Phân thức đại số

Sơ đồ kiến thức của chương

Phân thức đại số

Nhận biết phân thức

Tử, mẫu là đa thức; mẫu khác đa thức 0.

Điều kiện xác định

Mẫu khác 0; phân thức chia cũng phải khác 0.

Biến đổi

Phân tích nhân tử, rút gọn, giữ điều kiện ban đầu.

Tính toán

Cộng/trừ: quy đồng. Nhân/chia: nhân tử và nghịch đảo.

Bài 21

Nhận biết phân thức, tử thức, mẫu thức và điều kiện xác định.
Tính giá trị của phân thức; kiểm tra hai phân thức bằng nhau trên miền xác định chung.
Viết được phân thức biểu thị đại lượng trong một tình huống thực tế.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó $A$ , $B$ là các đa thức và $B$ khác đa thức không. $A$ gọi là tử thức, $B$ gọi là mẫu thức. Ví dụ, $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 1}$ có tử thức $2 x + 3$ và mẫu thức $x^{2} + 1$ .

Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức có mẫu thức bằng $1$ : $P = \frac{P}{1}$ . Đặc biệt, các số thực đều là những phân thức. Biểu thức có mẫu là đa thức không, chẳng hạn $\frac{x + 1}{x - x}$ , không phải một phân thức đại số hợp lệ.

Điều kiện xác định của một phân thức là điều kiện để mẫu thức nhận giá trị khác $0$ . Chẳng hạn, $\frac{2}{x - 3}$ có điều kiện $x \neq 3$ ; $\frac{1}{x^{2} - 4}$ có điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq - 2$ . Với $\frac{1}{x^{2} + 1}$ , mọi số thực $x$ đều thỏa mãn vì $x^{2} + 1 > 0$ .

Muốn tính giá trị của phân thức tại một giá trị của biến, trước hết kiểm tra điều kiện xác định, sau đó thay giá trị ấy vào cả tử và mẫu rồi tính. Nếu mẫu bằng $0$ , kết luận phân thức không xác định tại giá trị đã cho. Tử bằng $0$ và mẫu khác $0$ thì giá trị phân thức bằng $0$ .

Trên miền xác định chung, hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu $A D = B C$ . Khi chứng minh hai phân thức bằng nhau, có thể khai triển hoặc phân tích nhân tử hai tích chéo để nhận được cùng một đa thức. Các điều kiện của cả hai mẫu phải được giữ lại.

Phân thức thường biểu thị đại lượng thực tế: thời gian bằng quãng đường chia vận tốc, chiều rộng bằng diện tích chia chiều dài. Ngoài điều kiện mẫu khác $0$ , cần thêm điều kiện của tình huống, chẳng hạn vận tốc và độ dài phải dương.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Phân thức đại số có dạng , trong đó tử và mẫu đều là đa thức, mẫu khác đa thức không.
Trong phân thức $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ , mẫu thức là .
Mỗi đa thức $P$ có thể viết thành phân thức .
Giá trị của phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi giá trị của $B$ .
Trên miền xác định chung, $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ khi .
Phân thức $\frac{x + 1}{x - 4}$ xác định với .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1Thông hiểu

Cho

F = \frac{2 x + 1}{x - 3}

. Tìm điều kiện xác định và tính

F

tại

x = 1

x = - 1

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Mẫu khác $0$ : $x - 3 \neq 0$ , nên điều kiện xác định là $x \neq 3$ .
Cả $1$ và $- 1$ đều thỏa điều kiện.
Tại $x = 1$ : $F = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1 - 3} = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2}$ .
Tại $x = - 1$ : $F = \frac{2 \cdot (- 1) + 1}{- 1 - 3} = \frac{- 1}{- 4} = \frac{1}{4}$ .

Ví dụ 2Thông hiểu

Chứng minh

\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x^{2} - 1}{(x - 2) (x - 1)}

trên miền xác định chung.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hai phân thức cùng xác định khi $x \neq 2$ và $x \neq 1$ .
Tích chéo thứ nhất là $(x + 1) (x - 2) (x - 1)$ .
Vì $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ , tích trên bằng $(x^{2} - 1) (x - 2)$ , chính là tích chéo thứ hai.
Vậy hai phân thức bằng nhau với $x \neq 1,2$ . Không dùng đẳng thức này để gán giá trị cho phân thức thứ hai tại $x = 1$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức đại số? Nêu một tử thức và mẫu thức tương ứng: a)

3 x^{2} - 2

; b)

\frac{x + 1}{x^{2} + 1}

; c)

\frac{2 x - 1}{x - x}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Là phân thức vì $3 x^{2} - 2 = \frac{3 x^{2} - 2}{1}$ ; tử $3 x^{2} - 2$ , mẫu $1$ .
b) Là phân thức; tử $x + 1$ , mẫu $x^{2} + 1$ . Mẫu không phải đa thức không.
c) Không phải phân thức đại số hợp lệ vì mẫu $x - x$ là đa thức không.

Bài 2Cơ bản

Tìm điều kiện xác định: a)

\frac{3 x - 2}{2 x + 6}

; b)

\frac{x + 5}{x^{2} - 16}

; c)

\frac{7}{x^{2} + 4}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) $2 x + 6 = 2 (x + 3)$ , nên điều kiện là $x \neq - 3$ .
b) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ , nên điều kiện là $x \neq 4$ và $x \neq - 4$ .
c) Vì $x^{2} \geq 0$ , ta có $x^{2} + 4 \geq 4 > 0$ . Phân thức xác định với mọi số thực $x$ .

Bài 3Thông hiểu

Cho

P = \frac{x^{2} - 4}{x + 1}

. Tính giá trị của

P

tại

x = 2

x = - 2

x = 0

; giải thích vì sao không tính được

P

tại

x = - 1

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện xác định: $x \neq - 1$ .
Tại $x = 2$ : $P = \frac{4 - 4}{3} = 0$ . Tại $x = - 2$ : $P = \frac{4 - 4}{- 1} = 0$ .
Tại $x = 0$ : $P = \frac{- 4}{1} = - 4$ .
Tại $x = - 1$ , mẫu $x + 1 = 0$ , nên phân thức không xác định.

Bài 4Thông hiểu

Bạn Minh nói: a)

\frac{x^{2} + 3 x}{x + 3} = x

với

x \neq - 3

; b)

\frac{x + 2}{x + 1} = 2

với mọi

x \neq - 1

. Nhận xét từng phát biểu; chứng minh hoặc nêu một giá trị bác bỏ.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Đúng. So sánh với $\frac{x}{1}$ , ta có tích chéo $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ .
Đẳng thức a) chỉ được khẳng định khi $x \neq - 3$ để mẫu của phân thức ban đầu khác $0$ .
b) Sai. Chọn $x = 1$ , thỏa $x \neq - 1$ , thì $\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{3}{2} \neq 2$ .

Bài 5Vận dụng

Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích

2 x^{2} + 5 x + 2

cm² và một cạnh dài

2 x + 1

cm, với

x > 0

. a) Viết phân thức biểu thị cạnh còn lại. b) Tính hai cạnh khi

x = 2

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Cạnh còn lại bằng diện tích chia cho cạnh đã biết: $b = \frac{2 x^{2} + 5 x + 2}{2 x + 1}$ cm.
Với $x > 0$ , mẫu $2 x + 1 > 0$ , nên biểu thức có nghĩa và các độ dài đều dương.
b) Khi $x = 2$ , cạnh đã biết là $2 \cdot 2 + 1 = 5$ cm; diện tích là $2 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 2 = 20$ cm².
Cạnh còn lại là $20 : 5 = 4$ cm. Hai cạnh dài $5$ cm và $4$ cm.

Bài 6Vận dụng

Một ô tô đi quãng đường

120

km. Vận tốc dự kiến là

v

km/h, vận tốc thực tế lớn hơn dự kiến

10

km/h, với

v > 0

. a) Viết thời gian dự kiến và thực tế dưới dạng phân thức. b) Khi

v = 30

, ô tô tiết kiệm được bao nhiêu thời gian?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Thời gian dự kiến $t_{1} = \frac{120}{v}$ giờ; thời gian thực tế $t_{2} = \frac{120}{v + 10}$ giờ.
Điều kiện thực tế $v > 0$ bảo đảm cả hai vận tốc và các mẫu đều dương.
b) Với $v = 30$ , $t_{1} = \frac{120}{30} = 4$ giờ và $t_{2} = \frac{120}{40} = 3$ giờ.
Thời gian tiết kiệm là $4 - 3 = 1$ giờ.

↑ Danh mục chương VI

Bài 22

Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Sử dụng tính chất cơ bản để biến đổi và rút gọn phân thức.
Quy đồng mẫu thức, đổi dấu đúng và giữ điều kiện của biểu thức ban đầu.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức có giá trị khác $0$ , ta được phân thức bằng phân thức đã cho: $\frac{A}{B} = \frac{A M}{B M}$ . Phép biến đổi được dùng tại những giá trị của biến khiến các mẫu và nhân tử nhân thêm khác $0$ .

Nếu tử và mẫu có nhân tử chung $N$ , viết $A = N A_{1}$ , $B = N B_{1}$ , thì $\frac{A}{B} = \frac{A_{1}}{B_{1}}$ trên miền xác định ban đầu. Rút gọn phân thức gồm: phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân tử chung, chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung ấy.

Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ và $\frac{- A}{B} = \frac{A}{- B} = - \frac{A}{B}$ . Đặc biệt, $1 - x = - (x - 1)$ . Đổi dấu một phía làm phân thức đổi dấu; đổi dấu cả hai phía giữ nguyên giá trị.

Quy đồng mẫu thức là biến đổi các phân thức về những phân thức bằng chúng và có cùng mẫu. Trước hết phân tích các mẫu thành nhân tử; chọn mẫu chung chứa đủ các nhân tử, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất cần có. Với hệ số nguyên, thường chọn bội chung nhỏ nhất dương của các hệ số.

Sau khi chọn mẫu chung, tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức bằng cách chia mẫu chung cho mẫu riêng. Nhân cả tử và mẫu của phân thức đó với nhân tử phụ. Ví dụ, với $x \neq 0,1$ : $\frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x (x - 1)}$ và $\frac{1}{x - 1} = \frac{x}{x (x - 1)}$ .

Mọi kết quả rút gọn hoặc quy đồng đều đi kèm điều kiện xác định của các phân thức ban đầu. Ví dụ, $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ chỉ được dùng khi $x \neq 1$ . Không được lấy biểu thức $x + 1$ để tính giá trị phân thức ban đầu tại $x = 1$ .

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Khi nhân cả tử và mẫu của $\frac{A}{B}$ với cùng một đa thức $M$ có giá trị khác $0$ , được phân thức .
Nếu $A = N A_{1}$ , $B = N B_{1}$ và $B \neq 0$ , thì $\frac{A}{B}$ rút gọn thành .
Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì giá trị phân thức .
Muốn rút gọn phân thức, chỉ được triệt tiêu của cả tử và mẫu.
Khi quy đồng $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{x - 1}$ , với $x \neq 0,1$ , có thể chọn mẫu chung là .
Sau khi rút gọn phân thức, phải giữ .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1Thông hiểu

Rút gọn

R = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 3 x}

, nêu điều kiện xác định và tính

R

tại

x = 6

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Phân tích mẫu: $x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ . Điều kiện xác định là $x \neq 0$ và $x \neq - 3$ .
Phân tích tử: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Vì $x + 3 \neq 0$ , $R = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x (x + 3)} = \frac{x - 3}{x}$ , với $x \neq 0, - 3$ .
Tại $x = 6$ , $R = \frac{6 - 3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2Thông hiểu

Quy đồng mẫu thức của

A = \frac{2}{x (x - 1)}

và

B = \frac{3}{2 x (x + 1)}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các phân thức cùng xác định khi $x \neq 0$ , $x \neq 1$ và $x \neq - 1$ .
Chọn mẫu chung $2 x (x - 1) (x + 1)$ .
Nhân tử phụ của $A$ là $2 (x + 1)$ , nên $A = \frac{4 (x + 1)}{2 x (x - 1) (x + 1)}$ .
Nhân tử phụ của $B$ là $x - 1$ , nên $B = \frac{3 (x - 1)}{2 x (x - 1) (x + 1)}$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Điền biểu thức thích hợp và nêu điều kiện: a)

\frac{2 x}{x - 1} = \frac{\dots}{3 (x - 1)}

; b)

\frac{x + 2}{x^{2} - 4} = \frac{1}{\dots}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Nhân cả tử và mẫu với $3$ : $\frac{2 x}{x - 1} = \frac{6 x}{3 (x - 1)}$ , điều kiện $x \neq 1$ . Chỗ trống là $6 x$ .
b) $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , nên điều kiện ban đầu là $x \neq 2, - 2$ .
Rút gọn nhân tử $x + 2$ : $\frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{1}{x - 2}$ . Chỗ trống là $x - 2$ , vẫn giữ $x \neq 2, - 2$ .

Bài 2Cơ bản

Rút gọn và giữ điều kiện ban đầu: a)

\frac{6 x^{2} y}{9 x y^{2}}

; b)

\frac{5 x^{2} - 10 x}{15 x}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Điều kiện: $x \neq 0$ , $y \neq 0$ . Chia tử và mẫu cho $3 x y$ được $\frac{6 x^{2} y}{9 x y^{2}} = \frac{2 x}{3 y}$ .
b) Điều kiện: $x \neq 0$ . Phân tích tử $5 x^{2} - 10 x = 5 x (x - 2)$ .
Do đó $\frac{5 x (x - 2)}{15 x} = \frac{x - 2}{3}$ , với $x \neq 0$ .

Bài 3Thông hiểu

Cho

R = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4}

. a) Rút gọn. b) Tính

R

tại

x = 4

. c) Có được dùng kết quả rút gọn để tính

R

tại

x = 2

không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện ban đầu: $x \neq 2$ và $x \neq - 2$ .
a) $R = \frac{(x - 2)^{2}}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}$ , với $x \neq 2, - 2$ .
b) Tại $x = 4$ : $R = \frac{4 - 2}{4 + 2} = \frac{1}{3}$ .
c) Không. Khi $x = 2$ , mẫu ban đầu bằng $0$ ; phân thức ban đầu không xác định.

Bài 4Thông hiểu

Đổi dấu rồi rút gọn: a)

\frac{x^{2} - 1}{1 - x}

; b)

\frac{2 x - 4}{4 - x^{2}}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Điều kiện: $x \neq 1$ . Vì $1 - x = - (x - 1)$ , ta có $\frac{x^{2} - 1}{1 - x} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{- (x - 1)} = - (x + 1)$ .
b) Điều kiện: $x \neq 2, - 2$ . Ta có $2 x - 4 = 2 (x - 2)$ và $4 - x^{2} = - (x - 2) (x + 2)$ .
Vậy $\frac{2 x - 4}{4 - x^{2}} = - \frac{2}{x + 2}$ , với $x \neq 2, - 2$ .

Bài 5Vận dụng

Quy đồng ba phân thức

\frac{3}{x - 2}

\frac{x + 1}{x^{2} - 4}

và

\frac{2}{x + 2}

; chọn mẫu chung gọn nhất.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện chung: $x \neq 2, - 2$ . Phân tích $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
Chọn mẫu chung $x^{2} - 4$ .
Ta có $\frac{3}{x - 2} = \frac{3 (x + 2)}{x^{2} - 4}$ ; phân thức $\frac{x + 1}{x^{2} - 4}$ đã có mẫu chung.
Phân thức còn lại là $\frac{2}{x + 2} = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4}$ .

Bài 6Vận dụng

Một bạn rút gọn

\frac{x^{2} + 4}{x + 2}

thành

x + 2

bằng cách chia riêng

x^{2}

cho

x

và

4

cho

2

. a) Giải thích sai lầm. b) Dùng

x = 1

kiểm tra. c) Tử và mẫu có nhân tử chung

x + 2

không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Không được chia riêng các số hạng của tử cho các số hạng của mẫu. Tính chất rút gọn chỉ áp dụng cho nhân tử chung.
b) Với $x = 1$ , phân thức ban đầu bằng $\frac{1 + 4}{1 + 2} = \frac{5}{3}$ , còn $x + 2 = 3$ . Hai giá trị khác nhau.
c) Không có nhân tử chung $x + 2$ . Thật vậy, $x^{2} + 4 = (x + 2) (x - 2) + 8$ , nên tử không chia hết cho $x + 2$ .
Điều kiện xác định của phân thức ban đầu là $x \neq - 2$ .

↑ Danh mục chương VI

Bài 23

Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Cộng, trừ đúng các phân thức cùng mẫu và khác mẫu.
Quy đồng, xử lí dấu ngoặc, rút gọn và tính giá trị biểu thức.
Lập biểu thức hiệu hai đại lượng thực tế.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Với các phân thức cùng mẫu $M \neq 0$ , ta có $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$ . Cộng tử thức rồi giữ nguyên mẫu. Sau đó thu gọn tử thức và phân tích nhân tử nếu cần rút gọn.

Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ là $- \frac{A}{B}$ , cũng có thể viết $\frac{- A}{B}$ hoặc $\frac{A}{- B}$ . Tổng một phân thức với phân thức đối của nó bằng $0$ tại mọi giá trị thỏa điều kiện xác định.

Muốn trừ một phân thức, cộng phân thức bị trừ với phân thức đối của phân thức trừ: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$ . Với cùng mẫu, $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ . Nếu $B$ có nhiều số hạng, phải đặt $B$ trong ngoặc.

Với các phân thức khác mẫu: tìm điều kiện xác định; phân tích các mẫu thành nhân tử; chọn mẫu chung; nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ; cộng hoặc trừ các tử; thu gọn và rút gọn. Điều kiện của mọi mẫu ban đầu phải được giữ lại.

Khi hai mẫu đối nhau, đổi dấu để đưa về cùng mẫu trước. Chẳng hạn, với $x \neq 1$ , $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} = - \frac{1}{x - 1}$ .

Phép cộng phân thức có tính giao hoán và kết hợp trên miền xác định chung. Có thể nhóm các phân thức để tính thuận tiện, nhưng phép trừ không có tính giao hoán. Khi có dấu trừ trước ngoặc, phải đổi dấu mọi số hạng trong ngoặc.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} =$ .
Phân thức đối của $\frac{A}{B}$ là .
Trừ một phân thức là cộng với của phân thức ấy.
Trước khi cộng hai phân thức khác mẫu, cần .
Với $x \neq 2$ , $\frac{1}{2 - x} =$ .
Khi trừ tử thức $B + C$ , phải đổi thành .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1Thông hiểu

Tính

A = \frac{3 x + 1}{x - 2} - \frac{x + 5}{x - 2}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 2$ .
Hai phân thức cùng mẫu nên $A = \frac{(3 x + 1) - (x + 5)}{x - 2}$ .
Thu gọn tử: $3 x + 1 - x - 5 = 2 x - 4 = 2 (x - 2)$ .
Vậy $A = \frac{2 (x - 2)}{x - 2} = 2$ , với $x \neq 2$ .

Ví dụ 2Thông hiểu

Tính

B = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}

và tính giá trị tại

x = 2

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 1, - 1$ . Chọn mẫu chung $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
$B = \frac{2 (x + 1) + 3 (x - 1)}{x^{2} - 1}$ .
Thu gọn tử: $2 x + 2 + 3 x - 3 = 5 x - 1$ . Do đó $B = \frac{5 x - 1}{x^{2} - 1}$ .
Tại $x = 2$ : $B = \frac{10 - 1}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Thực hiện các phép tính và nêu điều kiện: a)

\frac{x + 4}{x + 1} + \frac{2 x - 1}{x + 1}

; b)

\frac{5 x - 2}{x - 3} - \frac{2 x + 7}{x - 3}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Điều kiện $x \neq - 1$ . Tổng bằng $\frac{x + 4 + 2 x - 1}{x + 1} = \frac{3 x + 3}{x + 1} = 3$ .
b) Điều kiện $x \neq 3$ . Hiệu bằng $\frac{(5 x - 2) - (2 x + 7)}{x - 3}$ .
Tử của b) là $5 x - 2 - 2 x - 7 = 3 x - 9 = 3 (x - 3)$ , nên kết quả bằng $3$ với $x \neq 3$ .

Bài 2Cơ bản

Tính

C = \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 2, - 2$ . Mẫu chung là $(x - 2) (x + 2) = x^{2} - 4$ .
$C = \frac{x + 2 + 2 (x - 2)}{x^{2} - 4}$ .
Thu gọn tử: $x + 2 + 2 x - 4 = 3 x - 2$ . Vậy $C = \frac{3 x - 2}{x^{2} - 4}$ , với $x \neq 2, - 2$ .

Bài 3Thông hiểu

Tính

D = \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 1, - 1$ . Phân tích $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Quy đồng: $D = \frac{(x + 1)^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$ .
Vì $(x + 1)^{2} - 2 x = x^{2} + 2 x + 1 - 2 x = x^{2} + 1$ , nên $D = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

Bài 4Thông hiểu

Đổi dấu mẫu rồi tính: a)

\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}

; b)

\frac{x + 3}{1 - x} + \frac{2 x + 1}{x - 1}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Điều kiện $x \neq 2$ . Vì $\frac{1}{2 - x} = - \frac{1}{x - 2}$ , tổng bằng $\frac{3 - 1}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}$ .
b) Điều kiện $x \neq 1$ . Đổi $\frac{x + 3}{1 - x}$ thành $- \frac{x + 3}{x - 1}$ .
Tổng b) bằng $\frac{- (x + 3) + (2 x + 1)}{x - 1} = \frac{x - 2}{x - 1}$ , với $x \neq 1$ .

Bài 5Vận dụng

Rút gọn

P = \frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{2}{x + 2}

rồi tính tại

x = 3

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 2, - 2$ . Chọn mẫu chung $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
$P = \frac{x (x + 2) - 4 - 2 (x - 2)}{x^{2} - 4}$ .
Tử bằng $x^{2} + 2 x - 4 - 2 x + 4 = x^{2}$ , nên $P = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ .
$x = 3$ thỏa điều kiện; khi đó $P = \frac{9}{9 - 4} = \frac{9}{5}$ .

Bài 6Vận dụng

Hai vòi nước lần lượt chảy riêng để đầy một bể

60

lít. Vòi thứ nhất chảy

x

lít/phút, vòi thứ hai chảy

x + 2

lít/phút, với

x > 0

. a) Viết và rút gọn biểu thức chỉ thời gian vòi thứ nhất chảy lâu hơn vòi thứ hai. b) Tính thời gian chênh lệch khi

x = 4

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Thời gian tương ứng là $t_{1} = \frac{60}{x}$ phút và $t_{2} = \frac{60}{x + 2}$ phút.
a) Hiệu thời gian $D = t_{1} - t_{2} = \frac{60 (x + 2) - 60 x}{x (x + 2)}$ .
Rút gọn tử được $D = \frac{120}{x (x + 2)}$ phút, với $x > 0$ . Hiệu dương, phù hợp việc vòi thứ nhất chảy chậm hơn.
b) Tại $x = 4$ : $D = \frac{120}{4 \cdot 6} = 5$ phút.

↑ Danh mục chương VI

Bài 24

Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Nhân, chia phân thức đúng quy tắc và biết rút gọn trước khi nhân.
Xác định đầy đủ điều kiện của mẫu thức và phân thức chia.
Thực hiện biểu thức phối hợp các phép tính và giải thích kết quả trong thực tế.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Quy tắc nhân: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A C}{B D}$ , với các mẫu $B$ , $D$ có giá trị khác $0$ . Trước khi nhân, có thể phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn các nhân tử chung khác $0$ .

Phép nhân phân thức có tính giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng trên miền xác định chung. Nhờ đó có thể đổi thứ tự, nhóm các nhân tử hoặc đặt nhân tử chung để tính thuận tiện.

Phân thức nghịch đảo của phân thức khác $0$ $\frac{C}{D}$ là $\frac{D}{C}$ . Muốn chia một phân thức cho một phân thức khác $0$ , giữ nguyên phân thức bị chia và nhân với nghịch đảo của phân thức chia: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A D}{B C}$ .

Điều kiện của phép chia gồm: các mẫu ban đầu khác $0$ và phân thức chia khác $0$ . Với $\frac{A}{B} : \frac{C}{D}$ , phải có $B \neq 0$ , $D \neq 0$ , $C \neq 0$ . Tử $A$ được phép bằng $0$ nếu những điều kiện trên đều thỏa mãn.

Khi rút gọn tích hoặc thương, chỉ triệt tiêu nhân tử chung của toàn bộ tử và mẫu. Không triệt tiêu riêng một số hạng trong tổng. Dù kết quả rút gọn là một đa thức hay một số, vẫn giữ toàn bộ điều kiện của biểu thức ban đầu.

Trong biểu thức phối hợp: làm trong ngoặc trước, thực hiện nhân và chia rồi mới cộng và trừ. Các phép cùng mức ưu tiên được thực hiện từ trái sang phải. Cuối cùng thu gọn, kiểm tra điều kiện và ghi đơn vị nếu bài toán có đại lượng thực tế.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Nhân hai phân thức: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} =$ .
Với phân thức chia khác $0$ , $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} =$ .
Ngoài điều kiện $B \neq 0$ , $D \neq 0$ , phép chia $\frac{A}{B} : \frac{C}{D}$ còn cần .
Để nhân phân thức thuận tiện, nên phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi .
Khi đổi phép chia thành phép nhân, chỉ nghịch đảo .
Với biểu thức chỉ có phép nhân và chia, không có dấu ngoặc, thực hiện .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1Thông hiểu

Tính

P = \frac{x^{2} - 4}{3 x} \cdot \frac{6 x^{2}}{x + 2}

và nêu điều kiện.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện của các mẫu: $x \neq 0$ và $x \neq - 2$ .
Phân tích $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
$P = \frac{(x - 2) (x + 2) \cdot 6 x^{2}}{3 x (x + 2)} = 2 x (x - 2)$ .
Kết quả là $2 x (x - 2)$ với $x \neq 0, - 2$ . Giá trị $x = 2$ được phép và khi ấy tích bằng $0$ .

Ví dụ 2Thông hiểu

Tính

Q = \frac{x^{2} - 9}{x + 1} : \frac{x - 3}{2 x}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các mẫu ban đầu khác $0$ khi $x \neq - 1$ và $x \neq 0$ .
Phân thức chia phải khác $0$ , nên cần thêm $x - 3 \neq 0$ , tức $x \neq 3$ .
$Q = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x + 1} \cdot \frac{2 x}{x - 3} = \frac{2 x (x + 3)}{x + 1}$ .
Vậy $Q = \frac{2 x (x + 3)}{x + 1}$ , với $x \neq - 1,0,3$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Thực hiện phép nhân

\frac{3 x}{4 y} \cdot \frac{8 y^{2}}{9 x}

và nêu điều kiện.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 0$ và $y \neq 0$ .
Tích bằng $\frac{3 x \cdot 8 y^{2}}{4 y \cdot 9 x} = \frac{24 x y^{2}}{36 x y}$ .
Rút gọn nhân tử chung $12 x y$ được $\frac{2 y}{3}$ , với $x \neq 0$ , $y \neq 0$ .

Bài 2Cơ bản

Tính

\frac{x^{2} - 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 1}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq - 2$ và $x \neq - 1$ .
Phân tích $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Tích bằng $\frac{(x - 1) (x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} = x - 1$ , với $x \neq - 2, - 1$ .

Bài 3Thông hiểu

Tính

C = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x} : \frac{x + 2}{x}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Mẫu $x^{2} - 2 x = x (x - 2)$ khác $0$ khi $x \neq 0,2$ . Mẫu của phân thức chia cũng yêu cầu $x \neq 0$ .
Phân thức chia khác $0$ khi $x + 2 \neq 0$ , nên thêm $x \neq - 2$ .
$C = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x (x - 2)} \cdot \frac{x}{x + 2} = 1$ .
Vậy $C = 1$ với $x \neq 0,2, - 2$ .

Bài 4Thông hiểu

Rút gọn

A = \frac{2 x}{x - 1} : \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1}

và tính tại

x = 2

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các mẫu khác $0$ đòi hỏi $x \neq 1, - 1$ . Phân thức chia khác $0$ đòi hỏi thêm $x \neq 0$ .
$A = \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (x + 1)}{4 x^{2}} = \frac{x + 1}{2 x}$ .
Giữ điều kiện $x \neq 0,1, - 1$ .
Tại $x = 2$ : $A = \frac{2 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ .

Bài 5Vận dụng

Tính

B = (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{2 x}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Điều kiện: $x \neq 1, - 1,0$ .
Tính trong ngoặc: $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1 + x - 1}{x^{2} - 1} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ .
Do đó $B = \frac{2 x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{2 x} = 1$ .
Kết luận $B = 1$ với đầy đủ điều kiện $x \neq 1, - 1,0$ .

Bài 6Vận dụng

Một tấm biển hình chữ nhật có diện tích

S = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 1}

m² và một cạnh dài

a = \frac{x + 2}{x + 1}

m, với

x > 0

. a) Viết và rút gọn biểu thức độ dài cạnh còn lại. b) Tính hai cạnh và diện tích khi

x = 2

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Với $x > 0$ , các mẫu và các độ dài đều dương; phép chia cho $a$ hợp lệ.
a) Cạnh còn lại $b = S : a = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 1} : \frac{x + 2}{x + 1}$ .
Phân tích $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ , nên $b = \frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 2} = x + 3$ m.
b) Tại $x = 2$ , $a = \frac{4}{3}$ m, $b = 5$ m, $S = \frac{20}{3}$ m². Kiểm tra $\frac{4}{3} \cdot 5 = \frac{20}{3}$ .

↑ Danh mục chương VI

Toán 8 HKII theo mẫu VSTAR – Chương VI: Phân thức đại số

Sơ đồ kiến thức của chương