Hình khối thực tiễn – Toán 8 học kỳ II

Sơ đồ kiến thức của chương

Một số hình khối trong thực tiễn

Nhận biết

Đáy đều; các mặt bên là tam giác cân bằng nhau.

Phân biệt

Đường cao h; trung đoạn d; cạnh bên.

Diện tích

Sxq = p × d; p là nửa chu vi đáy.

Thể tích

V = (1/3) × diện tích đáy × chiều cao.

Bài 38

Hình chóp tam giác đều

Nhận biết đỉnh, cạnh, mặt, đường cao và trung đoạn của hình chóp tam giác đều.
Tính diện tích xung quanh và thể tích bằng đúng dữ kiện.
Vận dụng diện tích, thể tích trong bài toán mô hình và đóng gói.

Hình chóp tam giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Đọc lý thuyết đầy đủ

Hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều và các mặt bên $S A B$ , $S B C$ , $S C A$ là các tam giác cân bằng nhau. Có $A B = B C = C A$ và $S A = S B = S C$ . Hình có $4$ đỉnh, $6$ cạnh và $4$ mặt, gồm một mặt đáy và ba mặt bên.

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều đáy. Đoạn $S O$ vuông góc với mặt đáy là đường cao; độ dài kí hiệu $h$ . Đây là khoảng cách từ đỉnh chóp đến mặt đáy.

Gọi $M$ là trung điểm $B C$ . Trong mặt bên cân $S B C$ , đoạn $S M$ vuông góc $B C$ ; $S M$ là một trung đoạn, có độ dài $d$ . Cần phân biệt $S O$ là đường cao của hình chóp, $S M$ là đường cao mặt bên, và $S B$ là cạnh bên.

Diện tích xung quanh bằng tổng diện tích ba mặt bên: $S_{x q} = p d$ , trong đó $p$ là nửa chu vi đáy. Nếu cạnh đáy là $a$ thì $p = \frac{3 a}{2}$ và $S_{x q} = \frac{3 a d}{2}$ . Diện tích toàn phần là $S_{t p} = S_{x q} + S_{đ á y}$ .

Thể tích là $V = \frac{1}{3} S_{đ á y} h$ . Muốn tính diện tích đáy tam giác, có thể dùng $S_{đ á y} = \frac{1}{2} \cdot c ạ n h đ á y \cdot đ ư ờ n g c a o c ủ a t a m g i á c đ á y$ . Không dùng trung đoạn thay cho đường cao $h$ của hình chóp.

Khi bài cho hình vẽ có $S O$ , $O M$ , $S M$ , tam giác $S O M$ vuông tại $O$ nên có thể dùng Pythagore để tính độ dài còn thiếu. Với bài giấy bìa hoặc sơn phủ, phải xác định có tính mặt đáy hay chỉ tính các mặt bên; diện tích và thể tích dùng đơn vị khác nhau.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Đáy của hình chóp tam giác đều là .
Hình chóp tam giác đều có mặt bên.
Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là của một mặt bên, kẻ từ đỉnh chóp.
Nếu $p$ là nửa chu vi đáy và $d$ là trung đoạn thì $S_{x q} =$ .
Nếu $B$ là diện tích đáy và $h$ là đường cao thì thể tích $V =$ .
Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy

8

cm và trung đoạn

5

cm. Tính diện tích xung quanh.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Chu vi đáy là $3 \cdot 8 = 24$ cm, nên nửa chu vi đáy $p = 12$ cm.
$S_{x q} = p d = 12 \cdot 5 = 60$ cm $^2$ .
Có thể kiểm tra bằng tổng diện tích ba tam giác mặt bên: $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 60$ cm $^2$ .

Ví dụ 2

Một mô hình hình chóp tam giác đều có diện tích đáy

36

^2

và đường cao

10

cm. Tính thể tích mô hình.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Dữ kiện đã cho là diện tích đáy và đường cao, nên dùng $V = \frac{1}{3} S_{đ á y} h$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120$ cm $^3$ .
Kết quả có đơn vị thể tích cm $^3$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Cho hình chóp tam giác đều

S . A B C

O

là tâm đáy,

M

là trung điểm

B C

. Kể tên các mặt bên, các cạnh bên, đường cao và một trung đoạn; cho biết số đỉnh, số cạnh, số mặt.

Hình chóp tam giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các mặt bên là $S A B$ , $S B C$ , $S C A$ ; các cạnh bên là $S A$ , $S B$ , $S C$ .
Đường cao là $S O$ . Trung đoạn được nêu trong hình là $S M$ , vì $M$ là trung điểm $B C$ và mặt bên $S B C$ cân tại $S$ .
Hình có $4$ đỉnh, $6$ cạnh và $4$ mặt.

Bài 2Cơ bản

Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy

10

cm và trung đoạn

9

cm. Tính diện tích một mặt bên và diện tích xung quanh.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Một mặt bên là tam giác có đáy $10$ cm và đường cao $9$ cm, nên diện tích bằng $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45$ cm $^2$ .
Ba mặt bên bằng nhau, nên $S_{x q} = 3 \cdot 45 = 135$ cm $^2$ . Cũng có thể dùng $p = 15$ cm rồi tính $p d = 15 \cdot 9$ .

Bài 3Thông hiểu

Một hình chóp tam giác đều có diện tích đáy

24

^2

, đường cao

7, 5

cm. Tính thể tích. Một hình chóp khác có cùng diện tích đáy và thể tích

84

^3

thì đường cao bằng bao nhiêu?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Thể tích hình thứ nhất là $V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 7, 5 = 60$ cm $^3$ .
Với hình thứ hai, $84 = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot h = 8 h$ , nên $h = 84 : 8 = 10, 5$ cm.

Bài 4Thông hiểu

Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy

6

cm, đường cao của tam giác đáy bằng

3 \sqrt{3}

cm và trung đoạn

5

cm. Tính diện tích đáy, diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$S_{đ á y} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}$ cm $^2$ .
Nửa chu vi đáy là $p = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ cm. Do đó $S_{x q} = 9 \cdot 5 = 45$ cm $^2$ .
$S_{t p} = 45 + 9 \sqrt{3}$ cm $^2$ . Kết quả chính xác được giữ ở dạng căn.

Bài 5Vận dụng

Một cơ sở làm

20

vỏ hộp hình chóp tam giác đều, không có mặt đáy. Mỗi vỏ có cạnh đáy

12

cm, trung đoạn

10

cm. Lượng bìa dự trù bằng diện tích các mặt bên cộng thêm

8 %

phần hao hụt. Tính tổng diện tích bìa cần dự trù.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Diện tích các mặt bên của một vỏ là $S_{x q} = \frac{3 \cdot 12}{2} \cdot 10 = 180$ cm $^2$ .
Tổng diện tích trước hao hụt là $20 \cdot 180 = 3600$ cm $^2$ . Vì hộp không có đáy nên không cộng diện tích đáy.
Phần hao hụt dự trù là $8 % \cdot 3600 = 288$ cm $^2$ . Tổng cộng $3600 + 288 = 3888$ cm $^2$ .

Bài 6Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều

S . A B C

có cạnh đáy

6 \sqrt{3}

cm. Tam giác đáy có đường cao

A M = 9

cm;

M

là trung điểm

B C

và tâm

O

nằm trên

A M

với

O M = 3

cm. Biết đường cao

S O = 4

cm. Tính trung đoạn

S M

, diện tích xung quanh và thể tích.

Hình chóp tam giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì $S O$ vuông góc mặt đáy nên $S O ⊥ O M$ . Trong tam giác $S O M$ vuông tại $O$ , $S M = \sqrt{S O^{2} + O M^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ cm.
Nửa chu vi đáy là $p = \frac{3 \cdot 6 \sqrt{3}}{2} = 9 \sqrt{3}$ cm, nên $S_{x q} = 9 \sqrt{3} \cdot 5 = 45 \sqrt{3}$ cm $^2$ .
$S_{đ á y} = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 9 = 27 \sqrt{3}$ cm $^2$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \sqrt{3} \cdot 4 = 36 \sqrt{3}$ cm $^3$ .

↑ Danh mục chương X

Bài 39

Hình chóp tứ giác đều

Mô tả đúng các yếu tố của hình chóp tứ giác đều.
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.
Kết hợp Pythagore với công thức diện tích, thể tích trong bài toán thực tế.

Hình chóp tứ giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Đọc lý thuyết đầy đủ

Hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông; các cạnh bên $S A$ , $S B$ , $S C$ , $S D$ bằng nhau. Bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau. Hình có $5$ đỉnh, $8$ cạnh và $5$ mặt.

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy. Đường cao $S O$ vuông góc mặt đáy. Nếu $M$ là trung điểm $B C$ thì $S M$ là trung đoạn, đồng thời là đường cao của mặt bên $S B C$ .

Với cạnh đáy $a$ và trung đoạn $d$ , nửa chu vi đáy là $p = 2 a$ . Do đó $S_{x q} = 2 a d$ ; diện tích toàn phần $S_{t p} = 2 a d + a^{2}$ .

Với đường cao $h$ , thể tích hình chóp là $V = \frac{1}{3} a^{2} h$ . Các kích thước phải cùng đơn vị. Diện tích dùng đơn vị vuông; thể tích dùng đơn vị khối.

Vì $O M = \frac{a}{2}$ và tam giác $S O M$ vuông tại $O$ , có $d^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ . Nếu biết cạnh bên $S B = l$ , trong tam giác vuông $S M B$ có $d^{2} = l^{2} - (\frac{a}{2})^{2}$ . Đây là hai tam giác khác nhau, không được nhầm $l$ với $h$ .

Bài toán mái che hoặc lều không có sàn thường chỉ tính diện tích xung quanh; hộp kín cần tính thêm mặt đáy. Phần hao hụt, tiền công hoặc đơn giá phải áp dụng đúng vào diện tích đề bài yêu cầu.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Đáy của hình chóp tứ giác đều là .
Hình chóp tứ giác đều có mặt bên.
Với cạnh đáy $a$ và trung đoạn $d$ , diện tích xung quanh là .
Với cạnh đáy $a$ và đường cao $h$ , thể tích là .
Gọi $O$ là tâm đáy vuông cạnh $a$ , $M$ là trung điểm một cạnh đáy. Khi đó $O M =$ .
Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều là .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

10

cm và đường cao

12

cm. Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi $O$ là tâm đáy, $M$ là trung điểm một cạnh đáy. Có $O M = 10 : 2 = 5$ cm và $S O = 12$ cm.
Tam giác $S O M$ vuông tại $O$ , nên trung đoạn $d = S M = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ cm.
$S_{x q} = 2 a d = 2 \cdot 10 \cdot 13 = 260$ cm $^2$ ; $S_{t p} = 260 + 10^{2} = 360$ cm $^2$ .
$V = \frac{1}{3} a^{2} h = \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \cdot 12 = 400$ cm $^3$ .

Ví dụ 2

Một lều dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

3

m, trung đoạn

2, 5

m và không có sàn. Tính diện tích vải phủ các mặt bên; nếu dự trù thêm

10 %

hao hụt thì cần bao nhiêu mét vuông vải?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Lều không có sàn nên chỉ tính bốn mặt bên: $S_{x q} = 2 \cdot 3 \cdot 2, 5 = 15$ m $^2$ .
Phần hao hụt là $10 % \cdot 15 = 1, 5$ m $^2$ . Tổng diện tích vải dự trù là $15 + 1, 5 = 16, 5$ m $^2$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Cho hình chóp tứ giác đều

S . A B C D

O

là tâm đáy,

M

là trung điểm

B C

. Kể tên bốn mặt bên, đường cao, một trung đoạn và hai cạnh bên. Nêu số đỉnh, số cạnh, số mặt.

Hình chóp tứ giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Bốn mặt bên là $S A B$ , $S B C$ , $S C D$ , $S D A$ . Đường cao là $S O$ ; một trung đoạn là $S M$ .
Có thể chọn hai cạnh bên $S A$ , $S B$ . Hình có $5$ đỉnh, $8$ cạnh và $5$ mặt.

Bài 2Cơ bản

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

8

cm, trung đoạn

5

cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$S_{x q} = 2 a d = 2 \cdot 8 \cdot 5 = 80$ cm $^2$ .
$S_{đ á y} = 8^{2} = 64$ cm $^2$ , nên $S_{t p} = 80 + 64 = 144$ cm $^2$ .

Bài 3Thông hiểu

Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

9

cm, đường cao

10

cm. Tính thể tích. Một hình khác có cùng cạnh đáy và thể tích

405

^3

thì đường cao bằng bao nhiêu?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Với hình thứ nhất, $V = \frac{1}{3} \cdot 9^{2} \cdot 10 = 270$ cm $^3$ .
Với hình thứ hai, $405 = \frac{1}{3} \cdot 9^{2} \cdot h = 27 h$ , nên $h = 15$ cm.

Bài 4Vận dụng

Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

12

cm, đường cao

8

cm. Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Hình chóp tứ giác đều; O là tâm đáy, M là trung điểm BC, SO là đường cao và SM là trung đoạn

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi $M$ là trung điểm một cạnh đáy, $O$ là tâm đáy. Ta có $O M = 6$ cm. Vì $S O ⊥ O M$ , trung đoạn $S M = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ cm.
$S_{x q} = 2 \cdot 12 \cdot 10 = 240$ cm $^2$ ; $S_{t p} = 240 + 12^{2} = 384$ cm $^2$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 12^{2} \cdot 8 = 384$ cm $^3$ . Hai số $384$ bằng nhau nhưng là hai đại lượng có đơn vị khác nhau.

Bài 5Vận dụng

Một mái che hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

6

m và trung đoạn

5

m. Chỉ lợp các mặt bên. Giả sử chi phí vật liệu và thi công trọn gói là

185000

đồng cho mỗi mét vuông, không tính hao hụt. Tính diện tích cần lợp và tổng chi phí.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Diện tích cần lợp là diện tích xung quanh: $S_{x q} = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ m $^2$ .
Tổng chi phí là $60 \cdot 185000 = 11100000$ đồng.

Bài 6Vận dụng

Một hộp kín hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

10

cm và cạnh bên

13

cm. Tính trung đoạn, đường cao, diện tích bề mặt hộp và thể tích. Giữ kết quả chính xác ở dạng căn nếu cần.

Mặt bên là tam giác cân SAB, M là trung điểm AB, SM vuông góc AB

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Xét một mặt bên cân $S A B$ ; gọi $M$ là trung điểm $A B$ . Có $A M = 5$ cm và $S M ⊥ A B$ . Theo Pythagore, $S M = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ cm.
Gọi $O$ là tâm đáy. Khi đó $O M = 5$ cm và $S O ⊥ O M$ . Đường cao $h = S O = \sqrt{S M^{2} - O M^{2}} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$ cm.
Diện tích xung quanh là $2 \cdot 10 \cdot 12 = 240$ cm $^2$ . Hộp kín có cả đáy nên diện tích bề mặt là $240 + 10^{2} = 340$ cm $^2$ .
Thể tích bằng $V = \frac{1}{3} \cdot 10^{2} \sqrt{119} = \frac{100 \sqrt{119}}{3}$ cm $^3$ .

↑ Danh mục chương X

Toán 8 HKII theo mẫu VSTAR – Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

Chương X. Một số hình khối trong thực tiễn

Sơ đồ kiến thức của chương

Hình chóp tam giác đều

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Hình chóp tứ giác đều

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Vận dụng

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài