Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax+b=0$, trong đó $a$, $b$ là các số đã cho và $a\ne 0$. Chẳng hạn, $3x–6=0$ là phương trình bậc nhất một ẩn; $0x+5=0$ không có dạng bậc nhất vì hệ số của $x$ bằng $0$.

Một số là nghiệm của phương trình nếu thay số đó vào ẩn làm cho hai vế bằng nhau. Phương trình $ax+b=0$ với $a\ne 0$ có đúng một nghiệm: từ $ax=–b$ suy ra $x=–\frac{b}{a}$.

Có thể cộng hoặc trừ cùng một số hay cùng một biểu thức ở cả hai vế. Quy tắc chuyển vế: chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng ấy. Cần giữ nguyên dấu của các số hạng không chuyển vế.

Có thể nhân hoặc chia cả hai vế với cùng một số khác $0$. Khi giải, thường đưa các số hạng chứa ẩn về một vế và các số hạng tự do về vế kia, thu gọn thành $ax=c$, rồi chia hai vế cho $a\ne 0$.

Với phương trình có ngoặc hoặc các mẫu là hằng số khác $0$: khử mẫu bằng cách nhân cả hai vế với một bội chung khác $0$ của các mẫu; bỏ ngoặc; chuyển vế; thu gọn; tìm nghiệm. Nhân với mẫu chung phải tác động tới mọi số hạng của cả hai vế.

Khi giải xong, thay nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra, đặc biệt ở bài có nhiều dấu trừ hoặc phân số. Trình bày rõ từng bước chuyển vế, thu gọn, nhân hoặc chia hai vế, không tự ý chia cho một biểu thức chứa ẩn có thể bằng $0$.

Bước 1 – Lập phương trình: chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn; nêu rõ đơn vị và điều kiện; biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn; dùng quan hệ trong đề để viết một phương trình. Có thể lập bảng đại lượng trước khi viết phương trình.

Điều kiện phải gắn với ý nghĩa của ẩn: độ dài, thời gian, giá tiền thường dương; số học sinh hay số sản phẩm là số nguyên không âm hoặc nguyên dương; tuổi thường được tính bằng số năm phù hợp tình huống. Khi ẩn là chiều rộng $x$ và chiều dài hơn $5$ m, chiều dài là $x+5$ m.

Các quan hệ thường dùng: tổng tiền bằng đơn giá nhân số lượng; quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian; công việc bằng năng suất nhân thời gian. Nếu quãng đường là $s$ km và vận tốc là $v$ km/h, thời gian là $\frac{s}{v}$ giờ, với $v>0$.

Bài toán phần trăm: tăng $r\%$ so với giá trị gốc $x$ thì giá trị mới là $(1+\frac{r}{100})x$; giảm $r\%$ thì giá trị mới là $(1–\frac{r}{100})x$. Phải xác định đúng đại lượng làm gốc để tính phần trăm.

Bước 2 – Giải phương trình: bỏ ngoặc, khử các mẫu hằng số nếu có, chuyển vế và thu gọn về dạng bậc nhất. Chú ý thống nhất đơn vị trước khi lập phương trình, ví dụ đổi phút sang giờ khi vận tốc dùng đơn vị km/h.

Bước 3 – Kiểm tra và trả lời: đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn; thay lại vào quan hệ thực tế nếu cần; tính thêm đại lượng mà đề hỏi; kết luận bằng câu đầy đủ kèm đơn vị. Một lời giải chưa hoàn tất nếu chỉ dừng ở giá trị của ẩn.

Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho mỗi giá trị của $x$ xác định đúng một giá trị tương ứng của $y$, ta nói $y$ là hàm số của $x$. Khi đó $x$ là biến số. Hai giá trị khác nhau của $x$ vẫn có thể cho cùng một giá trị của $y$.

Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức hoặc bằng đồ thị. Khi dùng bảng, cần kiểm tra cùng một giá trị của $x$ không được gắn với hai giá trị $y$ khác nhau. Chỉ xét các giá trị của $x$ mà bài toán cho phép.

Với hàm số viết dưới dạng $y=f\left(x\right)$, kí hiệu $f\left(a\right)$ là giá trị tương ứng khi $x=a$. Chẳng hạn, nếu $f\left(x\right)=3x+2$ thì $f(–1)=3·(–1)+2=–1$. Thay số có dấu âm phải dùng ngoặc.

Mặt phẳng tọa độ có hai trục vuông góc $Ox$ và $Oy$, cắt nhau tại gốc $O$. Điểm $M(a;b)$ có hoành độ $a$, tung độ $b$. Để biểu diễn điểm, xác định vị trí theo phương ngang trước, phương thẳng đứng sau.

Điểm nằm trên $Ox$ có tung độ bằng $0$; điểm nằm trên $Oy$ có hoành độ bằng $0$. Gốc tọa độ là $O(0;0)$. Không đổi chỗ hoành độ và tung độ khi đọc hoặc vẽ điểm.

Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ $(x;f(x\left)\right)$ trên mặt phẳng tọa độ, với các giá trị $x$ được xét. Muốn kiểm tra $M(a;b)$ có thuộc đồ thị hay không, tính $f\left(a\right)$ rồi so sánh với $b$.

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y=ax+b$, trong đó $a,b$ là các số cho trước và $a\ne 0$. Ví dụ $y=4x–1$, $y=–2x$ là các hàm số bậc nhất. Hàm số $y=7$ không phải hàm số bậc nhất vì hệ số của $x$ bằng $0$.

Để tính giá trị của hàm số bậc nhất, thay giá trị của $x$ vào biểu thức $ax+b$. Trong tình huống thực tế, phải xét đúng các giá trị của biến và đúng đơn vị mà đề bài quy định.

Đồ thị của $y=ax+b$ là một đường thẳng. Để vẽ, chọn hai giá trị khác nhau của $x$, tính hai giá trị tương ứng của $y$, biểu diễn hai điểm rồi kẻ đường thẳng đi qua chúng.

Giao điểm với trục $Oy$ là $A(0;b)$. Cho $y=0$, ta được $ax+b=0$ nên giao điểm với trục $Ox$ là $B(–\frac{b}{a};0)$. Nếu $b\ne 0$, hai giao điểm này phân biệt và có thể dùng để vẽ đồ thị.

Nếu $b=0$, hai giao điểm nói trên cùng là gốc $O$. Khi vẽ $y=ax$, cần lấy thêm một điểm khác, chẳng hạn $M(1;a)$, rồi kẻ đường thẳng $OM$.

Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị khi $y_0=a{x}_0+b$. Nếu biết đồ thị đi qua các điểm thích hợp, thay tọa độ vào công thức để tìm hệ số chưa biết; sau đó kiểm tra điều kiện $a\ne 0$.

Số $a$ trong phương trình $y=ax+b$, với $a\ne 0$, được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Để đọc đúng hệ số góc, cần viết phương trình về dạng trên; chẳng hạn $y=5–3x$ có hệ số góc $–3$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương của trục $Ox$, xét theo quy ước góc từ $0$ đến $180$ độ. Khi $a>0$, $\alpha$ là góc nhọn và đường thẳng đi lên từ trái sang phải. Khi $a<0$, $\alpha$ là góc tù và đường thẳng đi xuống từ trái sang phải.

Hai đường thẳng $y=a_{1}x+b_1$ và $y=a_{2}x+b_2$, với $a_{\mathrm{1,}}{a}_2\ne 0$, song song khi $a_1=a_2$ và $b_1\ne b_2$. Nếu cả hai hệ số bằng nhau, tức $a_1=a_2$ và $b_1=b_2$, chúng trùng nhau.

Nếu $a_1\ne a_2$, hai đường thẳng cắt nhau. Hoành độ giao điểm thỏa $a_{1}x+b_1=a_{2}x+b_2$; sau khi tìm được $x$, thay vào một trong hai công thức để tìm tung độ $y$.

Biết hệ số góc $a$ và một điểm $M(x_0;y_0)$, ta tìm được $b$ bằng cách thay vào $y_0=a{x}_0+b$. Nếu biết hai điểm có hoành độ khác nhau, có thể thay lần lượt tọa độ và trừ hai đẳng thức để tìm $a$, rồi tìm $b$.

Trong mô hình chi phí $y=ax+b$, nếu $x$ tăng thêm $1$ đơn vị thì $y$ thay đổi thêm $a$ đơn vị. Khi so sánh hai bảng giá, cần xét cả hệ số góc và khoản phí cố định $b$, đồng thời giữ cùng đơn vị tiền và thời gian.