Toán 8 HKII theo mẫu VSTAR – Chương IX: Tam giác đồng dạng

Học liệu theo mẫu VSTAR

Gia Sư SV biên soạn

Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 33–37: đọc lý thuyết đầy đủ, ôn chọn–điền, ví dụ, bài luyện và tự kiểm tra.

PDF chương IX PDF đáp án chương

Theo chương trình Kết nối tri thức · Năm học 2026–2027 · Tài liệu ôn tập tham khảo theo cách trình bày bộ VSTAR.

Lựa chọn và bài làm được nhớ trên trình duyệt đang dùng.

Sơ đồ kiến thức của chương

Tam giác đồng dạng

Đồng dạng

Đúng thứ tự đỉnh, góc bằng và cạnh tỉ lệ.

Ba trường hợp

Cạnh–cạnh–cạnh; cạnh–góc–cạnh; góc–góc.

Tam giác vuông

Pythagore; cạnh huyền–cạnh góc vuông tương ứng.

Ứng dụng

Tỉ số chu vi k; diện tích k²; đo cao; hình đồng dạng.

Bài 33

Hai tam giác đồng dạng

Nhận biết các đỉnh, góc và cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Tính tỉ số đồng dạng, độ dài và chu vi từ các cặp cạnh tương ứng.
Vận dụng đường thẳng song song với một cạnh của tam giác để xác định tam giác đồng dạng.

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Đọc lý thuyết đầy đủ

Hai tam giác $A B C$ và $D E F$ đồng dạng nếu $\hat{A} = \hat{D}$ , $\hat{B} = \hat{E}$ , $\hat{C} = \hat{F}$ và $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}$ . Kí hiệu $△ A B C \sim △ D E F$ ; thứ tự các chữ phải thể hiện đúng các đỉnh tương ứng.

Tỉ số đồng dạng của $△ A B C$ với $△ D E F$ là $k = \frac{A B}{D E} > 0$ . Khi đó $A B = k D E$ , $B C = k E F$ , $C A = k F D$ . Nếu đổi thứ tự hai tam giác thì tỉ số là $\frac{1}{k}$ .

Hai tam giác bằng nhau luôn đồng dạng với tỉ số $1$ . Chiều ngược lại chỉ đúng khi tỉ số đồng dạng bằng $1$ ; đồng dạng nói chung không yêu cầu kích thước bằng nhau.

Nếu $△ A B C \sim △ D E F$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số chu vi cũng bằng $k$ , vì $A B + B C + C A = k (D E + E F + F D)$ . Muốn tìm cạnh chưa biết, lập một tỉ lệ chứa cạnh đó và một cặp cạnh đã biết.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại, tam giác tạo thành đồng dạng với tam giác đã cho. Với $D \in A B$ , $E \in A C$ , $D E ∥ B C$ , ta có $△ A D E \sim △ A B C$ và $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ .

Khi hai quan hệ đồng dạng nối tiếp nhau, các góc tương ứng vẫn bằng nhau và các tỉ số cạnh được nhân với nhau. Chẳng hạn $△ A B C \sim △ D E F$ theo $k_{1}$ , $△ D E F \sim △ M N P$ theo $k_{2}$ thì $△ A B C \sim △ M N P$ theo $k_{1} k_{2}$ .

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng .
Nếu $△ A B C \sim △ D E F$ thì đỉnh $B$ tương ứng với đỉnh .
Tỉ số đồng dạng của $△ A B C$ với $△ D E F$ là $k = \frac{A B}{D E} =$ .
Nếu tỉ số đồng dạng của tam giác thứ nhất với tam giác thứ hai là $k$ thì tỉ số theo chiều ngược lại là .
Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k = 1$ thì .
Trong $△ A B C$ , nếu $D \in A B$ , $E \in A C$ và $D E ∥ B C$ thì .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Cho

△ A B C \sim △ D E F

, biết

A B = 6

cm,

B C = 8

cm,

C A = 10

cm và

D E = 9

cm. Tính tỉ số đồng dạng của

△ A B C

với

△ D E F

, các cạnh

E F

F D

và chu vi mỗi tam giác.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Từ thứ tự đồng dạng, $A B \leftrightarrow D E$ , $B C \leftrightarrow E F$ , $C A \leftrightarrow F D$ . Do đó $k = \frac{A B}{D E} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
$\frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ nên $E F = 8 : \frac{2}{3} = 12$ cm. Tương tự, $F D = 10 : \frac{2}{3} = 15$ cm.
Chu vi $A B C$ là $6 + 8 + 10 = 24$ cm; chu vi $D E F$ là $9 + 12 + 15 = 36$ cm. Kiểm tra: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3} = k$ .

Ví dụ 2

Cho

△ A B C \sim △ M N P

theo tỉ số

\frac{3}{2}

, biết

\hat{A} = 50^{°}

\hat{B} = 70^{°}

và

M N = 8

cm. Tính ba góc của tam giác

M N P

và cạnh

A B

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\hat{C} = 180^{°} - 50^{°} - 70^{°} = 60^{°}$ .
Theo thứ tự đồng dạng: $\hat{M} = 50^{°}$ , $\hat{N} = 70^{°}$ , $\hat{P} = 60^{°}$ .
$\frac{A B}{M N} = \frac{3}{2}$ nên $A B = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12$ cm.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Cho

△ A B C \sim △ M N P

\hat{A} = 48^{°}

\hat{B} = 67^{°}

. Viết các cặp cạnh tương ứng và tính

\hat{C}

\hat{M}

\hat{N}

\hat{P}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các cạnh tương ứng là $A B \leftrightarrow M N$ , $B C \leftrightarrow N P$ , $C A \leftrightarrow P M$ .
$\hat{C} = 180^{°} - 48^{°} - 67^{°} = 65^{°}$ . Vì các góc tương ứng bằng nhau nên $\hat{M} = 48^{°}$ , $\hat{N} = 67^{°}$ , $\hat{P} = 65^{°}$ .

Bài 2Cơ bản

Cho

△ A B C \sim △ M N P

A B = 5

cm,

B C = 7

cm,

C A = 8

cm và

M N = 10

cm. Tính

N P

P M

và tỉ số chu vi của

A B C

với

M N P

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$k = \frac{A B}{M N} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .
$N P = 7 : \frac{1}{2} = 14$ cm; $P M = 8 : \frac{1}{2} = 16$ cm.
Chu vi hai tam giác lần lượt là $20$ cm và $40$ cm, nên tỉ số chu vi bằng $\frac{1}{2}$ .

Bài 3Thông hiểu

Tam giác

D E F

đồng dạng với tam giác

A B C

theo tỉ số

\frac{3}{4}

. Biết chu vi tam giác

A B C

bằng

40

cm,

\hat{D} = 75^{°}

\hat{E} = 45^{°}

. Tính chu vi tam giác

D E F

và ba góc của tam giác

A B C

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Chu vi $D E F$ bằng $\frac{3}{4} \cdot 40 = 30$ cm.
$\hat{F} = 180^{°} - 75^{°} - 45^{°} = 60^{°}$ .
Từ $D \leftrightarrow A$ , $E \leftrightarrow B$ , $F \leftrightarrow C$ , suy ra $\hat{A} = 75^{°}$ , $\hat{B} = 45^{°}$ , $\hat{C} = 60^{°}$ .

Bài 4Thông hiểu

Cho

△ A B C \sim △ D E F

A B = 2 x + 1

cm,

D E = 9

cm,

A C = 10

cm và

D F = 6

cm. Tìm

x

và tỉ số đồng dạng của

A B C

với

D E F

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$k = \frac{A C}{D F} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ . Vì $A B \leftrightarrow D E$ , ta có $\frac{2 x + 1}{9} = \frac{5}{3}$ .
$2 x + 1 = 15$ , suy ra $2 x = 14$ , do đó $x = 7$ . Khi đó $A B = 15$ cm, là độ dài dương và $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ .

Bài 5Vận dụng

Cho

△ A B C \sim △ D E F

theo tỉ số

2

và

△ D E F \sim △ M N P

theo tỉ số

\frac{3}{4}

. Chứng minh

△ A B C \sim △ M N P

và tính chu vi

A B C

khi chu vi

M N P

bằng

28

cm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Từ hai quan hệ đồng dạng, $\hat{A} = \hat{D} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{E} = \hat{N}$ , $\hat{C} = \hat{F} = \hat{P}$ .
$\frac{A B}{M N} = \frac{A B}{D E} \cdot \frac{D E}{M N} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ . Tương tự, $\frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} = \frac{3}{2}$ .
Vậy $△ A B C \sim △ M N P$ theo định nghĩa, với tỉ số $\frac{3}{2}$ . Chu vi $A B C$ là $\frac{3}{2} \cdot 28 = 42$ cm.

Bài 6Vận dụng

Trong tam giác

A B C

, lấy

D \in A B

E \in A C

sao cho

D E ∥ B C

. Biết

A D = 3

cm,

D B = 2

cm,

A E = 3, 6

cm,

B C = 7, 5

cm. Chứng minh

△ A D E \sim △ A B C

rồi tính

A C

E C

D E

Tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC; đoạn DE được tô màu

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì $D E ∥ B C$ , đường thẳng $D E$ cắt hai cạnh của tam giác $A B C$ , nên $△ A D E \sim △ A B C$ .
$A B = A D + D B = 3 + 2 = 5$ cm, vì vậy $k = \frac{A D}{A B} = \frac{3}{5}$ .
$A C = A E : \frac{3}{5} = 3, 6 \cdot \frac{5}{3} = 6$ cm; $E C = A C - A E = 6 - 3, 6 = 2, 4$ cm.
$D E = \frac{3}{5} \cdot B C = \frac{3}{5} \cdot 7, 5 = 4, 5$ cm.

↑ Danh mục chương IX

Bài 34

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Chọn đúng trường hợp cạnh–cạnh–cạnh, cạnh–góc–cạnh hoặc góc–góc.
Trình bày chứng minh đồng dạng kèm thứ tự đỉnh chính xác.
Dùng đồng dạng để tính độ dài và chứng minh hai đường thẳng song song.

Tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC; đoạn DE được tô màu

Đọc lý thuyết đầy đủ

Trường hợp cạnh–cạnh–cạnh: nếu $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}$ thì $△ A B C \sim △ D E F$ . Khi chỉ cho ba độ dài cạnh của mỗi tam giác, nên ghép cạnh nhỏ nhất với cạnh nhỏ nhất, cạnh lớn nhất với cạnh lớn nhất.

Trường hợp cạnh–góc–cạnh: nếu $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ và $\hat{B A C} = \hat{E D F}$ thì $△ A B C \sim △ D E F$ . Hai góc bằng nhau phải nằm giữa hai cạnh có tỉ số đã so sánh.

Trường hợp góc–góc: nếu $\hat{A} = \hat{D}$ và $\hat{B} = \hat{E}$ thì $△ A B C \sim △ D E F$ . Cặp góc thứ ba tự động bằng nhau do tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{°}$ .

Khi viết chứng minh, nêu rõ hai tam giác đang xét, các tỉ số cạnh hoặc góc bằng nhau, rồi ghi kết luận đồng dạng và tên trường hợp. Sau đó mới suy ra tỉ lệ cạnh cần dùng.

Góc chung, góc đối đỉnh, góc tạo bởi hai đường thẳng song song là các nguồn thường dùng để có cặp góc bằng nhau. Ngược lại, từ đồng dạng có thể suy ra một cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau để chứng minh song song.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác .
Ở trường hợp cạnh–góc–cạnh, góc bằng nhau phải là góc hai cạnh đang xét.
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì áp dụng trường hợp .
Nếu $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ và $\hat{A} = \hat{D}$ thì .
Chỉ biết hai cặp cạnh tỉ lệ mà chưa biết góc xen giữa thì kết luận hai tam giác đồng dạng.
Nếu $\hat{A} = \hat{M}$ , $\hat{B} = \hat{N}$ thì thứ tự đúng là .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Trong tam giác

A B C

D \in A B

E \in A C

D E ∥ B C

. Biết

A D = 4

cm,

A B = 10

cm,

A C = 15

cm,

B C = 12

cm. Chứng minh

△ A D E \sim △ A B C

bằng trường hợp góc–góc, rồi tính

D E

và

C E

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Xét $△ A D E$ và $△ A B C$ : góc $A$ chung; $\hat{A D E} = \hat{A B C}$ do $D E ∥ B C$ .
Vậy $△ A D E \sim △ A B C$ theo trường hợp góc–góc, với $k = \frac{A D}{A B} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
$D E = \frac{2}{5} \cdot 12 = 4, 8$ cm; $A E = \frac{2}{5} \cdot 15 = 6$ cm; $C E = 15 - 6 = 9$ cm.

Ví dụ 2

Cho

A B = 6

cm,

A C = 8

cm,

B C = 10

cm và

D E = 9

cm,

D F = 12

cm,

E F = 15

cm. Chứng minh

△ A B C \sim △ D E F

và xác định tỉ số chu vi của hai tam giác.

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{A B}{D E} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , $\frac{A C}{D F} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ , $\frac{B C}{E F} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .
Ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ nên $△ A B C \sim △ D E F$ theo trường hợp cạnh–cạnh–cạnh.
Tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng $\frac{2}{3}$ . Có thể kiểm tra trực tiếp: chu vi lần lượt $24$ cm và $36$ cm.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Cho hai tam giác

A B C

và

M N P

có

\hat{A} = 42^{°}

\hat{B} = 63^{°}

\hat{M} = 42^{°}

\hat{N} = 63^{°}

. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tính hai góc còn lại.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Xét hai tam giác, có $\hat{A} = \hat{M} = 42^{°}$ và $\hat{B} = \hat{N} = 63^{°}$ .
Suy ra $△ A B C \sim △ M N P$ theo trường hợp góc–góc.
$\hat{C} = \hat{P} = 180^{°} - 42^{°} - 63^{°} = 75^{°}$ .

Bài 2Thông hiểu

Cho

A B = 4

cm,

A C = 6

cm,

D E = 6

cm,

D F = 9

cm và

\hat{A} = \hat{D} = 50^{°}

. Chứng minh

△ A B C \sim △ D E F

. Nếu

B C = t

cm, hãy biểu thị

E F

theo

t

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{A B}{D E} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ và $\frac{A C}{D F} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Hai góc $A, D$ bằng nhau và xen giữa các cặp cạnh trên, nên $△ A B C \sim △ D E F$ theo cạnh–góc–cạnh.
$\frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ , suy ra $E F = \frac{3}{2} t$ cm.

Bài 3Thông hiểu

Một tam giác có ba cạnh

3

cm,

4

cm,

5

cm; tam giác thứ hai có ba cạnh

6

cm,

8

cm,

11

cm. Hai tam giác có đồng dạng không? Giải thích.

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Nếu hai tam giác đồng dạng thì cạnh nhỏ nhất, cạnh ở giữa và cạnh lớn nhất phải tương ứng với nhau.
Ta có $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ nhưng $\frac{5}{11} \neq \frac{1}{2}$ . Ba cạnh không tỉ lệ.
Vì vậy hai tam giác không đồng dạng; hai tỉ số cạnh bằng nhau chưa đủ.

Bài 4Vận dụng

Trong tam giác

A B C

, điểm

D

nằm trên cạnh

A B

, điểm

E

nằm trên cạnh

A C

. Biết

A D = 3

cm,

D B = 2

cm,

A E = 4, 2

cm,

E C = 2, 8

cm và

B C = 8

cm. Chứng minh

D E ∥ B C

bằng cách xét hai tam giác đồng dạng; tính

D E

Tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC; đoạn DE được tô màu

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$A B = 3 + 2 = 5$ cm; $A C = 4, 2 + 2, 8 = 7$ cm. Do đó $\frac{A D}{A B} = \frac{3}{5} = \frac{A E}{A C}$ .
Góc $D A E$ là góc $B A C$ , nên $△ A D E \sim △ A B C$ theo cạnh–góc–cạnh.
Suy ra $\hat{A D E} = \hat{A B C}$ . Đây là hai góc đồng vị với cát tuyến $A B$ , nên $D E ∥ B C$ .
$D E = \frac{3}{5} \cdot B C = \frac{3}{5} \cdot 8 = 4, 8$ cm.

Bài 5Vận dụng

Hai đường thẳng

A D

và

B C

cắt nhau tại

O

, với

O

nằm giữa

A, D

và nằm giữa

B, C

. Biết

O A = 3

cm,

O D = 6

cm,

O B = 4

cm,

O C = 8

cm,

A B = 5

cm. Chứng minh

△ O A B \sim △ O D C

và tính

D C

Hai tam giác OAB và ODC có các góc tại O đối đỉnh

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{O A}{O D} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , $\frac{O B}{O C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
$\hat{A O B} = \hat{D O C}$ vì hai góc đối đỉnh; đây là các góc xen giữa các cạnh đã so sánh.
Suy ra $△ O A B \sim △ O D C$ theo cạnh–góc–cạnh. Vì $\frac{A B}{D C} = \frac{1}{2}$ nên $D C = 10$ cm.

Bài 6Vận dụng

Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 9

cm,

A C = 12

cm,

B C = 15

cm. Lấy

D \in A B

E \in A C

sao cho

A D = 6

cm,

A E = 8

cm. Chứng minh

△ A D E \sim △ A B C

, tính

D E

và diện tích hai tam giác.

Tam giác ABC vuông tại A, D thuộc AB và E thuộc AC

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{A D}{A B} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ và $\frac{A E}{A C} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ; góc $A$ chung. Suy ra $△ A D E \sim △ A B C$ theo cạnh–góc–cạnh.
$D E = \frac{2}{3} \cdot B C = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm.
Cả hai tam giác đều vuông tại $A$ , nên $S_{A D E} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ cm $^2$ và $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ cm $^2$ .
Kiểm tra: $\frac{S_{A D E}}{S_{A B C}} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^{2}$ .

↑ Danh mục chương IX

Bài 35

Định lí Pythagore và ứng dụng

Viết và vận dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.
Dùng định lí đảo để xác định một tam giác vuông.
Mô hình hóa một số bài toán độ dài thực tế bằng tam giác vuông.

Tam giác vuông tại A

Đọc lý thuyết đầy đủ

Định lí Pythagore: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Nếu $\hat{A} = 90^{°}$ thì $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .

Để tìm cạnh huyền, tính tổng hai bình phương rồi lấy căn bậc hai dương: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}}$ . Không cộng trực tiếp hai cạnh góc vuông.

Để tìm một cạnh góc vuông, lấy bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông đã biết, rồi lấy căn dương: $A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}}$ .

Định lí đảo: nếu bình phương một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó vuông; góc vuông đối diện cạnh được lấy bình phương riêng. Khi kiểm tra, chọn cạnh lớn nhất làm cạnh dự kiến là cạnh huyền.

Trong bài thực tế, cần chỉ rõ hai phương vuông góc, chẳng hạn tường thẳng đứng với mặt đất ngang hoặc hai cạnh liền kề của hình chữ nhật. Đổi về cùng đơn vị, lập công thức, tính toán rồi làm tròn ở bước cuối nếu đề yêu cầu.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , cạnh huyền là .
Nếu $△ A B C$ vuông tại $A$ thì $B C^{2} =$ .
Trong tam giác vuông có cạnh huyền $c$ và hai cạnh góc vuông $a, b$ , ta có $a^{2} =$ .
Nếu ba cạnh của một tam giác là $a \leq b < c$ và $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , tam giác đó .
Khi tính độ dài $x$ từ $x^{2} = 49$ , ta chọn .
Trước khi cộng các bình phương độ dài, cần đổi các độ dài về .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 9

cm và

A C = 12

cm. Tính

B C

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì tam giác vuông tại $A$ , cạnh $B C$ là cạnh huyền. Theo Pythagore, $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
$B C^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225$ . Vì $B C > 0$ , suy ra $B C = \sqrt{225} = 15$ cm.

Ví dụ 2

Một chiếc thang dài

6, 5

m tựa vào bức tường thẳng đứng. Chân thang cách chân tường

2, 5

m trên mặt đất ngang. Đầu thang cách mặt đất bao nhiêu mét?

Thang tựa tường; tường vuông góc mặt đất, thang là cạnh huyền

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tường và mặt đất vuông góc, nên thang là cạnh huyền của một tam giác vuông. Gọi độ cao cần tìm là $h > 0$ m.
$h^{2} + 2, 5^{2} = 6, 5^{2}$ , nên $h^{2} = 42, 25 - 6, 25 = 36$ .
Vậy $h = 6$ m.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 6

cm,

A C = 8

cm. Tính cạnh huyền và chu vi tam giác.

Tam giác vuông tại A

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ , nên $B C = 10$ cm.
Chu vi tam giác bằng $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Bài 2Cơ bản

Tam giác

M N P

vuông tại

M

có

N P = 17

cm,

M N = 8

cm. Tính

M P

và diện tích tam giác.

Tam giác MNP vuông tại M

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$N P$ là cạnh huyền, nên $M P^{2} = N P^{2} - M N^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$ .
$M P = 15$ cm. Diện tích là $S = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot M P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ cm $^2$ .

Bài 3Thông hiểu

Tam giác

A B C

có

A B = 7

cm,

A C = 24

cm,

B C = 25

cm. Chứng minh tam giác vuông và xác định góc vuông.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Cạnh lớn nhất là $B C = 25$ cm. Ta có $A B^{2} + A C^{2} = 7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625$ và $B C^{2} = 25^{2} = 625$ .
Vậy $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ . Theo định lí Pythagore đảo, tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , là đỉnh đối diện cạnh $B C$ .

Bài 4Thông hiểu

Tam giác có ba cạnh

6

cm,

8

cm và

11

cm có phải là tam giác vuông không? Giải thích bằng định lí Pythagore.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Nếu tam giác vuông thì cạnh lớn nhất $11$ cm phải là cạnh huyền.
Nhưng $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 \neq 121 = 11^{2}$ . Điều kiện Pythagore không thỏa mãn, nên tam giác không vuông.

Bài 5Vận dụng

Một tấm bảng hình chữ nhật dài

12

dm, rộng

5

dm. Người thợ lắp một thanh giằng nối hai đỉnh đối diện. Tính độ dài thanh giằng và diện tích tấm bảng.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Đường chéo chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài $12$ dm và $5$ dm.
Gọi chiều dài thanh giằng là $d > 0$ . Ta có $d^{2} = 12^{2} + 5^{2} = 169$ , nên $d = 13$ dm.
Diện tích tấm bảng là $12 \cdot 5 = 60$ dm $^2$ .

Bài 6Vận dụng

Hai đoạn đường

A B

và

B C

vuông góc tại

B

, có độ dài lần lượt

90

m và

120

m. Một lối đi mới nối thẳng

A

với

C

. Tính chiều dài lối đi mới và số mét được rút ngắn so với đi theo

A \to B \to C

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tam giác $A B C$ vuông tại $B$ , nên $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 90^{2} + 120^{2} = 22500$ .
$A C = 150$ m. Quãng đường cũ dài $90 + 120 = 210$ m.
Lối đi mới rút ngắn $210 - 150 = 60$ m.

↑ Danh mục chương IX

Bài 36

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Nhận biết các điều kiện đủ để hai tam giác vuông đồng dạng.
Chứng minh các hệ thức độ dài bằng tam giác vuông đồng dạng.
Vận dụng đồng dạng để đo chiều cao và tính toán với đường cao trong tam giác vuông.

Tam giác ABC vuông tại A; AH là đường cao hạ xuống cạnh huyền BC

Đọc lý thuyết đầy đủ

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia. Khi ghi thứ tự đỉnh, ghép đỉnh góc vuông với đỉnh góc vuông trước.

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ. Đây là trường hợp cạnh–góc–cạnh vì hai góc xen giữa đều bằng $90^{°}$ .

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác kia. Cần so sánh cạnh huyền với cạnh huyền, cạnh góc vuông với cạnh góc vuông.

Với tam giác $A B C$ vuông tại $A$ và đường cao $A H$ , hai tam giác $A B H$ và $C B A$ đồng dạng do góc $B$ chung và hai góc vuông bằng nhau. Từ đó $\frac{A B}{C B} = \frac{B H}{B A} = \frac{A H}{C A}$ , suy ra $A B^{2} = B H \cdot B C$ và $A H \cdot B C = A B \cdot A C$ . Các hệ thức phải được giải thích qua cặp tam giác phù hợp.

Các đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng có cùng tỉ số $k$ với các cạnh tương ứng. Vì diện tích tam giác bằng nửa tích đáy và chiều cao, tỉ số diện tích bằng $k^{2}$ .

Đo chiều cao bằng bóng nắng cần hai vật thẳng đứng, mặt đất ngang và đo cùng thời điểm. Khi đó hai tam giác tạo bởi vật, bóng và tia nắng là tam giác vuông đồng dạng, nên tỉ số chiều cao bằng tỉ số chiều dài bóng.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn tương ứng bằng nhau thì .
Hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ. Sử dụng hai cặp cạnh đó và cặp góc vuông, ta áp dụng trực tiếp trường hợp .
Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ thì .
Khi ghép cạnh tương ứng trong hai tam giác vuông đồng dạng, cạnh huyền tương ứng với .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , $H \in B C$ và $A H ⊥ B C$ , cặp góc vuông của $△ A B H$ và $△ C B A$ là .
Nếu $△ A B C \sim △ D E F$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số diện tích $\frac{S_{A B C}}{S_{D E F}}$ bằng .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 6

cm,

A C = 8

cm; tam giác

D E F

vuông tại

D

có

D E = 9

cm,

D F = 12

cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tính hai cạnh huyền.

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{A B}{D E} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{8}{12} = \frac{A C}{D F}$ . Hai góc $A, D$ đều vuông.
Vậy $△ A B C \sim △ D E F$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ.
$B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ cm; $E F = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = 15$ cm. Kiểm tra: $\frac{B C}{E F} = \frac{2}{3}$ .

Ví dụ 2

Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

, có

A B = 9

cm,

A C = 12

cm,

B C = 15

cm; đường cao

A H

. Chứng minh

△ A B H \sim △ C B A

, rồi tính

B H

H C

A H

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Xét $△ A B H$ và $△ C B A$ : $\hat{A H B} = \hat{C A B} = 90^{°}$ ; góc $A B H$ bằng góc $C B A$ vì $B, H, C$ thẳng hàng.
Suy ra $△ A B H \sim △ C B A$ . Do đó $\frac{A B}{C B} = \frac{B H}{B A} = \frac{A H}{C A}$ .
$B H = \frac{A B^{2}}{B C} = \frac{81}{15} = 5, 4$ cm; $H C = 15 - 5, 4 = 9, 6$ cm.
$A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7, 2$ cm.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Tam giác

A B C

vuông tại

A

, tam giác

M N P

vuông tại

M

; biết

\hat{B} = \hat{N} = 35^{°}

A B = 4

cm,

M N = 10

cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của

A B C

với

M N P

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\hat{A} = \hat{M} = 90^{°}$ và $\hat{B} = \hat{N} = 35^{°}$ .
Do đó $△ A B C \sim △ M N P$ theo góc–góc. Tỉ số đồng dạng là $\frac{A B}{M N} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Bài 2Thông hiểu

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 5

cm,

B C = 13

cm; tam giác

D E F

vuông tại

D

có

D E = 10

cm,

E F = 26

cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng, rồi tính

A C

D F

Hai tam giác với các đỉnh tương ứng

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$B C, E F$ là hai cạnh huyền; $A B, D E$ là hai cạnh góc vuông. Có $\frac{B C}{E F} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{A B}{D E}$ .
Suy ra $△ A B C \sim △ D E F$ theo cạnh huyền–cạnh góc vuông.
$A C = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144} = 12$ cm; $D F = 2 A C = 24$ cm.

Bài 3Thông hiểu

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 7

cm,

A C = 24

cm; tam giác

M N P

vuông tại

M

có

M N = 14

cm,

M P = 48

cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tính cạnh huyền, chu vi của mỗi tam giác.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{A B}{M N} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = \frac{24}{48} = \frac{A C}{M P}$ ; hai góc xen giữa đều vuông. Vậy $△ A B C \sim △ M N P$ .
$B C = \sqrt{7^{2} + 24^{2}} = 25$ cm; $N P = 2 B C = 50$ cm.
Chu vi $A B C$ là $7 + 24 + 25 = 56$ cm; chu vi $M N P$ là $14 + 48 + 50 = 112$ cm.

Bài 4Vận dụng

Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

A B = 6

cm,

A C = 8

cm;

A H

là đường cao. Dùng tam giác đồng dạng để tính

B H

H C

A H

Tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Theo Pythagore, $B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ cm.
$△ A B H \sim △ C B A$ vì cùng góc $B$ và có hai góc vuông bằng nhau. Suy ra $\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B} = \frac{A H}{A C}$ .
$B H = \frac{6^{2}}{10} = 3, 6$ cm; $H C = 10 - 3, 6 = 6, 4$ cm; $A H = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ cm.

Bài 5Vận dụng

Tam giác

A B C

vuông tại

A

có đường cao

A H

B H = 4

cm và

H C = 9

cm. Chứng minh

△ A B H \sim △ C A H

, rồi tính

A H

A B

A C

Tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc BC tại H

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hai tam giác $A B H$ , $C A H$ đều vuông tại $H$ . Trong tam giác $A B C$ , $\hat{C} = 90^{°} - \hat{B}$ ; trong tam giác $A B H$ , $\hat{B A H} = 90^{°} - \hat{B}$ . Vì thế $\hat{B A H} = \hat{A C H}$ .
Suy ra $△ A B H \sim △ C A H$ theo góc–góc. Các cạnh tương ứng cho $\frac{B H}{A H} = \frac{A H}{C H}$ , nên $A H^{2} = B H \cdot C H = 4 \cdot 9 = 36$ . Vậy $A H = 6$ cm.
Trong tam giác vuông $A B H$ , $A B = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ cm.
Trong tam giác vuông $A C H$ , $A C = \sqrt{9^{2} + 6^{2}} = \sqrt{117} = 3 \sqrt{13}$ cm.

Bài 6Vận dụng

Một cọc thẳng đứng cao

1, 5

m có bóng dài

0, 9

m. Cùng thời điểm, một cây thẳng đứng trên cùng mặt đất ngang có bóng dài

4, 8

m. Giả sử các tia nắng song song, hãy giải thích cách dùng đồng dạng và tính chiều cao cây.

Cọc và cây thẳng đứng, bóng nằm trên mặt đất ngang; các tia nắng song song

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Mỗi vật thẳng đứng với bóng của nó tạo một tam giác vuông. Hai góc giữa tia nắng và mặt đất bằng nhau do các tia nắng song song và mặt đất ngang.
Hai tam giác vuông đồng dạng theo góc–góc, nên tỉ số chiều cao bằng tỉ số độ dài bóng: $\frac{h}{1, 5} = \frac{4, 8}{0, 9}$ .
$h = 1, 5 \cdot \frac{4, 8}{0, 9} = 8$ m. Cây cao $8$ m.

↑ Danh mục chương IX

Bài 37

Hình đồng dạng

Nhận biết hình đồng dạng và hình đồng dạng phối cảnh.
Xác định tâm phối cảnh và tỉ số phóng to, thu nhỏ trong các hình đơn giản.
Vận dụng tỉ lệ kích thước khi in ảnh, đọc bản đồ và bố trí hình trong khung.

Hai tam giác đồng dạng phối cảnh tâm O, tỉ số phóng to bằng 2

Đọc lý thuyết đầy đủ

Một hình đồng dạng với hình khác nếu nó bằng hình đó hoặc bằng một hình phóng to hay thu nhỏ đồng đều của hình đó. Các hình đồng dạng có cùng hình dạng; kích thước và vị trí có thể khác nhau.

Với tâm $O$ và tỉ số dương $k$ , lấy mỗi điểm $X \neq O$ của hình thành điểm $X^{'}$ trên tia $O X$ sao cho $O X^{'} = k O X$ . Hình tạo thành là hình phóng to hoặc thu nhỏ theo tâm $O$ ; cặp hình này đồng dạng phối cảnh. Nếu hình có điểm $O$ thì điểm đó được giữ nguyên.

Khi $k > 1$ , ta phóng to; khi $0 < k < 1$ , ta thu nhỏ. Các đoạn thẳng tương ứng có độ dài tỉ lệ $k$ . Các đường thẳng nối những điểm tương ứng đi qua tâm phối cảnh.

Hai hình vuông bất kì, hai hình tròn bất kì hoặc hai tam giác đều bất kì đều đồng dạng. Hai hình chữ nhật chỉ đồng dạng khi có cùng tỉ lệ chiều dài với chiều rộng, sau khi ghép đúng các cạnh tương ứng.

Hai hình đồng dạng không nhất thiết đồng dạng phối cảnh ở vị trí đang đặt. Khi kiểm tra phối cảnh cần xem cả cách bố trí và các đường nối điểm tương ứng, không chỉ so sánh kích thước.

Khi phóng to hoặc thu nhỏ một hình chữ nhật hay tam giác với tỉ số độ dài $k$ , chu vi được nhân với $k$ và diện tích được nhân với $k^{2}$ . Khi dùng tỉ lệ bản đồ, các độ dài phải quy về cùng đơn vị trước khi lập tỉ số.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Một hình bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ đồng đều của hình kia thì hai hình đó .
Phóng to theo tỉ số $k$ ứng với .
Thu nhỏ theo tỉ số $k$ ứng với .
Trong hai hình đồng dạng phối cảnh, các đường thẳng nối những điểm tương ứng cùng đi qua .
Hai hình chữ nhật đồng dạng khi các cạnh dài và các cạnh rộng tương ứng .
Hai hình đồng dạng được đặt ở những vị trí tùy ý thì có cùng một tâm phối cảnh.

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một ảnh hình chữ nhật rộng

12

cm, cao

8

cm được phóng to đồng đều thành ảnh rộng

18

cm. Tính tỉ số phóng to, chiều cao và diện tích ảnh mới.

Các hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng ghi trên hình

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tỉ số phóng to là $k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .
Chiều cao mới bằng $8 \cdot \frac{3}{2} = 12$ cm.
Diện tích ảnh mới là $18 \cdot 12 = 216$ cm $^2$ . So với diện tích cũ $12 \cdot 8 = 96$ cm $^2$ , tỉ số diện tích là $\frac{216}{96} = \frac{9}{4} = k^{2}$ .

Ví dụ 2

Cho tam giác

A B C

và một điểm

O

nằm ngoài tam giác, không thuộc các đường thẳng chứa cạnh. Trên các tia

O A

O B

O C

, lấy

A^{'}

B^{'}

C^{'}

sao cho

O A^{'} = 2 O A

O B^{'} = 2 O B

O C^{'} = 2 O C

. Giải thích vì sao hai tam giác đồng dạng phối cảnh; chứng minh

A^{'} B^{'} ∥ A B

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Ba cặp điểm tương ứng cùng nằm trên các tia xuất phát từ $O$ và có cùng tỉ số khoảng cách tới $O$ bằng $2$ . Vì vậy tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ là hình phóng to của $A B C$ theo tâm $O$ , tỉ số $2$ .
Trong tam giác $O A^{'} B^{'}$ , có $A \in O A^{'}$ , $B \in O B^{'}$ và $\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{O B}{O B^{'}} = \frac{1}{2}$ .
Theo định lí Thalès đảo, $A B ∥ A^{'} B^{'}$ . Hai tam giác đã cho là hai hình đồng dạng phối cảnh tâm $O$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Xét ba hình chữ nhật có kích thước lần lượt

6 \times 4

cm,

9 \times 6

cm và

10 \times 6

cm. Hình thứ nhất đồng dạng với hình nào? Tính tỉ số phóng to từ hình thứ nhất sang hình đồng dạng đó.

Các hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng ghi trên hình

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Với hình thứ hai, $\frac{9}{6} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ , nên hai chiều đều được nhân cùng tỉ số; hình thứ nhất đồng dạng với hình thứ hai.
Với hình thứ ba, $\frac{10}{6} = \frac{5}{3} \neq \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ , nên hình thứ nhất không đồng dạng với hình thứ ba.
Tỉ số phóng to cần tìm là $\frac{3}{2}$ .

Bài 2Cơ bản

Hai hình vuông có cạnh

3, 5

cm và

14

cm. Tính tỉ số đồng dạng của hình lớn với hình nhỏ, tỉ số chu vi và tỉ số diện tích.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$k = \frac{14}{3, 5} = 4$ . Hai hình vuông luôn đồng dạng.
Chu vi lần lượt là $14$ cm và $56$ cm, nên tỉ số chu vi lớn với nhỏ bằng $4$ .
Diện tích lần lượt là $12, 25$ cm $^2$ và $196$ cm $^2$ ; tỉ số diện tích là $16 = 4^{2}$ .

Bài 3Thông hiểu

Một áp phích rộng

60

cm, cao

90

cm được thu nhỏ đồng đều để có chiều cao

27

cm. Tính chiều rộng, diện tích bản thu nhỏ và tỉ số diện tích so với bản gốc.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tỉ số thu nhỏ là $k = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$ .
Chiều rộng mới là $60 \cdot \frac{3}{10} = 18$ cm. Diện tích bản mới bằng $18 \cdot 27 = 486$ cm $^2$ .
Tỉ số diện tích mới với cũ bằng $k^{2} = \frac{9}{100}$ ; có thể kiểm tra bằng $\frac{486}{60 \cdot 90} = \frac{9}{100}$ .

Bài 4Vận dụng

Một bản đồ có tỉ lệ

1 : 25000

. Đoạn đường trên bản đồ dài

7, 2

cm ứng với bao nhiêu kilômét ngoài thực tế? Ngược lại, đoạn đường thực dài

3

km được vẽ dài bao nhiêu centimét?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tỉ lệ $1 : 25000$ nghĩa là độ dài thực bằng độ dài trên bản đồ nhân $25000$ , khi dùng cùng đơn vị.
$7, 2 \cdot 25000 = 180000$ cm $= 1800$ m $= 1, 8$ km.
$3$ km $= 300000$ cm. Độ dài trên bản đồ là $300000 : 25000 = 12$ cm.

Bài 5Vận dụng

Cho tam giác

O A B

có

O A = 4

cm,

O B = 6

cm,

A B = 3

cm. Trên các tia

O A

O B

, lấy

A^{'}

B^{'}

sao cho

O A^{'} = 10

cm,

O B^{'} = 15

cm. Chứng minh

A^{'} B^{'} ∥ A B

, xác định tỉ số phóng to tâm

O

và tính

A^{'} B^{'}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$\frac{O A}{O A^{'}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15} = \frac{O B}{O B^{'}}$ . Trong tam giác $O A^{'} B^{'}$ , áp dụng Thalès đảo được $A B ∥ A^{'} B^{'}$ .
Tỉ số phóng to từ $O A B$ sang $O A^{'} B^{'}$ là $k = \frac{O A^{'}}{O A} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ .
$A^{'} B^{'} = k A B = \frac{5}{2} \cdot 3 = 7, 5$ cm.

Bài 6Vận dụng

Một ảnh rộng

10

cm, cao

6

cm cần phóng to đồng đều để đặt trọn trong khung rộng

21

cm, cao

15

cm. Không cắt ảnh và không kéo méo. Tìm kích thước ảnh lớn nhất; nếu đặt ảnh giữa khung thì khoảng trống phía trên và dưới bằng bao nhiêu?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi tỉ số phóng to là $k > 0$ . Để ảnh nằm trọn trong khung, chiều rộng không vượt $21$ cm và chiều cao không vượt $15$ cm.
Nếu dùng hết chiều rộng thì $k = \frac{21}{10} = 2, 1$ , chiều cao bằng $6 \cdot 2, 1 = 12, 6$ cm, vẫn nhỏ hơn $15$ cm. Vì chiều rộng đã đạt tối đa, không thể tăng $k$ thêm.
Kích thước ảnh lớn nhất là $21 \times 12, 6$ cm. Phần chiều cao còn trống là $15 - 12, 6 = 2, 4$ cm.
Đặt giữa khung thì khoảng trống phía trên và dưới đều bằng $2, 4 : 2 = 1, 2$ cm.

↑ Danh mục chương IX

Toán 8 HKII theo mẫu VSTAR – Chương IX: Tam giác đồng dạng

Sơ đồ kiến thức của chương

Hai tam giác đồng dạng

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Thông hiểu

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Vận dụng

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Định lí Pythagore và ứng dụng

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Thông hiểu

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Vận dụng

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Hình đồng dạng

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Vận dụng

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài