Xác suất của biến cố – Toán 8 học kỳ II

Sơ đồ kiến thức của chương

Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Kết quả có thể

Liệt kê đủ và tránh đếm trùng.

Kết quả thuận lợi

Đáp ứng điều kiện của biến cố đang xét.

Xác suất

Tỉ số thuận lợi / có thể khi đồng khả năng.

Thực nghiệm

Tần suất quan sát; ước tính, không bảo đảm tuyệt đối.

Bài 30

Kết quả có thể và kết quả thuận lợi

Liệt kê đầy đủ các kết quả có thể của một hành động hoặc phép thử đơn giản.
Xác định kết quả thuận lợi cho biến cố đã nêu.
Phân biệt các cách ghi nhận kết quả; nhận biết biến cố chắc chắn và không thể.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Phép thử ngẫu nhiên là một hành động hoặc thí nghiệm mà ta biết những kết quả có thể xảy ra nhưng chưa biết chắc kết quả cụ thể trước khi thực hiện. Ví dụ: gieo xúc xắc và ghi số chấm, rút một lá thăm rồi ghi số trên thăm.

Để liệt kê kết quả có thể, phải xác định rõ ta ghi nhận thông tin nào. Khi rút bóng, ghi màu bóng và ghi mã từng quả bóng là hai cách mô tả kết quả khác nhau.

Biến cố là một sự kiện được xét khi thực hiện phép thử. Kết quả thuận lợi cho biến cố là kết quả làm biến cố đó xảy ra. Hãy liệt kê toàn bộ kết quả có thể trước, sau đó chọn những kết quả thỏa điều kiện của biến cố.

Với một xúc xắc sáu mặt ghi từ $1$ đến $6$ , biến cố “được số lớn hơn $6$ ” là không thể, vì không có kết quả thuận lợi. Biến cố “được số không vượt quá $6$ ” là chắc chắn, vì cả sáu kết quả đều thuận lợi.

Khi tung một đồng xu hai lần và ghi theo thứ tự lần thứ nhất, lần thứ hai, kí hiệu $N$ là ngửa, $S$ là sấp. Các kết quả có thể là $N N, N S, S N, S S$ . Hai kết quả $N S$ và $S N$ khác nhau vì thứ tự khác nhau.

Nếu chỉ ghi số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung hai lần, kết quả có thể là $0,1,2$ . Không được tự coi ba kết quả này có khả năng xảy ra như nhau. Khi đếm, đọc kĩ các từ “đúng một”, “ít nhất một”, “nhiều nhất một”, “và”, “hoặc”.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Trước khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta kết quả cụ thể sẽ xảy ra.
Khi gieo một con xúc xắc sáu mặt và ghi số chấm, tập hợp kết quả có thể là .
Một kết quả thuận lợi cho biến cố A là kết quả làm cho biến cố A .
Gieo một xúc xắc sáu mặt. Các kết quả thuận lợi cho biến cố “số chấm là số chẵn” là .
Biến cố không thể có kết quả thuận lợi.
Biến cố chắc chắn có là kết quả thuận lợi.

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Gieo một con xúc xắc sáu mặt ghi từ

1

đến

6

. Liệt kê các kết quả có thể và các kết quả thuận lợi cho từng biến cố: A: “Số chấm lớn hơn

4

”; B: “Số chấm là số nguyên tố”; C: “Số chấm lớn hơn

6

”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các kết quả có thể là $1,2,3,4,5,6$ .
Biến cố A có các kết quả thuận lợi $5,6$ .
Biến cố B có các kết quả thuận lợi $2,3,5$ . Số $1$ không phải số nguyên tố.
Biến cố C không có kết quả thuận lợi, nên là biến cố không thể.

Ví dụ 2

Tung một đồng xu hai lần, ghi kết quả theo thứ tự. Kí hiệu

N

là ngửa,

S

là sấp. a) Liệt kê các kết quả có thể. b) Liệt kê kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Có đúng một lần ngửa” và B: “Có ít nhất một lần ngửa”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Các kết quả có thể là $N N, N S, S N, S S$ .
b) A có các kết quả thuận lợi $N S, S N$ , vì mỗi kết quả có đúng một chữ $N$ .
B có các kết quả thuận lợi $N N, N S, S N$ . Trường hợp $N N$ phải được tính vì hai lần ngửa vẫn thỏa “ít nhất một lần ngửa”.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Rút một thẻ từ tám thẻ ghi các số

1,2,3,4,5,6,7,8

. Liệt kê kết quả thuận lợi cho: A: “Số ghi trên thẻ là số lẻ”; B: “Số ghi trên thẻ chia hết cho

3

”; C: “Số ghi trên thẻ nhỏ hơn

1

”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

A có các kết quả thuận lợi $1,3,5,7$ .
B có các kết quả thuận lợi $3,6$ .
C không có kết quả thuận lợi, nên là biến cố không thể.

Bài 2Cơ bản

Một vòng quay có năm phần ghi các số

1,2,3,4,5

. Quay kim rồi ghi số được chỉ vào. a) Liệt kê kết quả thuận lợi cho biến cố “số được chỉ lớn hơn

2

”. b) Biến cố “số được chỉ không vượt quá

5

” là loại biến cố nào? c) Biến cố “số được chỉ bằng

0

” là loại biến cố nào?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Các kết quả thuận lợi là $3,4,5$ .
b) Cả năm kết quả đều không vượt quá $5$ , nên đây là biến cố chắc chắn.
c) Không có phần nào ghi $0$ , nên đây là biến cố không thể.

Bài 3Thông hiểu

Một hộp có ba bóng đỏ mã

R_{1,} R_{2,} R_{3}

, hai bóng xanh mã

X_{1,} X_{2}

và một bóng vàng mã

V_{1}

. Rút một bóng và ghi mã bóng. a) Liệt kê mọi kết quả có thể. b) Liệt kê kết quả thuận lợi cho A: “Rút được bóng đỏ” và B: “Rút được bóng không màu vàng”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Các kết quả có thể là $R_{1,} R_{2,} R_{3,} X_{1,} X_{2,} V_{1}$ .
b) A có các kết quả thuận lợi $R_{1,} R_{2,} R_{3}$ , gồm $3$ kết quả.
B có các kết quả thuận lợi $R_{1,} R_{2,} R_{3,} X_{1,} X_{2}$ , gồm $5$ kết quả.

Bài 4Thông hiểu

Tung một đồng xu hai lần và ghi thứ tự bằng

N, S

như trong ví dụ. Liệt kê kết quả thuận lợi cho A: “Hai lần xuất hiện cùng một mặt”; B: “Lần thứ nhất ngửa”; C: “Có nhiều nhất một lần ngửa”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

A có các kết quả thuận lợi $N N, S S$ .
B có các kết quả thuận lợi $N N, N S$ ; chữ đầu tiên phải là $N$ .
C có các kết quả thuận lợi $N S, S N, S S$ . “Nhiều nhất một” gồm không lần nào và đúng một lần ngửa.

Bài 5Vận dụng

Chọn một số trong các số từ

1

đến

12

. A là biến cố “số được chọn chia hết cho

6

”, B là biến cố “số được chọn chia hết cho

3

”. a) Liệt kê kết quả thuận lợi cho A và B. b) Nếu A xảy ra thì B có luôn xảy ra không? Chiều ngược lại có đúng không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

A có các kết quả thuận lợi $6,12$ . B có các kết quả thuận lợi $3,6,9,12$ .
Mọi kết quả thuận lợi cho A đều thuận lợi cho B, nên nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Chiều ngược lại không đúng: chọn $3$ hoặc $9$ thì B xảy ra nhưng A không xảy ra.

Bài 6Vận dụng

Gieo một xúc xắc sáu mặt. Liệt kê kết quả thuận lợi cho A: “Số chấm là số chẵn và không nhỏ hơn

4

”; B: “Số chấm là số chẵn hoặc không nhỏ hơn

4

”. Giải thích vì sao hai danh sách khác nhau.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các số chẵn là $2,4,6$ ; các số không nhỏ hơn $4$ là $4,5,6$ .
A yêu cầu đồng thời cả hai điều kiện, nên kết quả thuận lợi là $4,6$ .
B chỉ cần thỏa ít nhất một trong hai điều kiện, nên kết quả thuận lợi là $2,4,5,6$ . Mỗi kết quả chỉ liệt kê một lần.

↑ Danh mục chương VIII

Bài 31

Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số

Nhận ra điều kiện các kết quả có khả năng xảy ra như nhau.
Tính xác suất bằng số kết quả thuận lợi chia cho số kết quả có thể.
Giải bài toán rút thẻ, rút bóng, vòng quay và tung đồng xu bằng cách đếm đúng.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Giả sử phép thử có hữu hạn $n$ kết quả có thể, các kết quả này có khả năng xảy ra như nhau, và có $m$ kết quả thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của A là $P (A) = \frac{m}{n}$ . Điều kiện đồng khả năng phải được bảo đảm trước khi dùng công thức.

Quy trình: xác định rõ phép thử và cách ghi kết quả; liệt kê hoặc đếm tất cả kết quả đồng khả năng; đếm kết quả thuận lợi; lập tỉ số và rút gọn. Tránh đếm lặp một kết quả khi biến cố có nhiều điều kiện.

Vì $0 \leq m \leq n$ nên $0 \leq P (A) \leq 1$ . Biến cố không thể có xác suất $0$ ; biến cố chắc chắn có xác suất $1$ . Một phân số xác suất lớn hơn $1$ hoặc nhỏ hơn $0$ cho biết phép đếm hoặc phép tính đã sai.

Khi rút ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp các bóng có cùng kích thước và khối lượng, đã trộn đều, từng quả bóng được coi là có khả năng được rút như nhau. Các màu không tự động đồng khả năng nếu số bóng mỗi màu khác nhau.

Với hai lần tung đồng xu cân đối và coi bốn kết quả theo thứ tự $N N, N S, S N, S S$ đồng khả năng, biến cố “đúng một lần ngửa” có hai kết quả thuận lợi nên xác suất bằng $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Không lấy $\frac{1}{3}$ bằng cách coi các số lần ngửa $0,1,2$ là đồng khả năng.

Có thể đếm các kết quả không thuận lợi rồi lấy tổng số trừ đi. Nếu A có $m$ kết quả thuận lợi trong $n$ kết quả thì biến cố “A không xảy ra” có $n - m$ kết quả thuận lợi, với xác suất $\frac{n - m}{n}$ .

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Công thức xác suất bằng tỉ số số kết quả được áp dụng khi các kết quả có thể có .
Nếu có $n$ kết quả đồng khả năng và $m$ kết quả thuận lợi cho A thì mẫu số của $P (A)$ là .
Trong công thức $P (A) = \frac{m}{n}$ , tử số $m$ là số .
Gieo xúc xắc cân đối. Xác suất được số nguyên tố là .
Xác suất của biến cố không thể bằng .
Xác suất của biến cố chắc chắn bằng .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Có

10

thẻ giống nhau về hình dạng, kích thước, ghi lần lượt các số từ

1

đến

10

. Trộn đều và rút ngẫu nhiên một thẻ; các thẻ có khả năng được rút như nhau. Tính xác suất của A: “Số trên thẻ chia hết cho

3

”, B: “Số trên thẻ là số lẻ”, C: “Số trên thẻ lớn hơn

10

”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tổng cộng có $10$ kết quả đồng khả năng.
A có ba kết quả thuận lợi là $3,6,9$ , nên $P (A) = \frac{3}{10}$ .
B có năm kết quả thuận lợi là $1,3,5,7,9$ , nên $P (B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .
C không có kết quả thuận lợi nên $P (C) = 0$ .

Ví dụ 2

Tung một đồng xu cân đối hai lần và coi bốn kết quả theo thứ tự là đồng khả năng. Kí hiệu

N

là ngửa,

S

là sấp. Tính xác suất của A: “Có đúng một lần ngửa” và B: “Có ít nhất một lần ngửa”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Bốn kết quả đồng khả năng là $N N, N S, S N, S S$ .
A có hai kết quả thuận lợi $N S, S N$ , nên $P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
B có ba kết quả thuận lợi $N N, N S, S N$ , nên $P (B) = \frac{3}{4}$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Gieo một xúc xắc sáu mặt cân đối. Tính xác suất của A: “Số chấm là số nguyên tố”; B: “Số chấm là ước của

6

”; C: “Số chấm lớn hơn

4

”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Có sáu kết quả đồng khả năng $1,2,3,4,5,6$ .
A có các kết quả thuận lợi $2,3,5$ , nên $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
B có các kết quả thuận lợi $1,2,3,6$ , nên $P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .
C có các kết quả thuận lợi $5,6$ , nên $P (C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Bài 2Cơ bản

Hộp có

3

bóng đỏ,

2

bóng xanh,

5

bóng vàng; các bóng cùng kích thước, khối lượng. Trộn đều và rút ngẫu nhiên một bóng, mỗi bóng có khả năng được rút như nhau. Tính xác suất rút được: a) bóng đỏ; b) bóng không màu vàng.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tổng số bóng là $3 + 2 + 5 = 10$ .
a) Có $3$ bóng đỏ nên xác suất là $\frac{3}{10}$ .
b) Có $3 + 2 = 5$ bóng không màu vàng nên xác suất là $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Bài 3Thông hiểu

Rút ngẫu nhiên một thẻ từ

20

thẻ cùng loại ghi các số từ

1

đến

20

, mỗi thẻ đồng khả năng. Tính xác suất rút được: a) số chia hết cho

4

; b) số nguyên tố; c) số không phải số nguyên tố.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Các số thuận lợi là $4,8,12,16,20$ , gồm $5$ số. Xác suất là $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ .
b) Các số nguyên tố là $2,3,5,7,11,13,17,19$ , gồm $8$ số. Xác suất là $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ .
c) Có $20 - 8 = 12$ số không phải số nguyên tố, kể cả số $1$ . Xác suất là $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Bài 4Thông hiểu

Vòng quay có

8

phần bằng nhau, ghi lần lượt các số

1

đến

8

; kim có khả năng dừng ở mỗi phần như nhau. Tính xác suất của A: “Số được chỉ là số chẵn”; B: “Số được chỉ lớn hơn

5

”; C: “Số được chỉ bằng

9

”; D: “Số được chỉ là số dương”.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

A có $4$ kết quả thuận lợi $2,4,6,8$ , nên $P (A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
B có $3$ kết quả thuận lợi $6,7,8$ , nên $P (B) = \frac{3}{8}$ .
C không thể nên $P (C) = 0$ . D chắc chắn nên $P (D) = 1$ .

Bài 5Vận dụng

Một nhóm có

12

học sinh, gồm

7

bạn nữ và

5

bạn nam. Chọn ngẫu nhiên một người đại diện bằng các lá thăm giống nhau, mỗi bạn có khả năng được chọn như nhau. Lan là một trong

7

bạn nữ. Tính xác suất người được chọn: a) là nữ; b) là nam; c) là Lan.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Có $12$ kết quả đồng khả năng, tương ứng với $12$ bạn.
a) Xác suất chọn được bạn nữ là $\frac{7}{12}$ .
b) Xác suất chọn được bạn nam là $\frac{5}{12}$ .
c) Chỉ có một kết quả là Lan nên xác suất chọn Lan bằng $\frac{1}{12}$ , không phải $\frac{1}{7}$ .

Bài 6Vận dụng

Hộp ban đầu có

4

bóng đỏ,

3

bóng xanh,

1

bóng vàng. Sau đó thêm

2

bóng đỏ. Các bóng cùng kích thước, khối lượng; mỗi lần rút đều trộn kĩ và rút ngẫu nhiên để từng bóng đồng khả năng. a) Tính xác suất rút được bóng đỏ trước khi thêm. b) Tính xác suất đó sau khi thêm. c) Xác suất đã tăng thêm bao nhiêu?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Ban đầu có $4 + 3 + 1 = 8$ bóng, nên xác suất rút bóng đỏ là $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
b) Sau khi thêm có $6$ bóng đỏ trong $10$ bóng, nên xác suất là $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
c) Xác suất tăng thêm $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6}{10} - \frac{5}{10} = \frac{1}{10}$ .

↑ Danh mục chương VIII

Bài 32

Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng

Tính xác suất thực nghiệm từ số lần xuất hiện biến cố và tổng số lần thử.
So sánh kết quả thực nghiệm với xác suất trong mô hình đã biết.
Dùng xác suất thực nghiệm để ước lượng số lần xảy ra biến cố và đọc đúng ý nghĩa của ước lượng.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Thực hiện phép thử $n$ lần, với $n > 0$ , và quan sát biến cố A xảy ra $m$ lần. Xác suất thực nghiệm của A là $\frac{m}{n}$ . Dữ liệu thực nghiệm cho biết tần suất xuất hiện của A trong những lần thử đã thực hiện.

Xác suất trong một mô hình có thể tính được bằng lí luận, chẳng hạn mặt ngửa của đồng xu cân đối có xác suất $\frac{1}{2}$ . Xác suất thực nghiệm lại phụ thuộc kết quả quan sát; sau $20$ lần tung có $12$ lần ngửa, giá trị thực nghiệm là $\frac{12}{20} = 0, 6$ , không bằng $\frac{1}{2}$ .

Khi số lần thử đủ lớn và phép thử được thực hiện trong những điều kiện phù hợp, xác suất thực nghiệm thường gần với xác suất của biến cố. Không có quy tắc rằng cứ thêm một lần thử thì tỉ lệ phải gần hơn, hoặc đến một số lần nhất định thì bắt buộc bằng chính xác.

Nếu chưa biết xác suất, có thể dùng tỉ lệ thực nghiệm $p = \frac{m}{n}$ để ước lượng. Với $N$ lần thử tương tự, dự đoán số lần A xảy ra xấp xỉ $p N$ . Cần nêu rõ đây là ước lượng; số lần thực tế vẫn có thể khác.

Khi gộp nhiều đợt thử cùng điều kiện, lấy tổng số lần thuận lợi chia tổng số lần thử. Với hai đợt, tỉ lệ là $\frac{m_{1} + m_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ . Không tự lấy trung bình cộng hai tỉ lệ nếu hai đợt có số lần thử khác nhau.

Trong bài toán ứng dụng, dữ liệu dùng để ước lượng cần phù hợp với nhóm đang xét và điều kiện thực tế tương tự. Đọc kĩ yêu cầu dùng xác suất của mô hình hay tỉ lệ thực nghiệm; không thay thế hai nguồn số liệu cho nhau mà không giải thích.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Nếu thực hiện phép thử $n$ lần, biến cố A xảy ra $m$ lần, thì xác suất thực nghiệm của A là .
Mẫu số khi tính xác suất thực nghiệm là .
Khi số lần thử đủ lớn, xác suất thực nghiệm thường xác suất của biến cố.
Sau một số hữu hạn lần thử, xác suất thực nghiệm bằng xác suất của biến cố.
Nếu dùng xác suất ước lượng $p$ cho $N$ lần thử tương tự, số lần biến cố xảy ra được dự đoán xấp xỉ .
Hai đợt có $m_{1,} m_{2}$ lần thuận lợi trên $n_{1,} n_{2}$ lần thử. Xác suất thực nghiệm gộp là .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Gieo một xúc xắc cân đối

120

lần, có

68

lần xuất hiện số chấm chẵn. a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “số chấm chẵn”. b) So sánh với xác suất theo mô hình xúc xắc cân đối. c) Dùng kết quả thực nghiệm để dự đoán số lần xuất hiện số chấm chẵn trong

300

lần thử tương tự; nêu dự đoán nếu dùng xác suất của mô hình.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Xác suất thực nghiệm là $\frac{68}{120} = \frac{17}{30} \approx 0, 567$ .
b) Theo mô hình, ba mặt $2,4,6$ thuận lợi trong sáu mặt đồng khả năng, nên xác suất bằng $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0, 5$ . Tỉ lệ thực nghiệm đang cao hơn nhưng điều đó không đủ để phủ nhận tính cân đối.
c) Dùng thực nghiệm: số lần dự đoán xấp xỉ $300 \cdot \frac{17}{30} = 170$ .
Dùng mô hình cân đối: số lần dự đoán xấp xỉ $300 \cdot \frac{1}{2} = 150$ . Cả hai là ước lượng theo hai căn cứ khác nhau, không phải số lần chắc chắn xảy ra.

Ví dụ 2

Một cơ sở kiểm tra ngẫu nhiên

200

sản phẩm trong một lô, thấy

10

sản phẩm lỗi. a) Ước lượng xác suất một sản phẩm của lô bị lỗi. b) Nếu chất lượng sản xuất tương tự, ước lượng số sản phẩm lỗi trong

1 600

sản phẩm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Tỉ lệ lỗi trong mẫu là $\frac{10}{200} = \frac{1}{20} = 0, 05 = 5 %$ . Dùng tỉ lệ này để ước lượng xác suất sản phẩm lỗi.
b) Số sản phẩm lỗi dự đoán xấp xỉ $1 600 \cdot 0, 05 = 80$ sản phẩm.
Con số 80 là ước lượng dựa trên mẫu ngẫu nhiên và điều kiện chất lượng tương tự; số thực tế có thể khác.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Tung một đồng xu

80

lần, có

46

lần ngửa. a) Tính xác suất thực nghiệm của mặt ngửa. b) Tính xác suất thực nghiệm của mặt sấp. c) Kiểm tra tổng hai tỉ lệ.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Tỉ lệ ngửa là $\frac{46}{80} = \frac{23}{40} = 0, 575$ .
b) Có $80 - 46 = 34$ lần sấp. Tỉ lệ sấp là $\frac{34}{80} = \frac{17}{40} = 0, 425$ .
c) Tổng hai tỉ lệ là $\frac{23}{40} + \frac{17}{40} = 1$ .

Bài 2Cơ bản

Quay

200

lần một vòng quay có bốn phần bằng nhau và các phần được thiết kế đồng khả năng. Số lần kim chỉ vào đỏ, xanh, vàng, tím lần lượt là

58,46,51,45

. a) Tính xác suất thực nghiệm của màu đỏ và màu xanh. b) Tính tỉ lệ xuất hiện đỏ hoặc xanh. c) Chỉ từ số liệu này có thể khẳng định chắc chắn vòng quay không cân bằng hay không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Tỉ lệ đỏ là $\frac{58}{200} = 0, 29$ ; tỉ lệ xanh là $\frac{46}{200} = 0, 23$ .
b) Có $58 + 46 = 104$ lượt đỏ hoặc xanh, nên tỉ lệ là $\frac{104}{200} = 0, 52$ .
c) Không thể khẳng định chắc chắn như vậy chỉ từ mẫu này. Theo mô hình, mỗi màu có xác suất $\frac{1}{4} = 0, 25$ ; tỉ lệ thực nghiệm trong số hữu hạn lần thử có thể khác giá trị đó.

Bài 3Thông hiểu

Hai nhóm gieo cùng một loại xúc xắc trong các điều kiện như nhau. Nhóm thứ nhất gieo

30

lần, có

4

lần ra mặt

6

; nhóm thứ hai gieo

70

lần, có

13

lần ra mặt

6

. Tính xác suất thực nghiệm gộp của mặt

6

. Có nên lấy trung bình cộng hai tỉ lệ của hai nhóm không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tổng số lần gieo là $30 + 70 = 100$ ; tổng số lần ra mặt $6$ là $4 + 13 = 17$ .
Xác suất thực nghiệm gộp là $\frac{17}{100} = 0, 17$ .
Không lấy trung bình cộng hai tỉ lệ, vì hai nhóm có số lần thử khác nhau. Cần cộng số lượt rồi chia như trên.

Bài 4Thông hiểu

Thử gieo ngẫu nhiên

250

hạt giống của một lô, có

225

hạt nảy mầm. a) Ước lượng xác suất nảy mầm. b) Với

600

hạt khác cùng lô, gieo trong điều kiện tương tự, ước lượng số hạt nảy mầm. c) Có thể khẳng định chắc chắn đúng số hạt đó sẽ nảy mầm không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Tỉ lệ nảy mầm trong mẫu là $\frac{225}{250} = 0, 9 = 90 %$ .
b) Số hạt nảy mầm ước lượng là $600 \cdot 0, 9 = 540$ hạt.
c) Không. Đây là số dự đoán xấp xỉ dựa trên mẫu và điều kiện tương tự, không phải kết quả chắc chắn.

Bài 5Vận dụng

Một học sinh ném bóng rổ

100

lần ở cùng một vị trí, trúng rổ

72

lần. a) Tính tỉ lệ trúng rổ thực nghiệm. b) Nếu khả năng ném và điều kiện tương tự, dự đoán số lần trúng và không trúng trong

250

lần ném tiếp theo.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Tỉ lệ trúng thực nghiệm là $\frac{72}{100} = 0, 72 = 72 %$ .
b) Số lần trúng dự đoán xấp xỉ $250 \cdot 0, 72 = 180$ lần.
Số lần không trúng dự đoán xấp xỉ $250 - 180 = 70$ lần. Kết quả thực tế không nhất thiết đúng bằng các số dự đoán này.

Bài 6Vận dụng

Một thí nghiệm tung đồng xu cân đối ghi nhận lũy kế: sau

20

lần có

14

lần ngửa; sau

100

lần có

54

lần ngửa; sau

1 000

lần có

493

lần ngửa. a) Tính ba tỉ lệ thực nghiệm. b) So sánh độ chênh lệch với

\frac{1}{2}

. c) Từ bảng này có thể kết luận rằng cứ thêm một lần tung thì tỉ lệ luôn gần

\frac{1}{2}

hơn không?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Các tỉ lệ lần lượt là $\frac{14}{20} = 0, 7$ , $\frac{54}{100} = 0, 54$ , $\frac{493}{1000} = 0, 493$ .
b) Độ chênh lệch với $0, 5$ lần lượt là $0, 2$ , $0, 04$ , $0, 007$ . Trong ba mốc đã cho, tỉ lệ ở mốc $1 000$ lần gần $\frac{1}{2}$ nhất.
c) Không. Số liệu chỉ mô tả ba mốc; tỉ lệ có thể dao động khi thêm từng lần tung. Với số lần thử lớn, tỉ lệ thường gần xác suất, nhưng không bắt buộc tiến gần sau mỗi lần.

↑ Danh mục chương VIII

Toán 8 HKII theo mẫu VSTAR – Chương VIII: Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Sơ đồ kiến thức của chương

Kết quả có thể và kết quả thuận lợi

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài