểu thức cùng bằng một giá trị, nên \(\alpha=\beta\). Điều phải chứng minh.