Toán 9 HKII – Hàm số và phương trình bậc hai

Sơ đồ kiến thức của chương

Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Hàm số và đồ thị

$y = a x^{2}$ , $a \neq 0$ ; lập bảng giá trị, đỉnh O, trục đối xứng Oy, hướng mở theo dấu a.

Phương trình bậc hai

Thu gọn về $a x^{2} + b x + c = 0$ , kiểm tra $a \neq 0$ ; tính $Δ = b^{2} - 4 a c$ và xét số nghiệm thực.

Định lí Viète

Khi có hai nghiệm thực: $S = - \frac{b}{a}$ , $P = \frac{c}{a}$ ; tính nhẩm nghiệm, tìm hai số và biến đổi biểu thức đối xứng.

Lập phương trình

Chọn ẩn và điều kiện; biểu diễn đại lượng; lập, giải, kiểm tra nghiệm; trả lời kèm đơn vị.

Bài 18

Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Lập bảng giá trị, xác định điểm thuộc đồ thị của hàm số $y = a x^{2}$ với $a \neq 0$ .
Vẽ parabol; nhận biết đỉnh, trục đối xứng và hướng mở của đồ thị.
Tìm hệ số của hàm số từ một điểm đã biết và vận dụng mô hình bình phương vào bài toán thực tế.

Hệ trục tọa độ có lưới đơn vị; hai parabol y bằng x bình phương và y bằng âm x bình phương cùng có đỉnh O, trục đối xứng Oy, mở theo hai hướng ngược nhau.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Hàm số $y = a x^{2}$ có hệ số $a$ là một số thực khác 0. Mỗi số thực $x$ xác định đúng một giá trị $y$ bằng cách bình phương $x$ rồi nhân với $a$ . Khi thay một số âm vào $x$ , cần đặt số âm trong ngoặc trước khi bình phương.

Để lập bảng giá trị, nên chọn một số hoành độ đối nhau và thêm $x = 0$ . Tính từng bình phương rồi nhân với hệ số $a$ . Cặp hoành độ $x$ và $- x$ luôn cho cùng tung độ, nên bảng giá trị có tính đối xứng và có thể dùng để kiểm tra phép tính.

Đồ thị của hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq 0$ ) là một đường cong gọi là parabol, có đỉnh $O (0; 0)$ và nhận trục tung $O y$ làm trục đối xứng. Hai điểm có hoành độ đối nhau trên đồ thị đối xứng với nhau qua $O y$ .

Nếu $a > 0$ , parabol mở lên: với $x \neq 0$ thì $y > 0$ , còn tại $x = 0$ thì $y = 0$ . Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0. Nếu $a < 0$ , parabol mở xuống: với $x \neq 0$ thì $y < 0$ , và giá trị lớn nhất của hàm số là 0, cũng đạt tại $x = 0$ .

Muốn vẽ đồ thị, lập bảng giá trị, biểu diễn các điểm tương ứng trên mặt phẳng tọa độ rồi vẽ một đường cong trơn đi qua chúng. Cần giữ đúng tỉ lệ trên mỗi trục, kiểm tra đỉnh O và tính đối xứng. Các đoạn thẳng nối liên tiếp những điểm trong bảng chỉ là đường gấp khúc, chưa phải parabol.

Muốn kiểm tra điểm $M (u; v)$ thuộc đồ thị hay không, so sánh $v$ với $a u^{2}$ . Nếu biết một điểm có $u \neq 0$ thuộc đồ thị thì tìm được $a = \frac{v}{u^{2}}$ , sau đó kiểm tra $a \neq 0$ . Trong bài toán thực tế, cần bổ sung miền giá trị có ý nghĩa của biến, chẳng hạn thời gian không âm hoặc độ dài dương.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Trong hàm số $y = a x^{2}$ đang xét, hệ số $a$ phải thỏa mãn .
Với $y = 2 x^{2}$ , khi $x = - 3$ thì $y =$ .
Đồ thị $y = a x^{2}$ ( $a \neq 0$ ) nhận làm trục đối xứng.
Khi $a > 0$ , parabol $y = a x^{2}$ mở về phía .
Điểm $M (u; v)$ thuộc đồ thị $y = a x^{2}$ khi .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3 x^{2}$ là , đạt tại $x = 0$ .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Lập bảng giá trị của hàm số

y = \frac{1}{2} x^{2}

tại

x = - 4; - 2; 0; 2; 4

. Vẽ đồ thị và nêu đỉnh, trục đối xứng, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Parabol y bằng một phần hai x bình phương, có các điểm âm 4;8, âm 2;2, O, 2;2, 4;8, trên hệ trục có lưới đơn vị.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Với $x = - 4$ , ta có $y = \frac{1}{2} \cdot (- 4)^{2} = 8$ ; với $x = - 2$ , ta có $y = \frac{1}{2} \cdot (- 2)^{2} = 2$ .
Với $x = 0; 2; 4$ , các giá trị tương ứng của $y$ là $0; 2; 8$ . Bảng giá trị gồm các cặp $(- 4; 8)$ , $(- 2; 2)$ , $(0; 0)$ , $(2; 2)$ , $(4; 8)$ .
Biểu diễn năm điểm rồi vẽ đường cong trơn qua các điểm, đối xứng qua trục tung, như hình minh họa.
Đồ thị có đỉnh $O (0; 0)$ , trục đối xứng $O y$ và mở lên vì $\frac{1}{2} > 0$ .
Vì $\frac{1}{2} x^{2} \geq 0$ với mọi $x$ , giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt khi $x = 0$ .

Ví dụ 2

Đồ thị hàm số

y = a x^{2}

đi qua

P (- 3; - 18)

. Tìm

a

; kiểm tra các điểm

Q (2; - 8)

R (1; 2)

có thuộc đồ thị không; tìm những điểm trên đồ thị có tung độ

- 50

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì $P (- 3; - 18)$ thuộc đồ thị nên $- 18 = a \cdot (- 3)^{2} = 9 a$ , suy ra $a = - 2 \neq 0$ . Hàm số cần tìm là $y = - 2 x^{2}$ .
Với hoành độ 2, ta có $- 2 \cdot 2^{2} = - 8$ , bằng tung độ của Q, nên Q thuộc đồ thị.
Với hoành độ 1, ta có $- 2 \cdot 1^{2} = - 2 \neq 2$ , nên R không thuộc đồ thị.
Tung độ bằng $- 50$ khi $- 2 x^{2} = - 50$ , hay $x^{2} = 25$ . Do đó $x = 5$ hoặc $x = - 5$ .
Hai điểm cần tìm là $(5; - 50)$ và $(- 5; - 50)$ ; chúng đối xứng nhau qua $O y$ .

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Cho hàm số

y = - 3 x^{2}

. Tính

y

tại

x = - 2; - 1; 0; 1; 2

và chỉ ra các cặp hoành độ cho cùng một tung độ.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Lần lượt thay các giá trị của $x$ vào công thức: $- 3 (- 2)^{2} = - 12$ ; $- 3 (- 1)^{2} = - 3$ ; $- 3 \cdot 0^{2} = 0$ .
Với $x = 1$ và $x = 2$ , ta được $y = - 3$ và $y = - 12$ .
Bảng giá trị theo thứ tự đã cho là $- 12; - 3; 0; - 3; - 12$ .
Hai hoành độ $- 2$ và 2 cùng cho tung độ $- 12$ ; hai hoành độ $- 1$ và 1 cùng cho tung độ $- 3$ . Đây là hệ quả của $(- x)^{2} = x^{2}$ .

Bài 2Cơ bản

Trong các hàm số

y = 4 x^{2}

;

y = 0

;

y = - x^{2}

;

y = 2 x + 1

, hàm số nào có dạng

y = a x^{2}

với

a \neq 0

? Với mỗi hàm số chọn được, nêu hệ số

a

và hướng mở của đồ thị.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hàm số $y = 4 x^{2}$ có dạng yêu cầu với $a = 4 > 0$ , nên đồ thị là parabol mở lên.
Hàm số $y = - x^{2}$ có hệ số $a = - 1 < 0$ , nên đồ thị là parabol mở xuống.
Hàm số $y = 0$ tương ứng với hệ số $a = 0$ nếu viết $y = 0 x^{2}$ , nên không thỏa điều kiện $a \neq 0$ .
Hàm số $y = 2 x + 1$ là hàm số bậc nhất, không có dạng $y = a x^{2}$ với $a \neq 0$ .

Bài 3Thông hiểu

Lập bảng giá trị và vẽ đồ thị

y = - \frac{1}{2} x^{2}

với các hoành độ

- 4; - 2; 0; 2; 4

trên lưới bên dưới. Nêu giá trị lớn nhất của hàm số và các hoành độ ứng với tung độ

- 8

Lưới tọa độ trống có trục hoành từ âm 5 đến 5 và trục tung từ âm 9 đến 1, mỗi ô có cạnh một đơn vị, dành cho bài tập vẽ parabol.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tại $x = - 4; - 2; 0; 2; 4$ , các giá trị tương ứng của $y$ là $- 8; - 2; 0; - 2; - 8$ .
Đánh dấu năm điểm $(- 4; - 8)$ , $(- 2; - 2)$ , $O (0; 0)$ , $(2; - 2)$ , $(4; - 8)$ ; vẽ đường cong trơn qua chúng, đối xứng qua $O y$ và mở xuống.
Vì $- \frac{1}{2} x^{2} \leq 0$ , giá trị lớn nhất là 0, đạt tại $x = 0$ .
Khi $y = - 8$ , ta có $- \frac{1}{2} x^{2} = - 8$ , suy ra $x^{2} = 16$ , nên $x = - 4$ hoặc $x = 4$ .

Bài 4Thông hiểu

Parabol

y = a x^{2}

đi qua

A (2; 3)

. Xác định hàm số, tính tung độ của điểm trên đồ thị có hoành độ

- 4

và giải thích vì sao

M (- 2; 3)

cũng thuộc parabol.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Thay tọa độ A vào công thức, ta được $3 = a \cdot 2^{2} = 4 a$ , nên $a = \frac{3}{4} \neq 0$ .
Hàm số cần tìm là $y = \frac{3}{4} x^{2}$ . Tại $x = - 4$ , ta có $y = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$ .
Tại $x = - 2$ , ta có $y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ , đúng bằng tung độ của M, nên M thuộc đồ thị.
Cũng có thể giải thích rằng A và M đối xứng qua trục tung, là trục đối xứng của parabol.

Bài 5Vận dụng

Trong một bài toán mô phỏng, diện tích vùng tròn được tính theo

S = 3, 14 r^{2}

, với

r > 0

tính bằng mét và

S

tính bằng mét vuông. Tính

S

khi

r = 2

. Nếu bán kính tăng từ 2 m lên 6 m thì diện tích tăng bao nhiêu lần? Giải thích bằng công thức hàm số.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Khi $r = 2$ , diện tích là $S = 3, 14 \cdot 2^{2} = 12, 56$ (m²).
Khi $r = 6$ , diện tích là $S = 3, 14 \cdot 6^{2} = 113, 04$ (m²).
Tỉ số hai diện tích là $\frac{113, 04}{12, 56} = 9$ . Vậy diện tích mới gấp 9 lần diện tích ban đầu.
Có thể tính trực tiếp: bán kính gấp 3 lần nên $S (3 r) = 3, 14 (3 r)^{2} = 9 \cdot 3, 14 r^{2} = 9 S (r)$ . Diện tích tăng theo bình phương của hệ số tăng bán kính.

Bài 6Vận dụng

Trong một mô hình mô phỏng chuyển động, quãng đường được cho bởi

s = 2 t^{2}

, với

t \geq 0

tính bằng giây và

s

tính bằng mét. Tính quãng đường sau 3 giây; tìm thời gian để đi được 50 m; so sánh quãng đường đi thêm từ giây thứ 2 đến giây thứ 3 với từ giây thứ 3 đến giây thứ 4.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Sau 3 giây, quãng đường là $s (3) = 2 \cdot 3^{2} = 18$ (m).
Để đi được 50 m, ta giải $2 t^{2} = 50$ , suy ra $t^{2} = 25$ nên $t = 5$ hoặc $t = - 5$ . Vì $t \geq 0$ , chỉ nhận $t = 5$ giây.
Ta có $s (2) = 8$ m và $s (4) = 32$ m. Từ giây thứ 2 đến giây thứ 3, đi thêm $18 - 8 = 10$ m.
Từ giây thứ 3 đến giây thứ 4, đi thêm $32 - 18 = 14$ m. Trong hai khoảng thời gian đều dài 1 giây, quãng đường đi thêm lần sau lớn hơn lần trước 4 m.

↑ Danh mục chương VI

Bài 19

Phương trình bậc hai một ẩn

Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn và xác định chính xác các hệ số sau khi thu gọn.
Giải phương trình bằng phân tích thành nhân tử, công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn.
Dùng biệt thức để xét số nghiệm thực và giải một số bài toán tham số đơn giản.

Sơ đồ xét dấu biệt thức delta: dương thì hai nghiệm thực phân biệt, bằng không thì nghiệm kép, âm thì không có nghiệm thực.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a x^{2} + b x + c = 0$ , trong đó $a, b, c$ là các số đã cho và $a \neq 0$ . Trước khi đọc hệ số, cần chuyển các số hạng về cùng một vế và thu gọn. Dấu âm đứng trước một số hạng là một phần của hệ số của số hạng đó.

Một số phương trình giải được nhanh mà không cần công thức nghiệm. Nếu $c = 0$ , đặt nhân tử chung: $a x^{2} + b x = x (a x + b)$ . Nếu $b = 0$ , đưa về $x^{2} = - \frac{c}{a}$ : vế phải dương cho hai nghiệm đối nhau, bằng 0 cho nghiệm 0, âm thì không có nghiệm thực.

Với $a x^{2} + b x + c = 0$ và $a \neq 0$ , tính biệt thức $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Nếu $Δ > 0$ , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ và $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ . Cả tử số trong mỗi công thức được chia cho $2 a$ .

Nếu $Δ = 0$ , hai giá trị trong công thức nghiệm trùng nhau, cho nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ . Nếu $Δ < 0$ , phương trình không có nghiệm trong tập số thực. Vì vậy, chỉ tính $\sqrt{Δ}$ trong công thức nghiệm thực khi đã biết $Δ \geq 0$ .

Khi $b = 2 b ‘$ , có thể dùng biệt thức thu gọn $Δ ‘ = b ‘^{2} - a c$ . Nếu $Δ ‘ > 0$ , hai nghiệm là $x_{1} = \frac{- b ‘ + \sqrt{Δ ‘}}{a}$ và $x_{2} = \frac{- b ‘ - \sqrt{Δ ‘}}{a}$ . Nếu $Δ ‘ = 0$ , nghiệm kép là $- \frac{b ‘}{a}$ ; nếu $Δ ‘ < 0$ , phương trình không có nghiệm thực. Không được trộn tử của công thức thu gọn với mẫu của công thức đầy đủ.

Sau khi giải, có thể thay từng nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra. Với bài toán chứa tham số, trước hết cần xét điều kiện để hệ số của $x^{2}$ khác 0, rồi mới dùng biệt thức. Giữ nghiệm dưới dạng phân số hoặc căn thức chính xác; chỉ làm tròn khi đề bài yêu cầu.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn khi .
Trong phương trình $5 x^{2} - 20 = 0$ , hệ số $b$ bằng .
Biệt thức của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ là .
Nếu $Δ > 0$ , phương trình bậc hai có nghiệm thực phân biệt.
Nếu $Δ = 0$ , nghiệm kép là .
Nếu $Δ < 0$ , phương trình bậc hai .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Giải phương trình

2 x^{2} - 5 x - 3 = 0

bằng công thức nghiệm và kiểm tra các nghiệm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Ta có $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = - 3$ ; do đó $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49 > 0$ .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{12}{4} = 3$ và $x_{2} = \frac{5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$ .
Kiểm tra $x = 3$ : $2 \cdot 3^{2} - 5 \cdot 3 - 3 = 18 - 15 - 3 = 0$ .
Kiểm tra $x = - \frac{1}{2}$ : $2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 3$ và $x = - \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2

Xét số nghiệm thực rồi giải các phương trình nếu có nghiệm: a)

3 x^{2} - 12 x + 12 = 0

; b)

x^{2} + 4 x + 7 = 0

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Với $a = 3$ , $b = - 12$ , $c = 12$ , ta có $Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$ .
Phương trình có nghiệm kép $x = - \frac{- 12}{2 \cdot 3} = 2$ . Cũng có thể viết vế trái thành $3 (x - 2)^{2}$ .
b) Với $a = 1$ , $b = 4$ , $c = 7$ , ta có $Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = - 12 < 0$ .
Vì biệt thức âm, phương trình ở b) không có nghiệm thực.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Đưa phương trình

2 x (x - 1) = x + 9

về dạng

a x^{2} + b x + c = 0

, nêu các hệ số và kiểm tra

x = 3

x = - 1

có là nghiệm không.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Khai triển và chuyển vế: $2 x^{2} - 2 x - x - 9 = 0$ , hay $2 x^{2} - 3 x - 9 = 0$ .
Các hệ số là $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = - 9$ ; $a \neq 0$ nên đây là phương trình bậc hai.
Với $x = 3$ , vế trái của phương trình thu gọn bằng $2 \cdot 9 - 9 - 9 = 0$ , nên 3 là nghiệm.
Với $x = - 1$ , vế trái bằng $2 \cdot 1 + 3 - 9 = - 4 \neq 0$ , nên $- 1$ không là nghiệm.

Bài 2Cơ bản

Giải các phương trình: a)

3 x^{2} - 27 = 0

; b)

2 x^{2} + 7 x = 0

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) $3 x^{2} - 27 = 0$ tương đương $x^{2} = 9$ , nên $x = 3$ hoặc $x = - 3$ .
b) Đặt nhân tử chung x: $2 x^{2} + 7 x = x (2 x + 7)$ . Phương trình tương đương $x (2 x + 7) = 0$ .
Do đó $x = 0$ hoặc $2 x + 7 = 0$ . Kết luận các nghiệm ở b) là $x = 0$ và $x = - \frac{7}{2}$ .

Bài 3Thông hiểu

Giải phương trình

3 x^{2} - 2 x - 2 = 0

. Viết nghiệm dưới dạng căn thức chính xác.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Ta có $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = - 2$ và $Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2) = 4 + 24 = 28 > 0$ .
Vì $\sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$ , công thức nghiệm cho $x_{1} = \frac{2 + 2 \sqrt{7}}{6}$ và $x_{2} = \frac{2 - 2 \sqrt{7}}{6}$ .
Rút gọn cả tử và mẫu cho 2, được $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$ , $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$ .
Đây là hai nghiệm thực phân biệt; không cần đổi căn thức thành số thập phân.

Bài 4Thông hiểu

Giải phương trình

4 x^{2} - 12 x + 5 = 0

bằng công thức nghiệm thu gọn và kiểm tra kết quả bằng cách thay nghiệm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Với $a = 4$ , $b = - 12 = 2 \cdot (- 6)$ , $c = 5$ , chọn $b ‘ = - 6$ .
Ta có $Δ ‘ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0$ .
Hai nghiệm là $x_{1} = \frac{6 + 4}{4} = \frac{5}{2}$ và $x_{2} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{1}{2}$ .
Thay $x = \frac{5}{2}$ : $4 \cdot \frac{25}{4} - 12 \cdot \frac{5}{2} + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$ .
Thay $x = \frac{1}{2}$ : $4 \cdot \frac{1}{4} - 12 \cdot \frac{1}{2} + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$ . Cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Bài 5Vận dụng

Cho phương trình

x^{2} - 6 x + m = 0

với tham số thực

m

. Tìm

m

để phương trình có nghiệm kép và nêu nghiệm đó. Sau đó giải phương trình khi

m = 8

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hệ số của $x^{2}$ là 1 nên phương trình luôn là bậc hai. Biệt thức là $Δ = (- 6)^{2} - 4 m = 36 - 4 m$ .
Phương trình có nghiệm kép khi $36 - 4 m = 0$ , suy ra $m = 9$ .
Khi đó nghiệm kép là $x = - \frac{- 6}{2} = 3$ , phù hợp với $(x - 3)^{2} = 0$ .
Khi $m = 8$ , phương trình là $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ , có $Δ = 36 - 32 = 4$ .
Hai nghiệm là $x_{1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$ và $x_{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$ .

Bài 6Vận dụng

Cho

m \geq 0

. Chứng minh phương trình

(m + 1) x^{2} - 2 x - 1 = 0

luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Giải phương trình khi

m = 2

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì $m \geq 0$ nên $a = m + 1 \geq 1 > 0$ , do đó phương trình luôn là bậc hai.
Biệt thức là $Δ = (- 2)^{2} - 4 (m + 1) (- 1) = 4 + 4 m + 4 = 4 m + 8$ .
Với $m \geq 0$ , ta có $4 m + 8 \geq 8 > 0$ . Vì vậy, phương trình luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Khi $m = 2$ , phương trình trở thành $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ , có $Δ = 16$ .
Hai nghiệm là $x_{1} = \frac{2 + 4}{6} = 1$ và $x_{2} = \frac{2 - 4}{6} = - \frac{1}{3}$ .

↑ Danh mục chương VI

Bài 20

Định lí Viète và ứng dụng

Tính tổng, tích của hai nghiệm thực bằng định lí Viète và chú ý điều kiện có nghiệm.
Tính nhẩm nghiệm trong trường hợp thuận lợi; tìm hai số biết tổng và tích.
Biến đổi một số biểu thức đối xứng của hai nghiệm và giải bài toán tham số đơn giản.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Nếu $x_{1,} x_{2}$ là hai nghiệm thực của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ), định lí Viète cho $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ và $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Khi phương trình có nghiệm kép, vẫn có thể viết $x_{1} = x_{2}$ và áp dụng các hệ thức này. Trước khi nói đến hai nghiệm thực, cần kiểm tra $Δ \geq 0$ hoặc có lập luận khác bảo đảm điều đó.

Đặt $S = x_{1} + x_{2}$ và $P = x_{1} x_{2}$ . Khi đó $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ và $(x_{1} - x_{2})^{2} = S^{2} - 4 P$ . Nếu $P \neq 0$ , cả hai nghiệm đều khác 0, nên $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{S}{P}$ . Những biểu thức này thường được tính mà không cần giải riêng từng nghiệm.

Nếu $a + b + c = 0$ thì $x = 1$ là một nghiệm của phương trình. Do tích hai nghiệm là $\frac{c}{a}$ , nghiệm còn lại bằng $\frac{c}{a}$ . Cách tính nhẩm này vẫn đúng khi hai nghiệm trùng nhau; cần ghi đầy đủ cả hai giá trị theo yêu cầu bài toán.

Nếu $a - b + c = 0$ thì $x = - 1$ là một nghiệm. Dùng hệ thức tích $(- 1) x_{2} = \frac{c}{a}$ , suy ra nghiệm còn lại là $x_{2} = - \frac{c}{a}$ . Dấu âm ở nghiệm thứ hai là kết quả của việc chia cho $- 1$ .

Để tìm hai số thực có tổng S và tích P, giải phương trình $t^{2} - S t + P = 0$ . Hai số thực như vậy tồn tại khi và chỉ khi $S^{2} - 4 P \geq 0$ ; chúng bằng nhau nếu dấu bằng xảy ra. Sau khi tìm được, kiểm tra lại cả tổng lẫn tích và các điều kiện bổ sung của bài toán.

Với hai nghiệm thực, tích âm cho hai nghiệm trái dấu; tích dương cho hai nghiệm cùng dấu. Nếu tích dương và tổng dương thì cả hai nghiệm dương; nếu tích dương và tổng âm thì cả hai nghiệm âm. Khi bài yêu cầu hai nghiệm phân biệt, cần bổ sung $Δ > 0$ ; điều kiện về dấu của tổng, tích không thay thế điều kiện có nghiệm thực.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Nếu $x_{1,} x_{2}$ là hai nghiệm thực của $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ), thì tổng $x_{1} + x_{2}$ bằng .
Theo định lí Viète, tích $x_{1} x_{2}$ của hai nghiệm bằng .
Với $a \neq 0$ , nếu $a + b + c = 0$ thì một nghiệm của $a x^{2} + b x + c = 0$ là .
Với $a \neq 0$ , nếu $a - b + c = 0$ thì một nghiệm của $a x^{2} + b x + c = 0$ là .
Hai số có tổng $S$ và tích $P$ , nếu tồn tại, là nghiệm của phương trình .
Nếu phương trình có hai nghiệm thực và $c \neq 0$ , thì $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ bằng .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Không giải phương trình

2 x^{2} - 7 x + 4 = 0

, hãy chứng minh phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

x_{1,} x_{2}

rồi tính

x_{1} + x_{2}

x_{1} x_{2}

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

và

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Biệt thức là $Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17 > 0$ , nên hai nghiệm thực phân biệt tồn tại.
Theo Viète, $S = x_{1} + x_{2} = \frac{7}{2}$ và $P = x_{1} x_{2} = \frac{4}{2} = 2$ .
Ta có $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = \frac{49}{4} - 4 = \frac{33}{4}$ .
Vì $P = 2 \neq 0$ , cả hai nghiệm đều khác 0. Do đó $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{S}{P} = \frac{7 / 2}{2} = \frac{7}{4}$ .

Ví dụ 2

Tìm hai số thực có tổng bằng 9 và tích bằng 14.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hai số cần tìm, nếu tồn tại, là nghiệm của phương trình $t^{2} - 9 t + 14 = 0$ .
Biệt thức $Δ = (- 9)^{2} - 4 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 > 0$ , nên tồn tại hai số thực phân biệt.
Các nghiệm là $t_{1} = \frac{9 + 5}{2} = 7$ và $t_{2} = \frac{9 - 5}{2} = 2$ .
Kiểm tra: $7 + 2 = 9$ và $7 \cdot 2 = 14$ . Vậy hai số cần tìm là 2 và 7.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Tổng hai nghiệm là $S = - 3 + 4 = 1$ ; tích hai nghiệm là $P = (- 3) \cdot 4 = - 12$ .
Phương trình cần tìm có dạng $x^{2} - S x + P = 0$ , nên là $x^{2} - x - 12 = 0$ .
Ta có $x^{2} - x - 12 = (x + 3) (x - 4)$ . Vì vậy, phương trình có đúng hai nghiệm $x = - 3$ và $x = 4$ , với hệ số của $x^{2}$ bằng 1 như yêu cầu.

Bài 4Thông hiểu

Gọi

x_{1,} x_{2}

là hai nghiệm của

x^{2} - 5 x - 2 = 0

. Không giải phương trình, tính

A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

và

B = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}

. Giải thích vì sao B xác định.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Ta có $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 33 > 0$ , nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Theo Viète, $S = x_{1} + x_{2} = 5$ và $P = x_{1} x_{2} = - 2$ .
Do đó $A = S^{2} - 2 P = 25 - 2 (- 2) = 29$ .
Vì $P = - 2 \neq 0$ , cả hai nghiệm đều khác 0, nên B xác định. Ta có $B = \frac{S}{P} = - \frac{5}{2}$ .

Bài 5Vận dụng

Một khung hình chữ nhật có chu vi 30 cm và diện tích 54 cm². Dùng cách tìm hai số biết tổng và tích để xác định chiều dài, chiều rộng của khung.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi chiều dài và chiều rộng là hai số dương. Tổng của chúng bằng nửa chu vi: $S = \frac{30}{2} = 15$ (cm); tích bằng diện tích: $P = 54$ (cm²).
Hai kích thước là nghiệm của phương trình $t^{2} - 15 t + 54 = 0$ .
Biệt thức $Δ = 225 - 216 = 9$ , nên $t_{1} = \frac{15 + 3}{2} = 9$ và $t_{2} = \frac{15 - 3}{2} = 6$ .
Cả hai số đều dương. Chiều dài là 9 cm, chiều rộng là 6 cm; kiểm tra $2 (9 + 6) = 30$ cm và $9 \cdot 6 = 54$ cm².

Bài 6Vận dụng

Tìm tham số thực

m

để phương trình

x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0

có hai nghiệm dương phân biệt

x_{1,} x_{2}

thỏa mãn

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 20

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Biệt thức là $Δ = (m + 2)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = (m - 2)^{2}$ . Phương trình luôn có nghiệm thực, và hai nghiệm phân biệt khi $m \neq 2$ .
Theo Viète, $S = x_{1} + x_{2} = m + 2$ và $P = x_{1} x_{2} = 2 m$ . Hai nghiệm cùng dương khi $P > 0$ và $S > 0$ , tương đương $m > 0$ trong bài này.
Điều kiện về tổng bình phương trở thành $S^{2} - 2 P = (m + 2)^{2} - 4 m = m^{2} + 4 = 20$ .
Suy ra $m^{2} = 16$ , nên $m = 4$ hoặc $m = - 4$ . Điều kiện $m > 0$ loại $m = - 4$ ; $m = 4$ cũng thỏa $m \neq 2$ .
Với $m = 4$ , phương trình là $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ , có hai nghiệm 2 và 4. Hai nghiệm dương, phân biệt và $2^{2} + 4^{2} = 20$ . Vậy $m = 4$ .

↑ Danh mục chương VI

Bài 21

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chọn ẩn, đặt điều kiện và biểu diễn các đại lượng của bài toán bằng một ẩn.
Lập và giải phương trình bậc hai từ quan hệ về diện tích, chuyển động hoặc năng suất.
Đối chiếu nghiệm với điều kiện, kiểm tra dữ kiện ban đầu và trả lời kèm đơn vị.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Bước đầu tiên là đọc rõ dữ kiện và yêu cầu, chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn rồi đặt điều kiện. Độ dài, thời gian, vận tốc thường dương; số người hoặc số sản phẩm là số nguyên dương. Nếu ẩn xuất hiện ở mẫu số, điều kiện còn phải bảo đảm mọi mẫu số khác 0.

Dùng ẩn đã chọn để biểu diễn các đại lượng còn lại, ghi kèm đơn vị khi cần. Xác định một quan hệ chứa đủ dữ kiện để lập phương trình: diện tích bằng tích hai kích thước, quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, hoặc tổng khối lượng bằng năng suất nhân thời gian.

Sau khi lập phương trình, biến đổi và giải. Nếu đã nhân với biểu thức chứa ẩn, phải giữ điều kiện của các mẫu số ban đầu. Mỗi nghiệm tìm được cần được kiểm tra với điều kiện của ẩn và với tình huống; nghiệm không phù hợp phải bị loại và nêu rõ lí do.

Trong bài toán hình chữ nhật, nếu chiều dài hơn chiều rộng d đơn vị thì có thể đặt chiều rộng là $x > 0$ , chiều dài là $x + d$ . Với lối đi đều nằm bên trong bốn cạnh của hình chữ nhật dài L, rộng W, phần còn lại có kích thước $L - 2 x$ và $W - 2 x$ ; cần $0 < x < \frac{W}{2}$ khi $L \geq W$ .

Trong bài toán chuyển động đều, dùng $t = \frac{s}{v}$ và thống nhất đơn vị. Nếu cùng quãng đường mà vận tốc tăng, thời gian giảm; hiệu thời gian phải được lập theo đúng thứ tự. Với thuyền đi trong dòng nước, vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc nước yên cộng vận tốc dòng nước, còn vận tốc ngược dòng bằng hiệu của hai vận tốc đó và phải dương.

Trong bài toán số học, hai số tự nhiên liên tiếp có thể viết là $n$ và $n + 1$ ; hai số lẻ liên tiếp là $n$ và $n + 2$ , với n lẻ. Cần giữ đúng điều kiện nguyên, dương hoặc chẵn lẻ mà đề nêu. Cuối cùng, thay kết quả vào quan hệ ban đầu và trả lời đầy đủ các đại lượng được hỏi.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Khi chọn ẩn là một độ dài x, điều kiện cơ bản là .
Hình chữ nhật có chiều rộng x và chiều dài $x + 3$ thì diện tích bằng .
Đi quãng đường s với vận tốc không đổi $v > 0$ , thời gian là .
Nếu làm đều x sản phẩm mỗi ngày và cần làm N sản phẩm, số ngày làm là .
Sau khi giải phương trình, phải trước khi kết luận đáp số.
Câu trả lời cuối cùng cần nêu đúng đại lượng được hỏi và .

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3 m và diện tích 70 m². Tính các kích thước của mảnh vườn.

Hình chữ nhật có chiều rộng x mét, chiều dài x cộng 3 mét và diện tích 70 mét vuông. Kích thước hình minh họa tỉ lệ với nghiệm 7 mét và 10 mét.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi chiều rộng là $x$ (m), điều kiện $x > 0$ . Khi đó chiều dài là $x + 3$ (m).
Theo diện tích, ta có $x (x + 3) = 70$ , hay $x^{2} + 3 x - 70 = 0$ .
Phân tích thành nhân tử: $(x - 7) (x + 10) = 0$ , nên $x = 7$ hoặc $x = - 10$ .
Giá trị $x = - 10$ không thỏa $x > 0$ nên bị loại; $x = 7$ thỏa điều kiện. Chiều dài là $7 + 3 = 10$ (m).
Kiểm tra: $10 - 7 = 3$ m và $7 \cdot 10 = 70$ m². Vậy mảnh vườn rộng 7 m, dài 10 m.

Ví dụ 2

Một người dự định đi xe đạp quãng đường 60 km với vận tốc không đổi. Nếu tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian đi giảm 1 giờ. Tính vận tốc dự định, bỏ qua thời gian nghỉ.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi vận tốc dự định là $x$ (km/h), điều kiện $x > 0$ . Vận tốc sau khi tăng là $x + 3$ (km/h).
Thời gian dự định là $\frac{60}{x}$ giờ; thời gian khi tăng vận tốc là $\frac{60}{x + 3}$ giờ. Theo đề, $\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 3} = 1$ .
Vì $x > 0$ , hai mẫu đều khác 0. Nhân với $x (x + 3)$ , được $60 (x + 3) - 60 x = x (x + 3)$ , hay $x^{2} + 3 x - 180 = 0$ .
Ta có $(x - 12) (x + 15) = 0$ , nên $x = 12$ hoặc $x = - 15$ . Loại $- 15$ vì vận tốc phải dương.
Với $x = 12$ , thời gian dự định là $60 : 12 = 5$ giờ, thời gian mới là $60 : 15 = 4$ giờ, giảm đúng 1 giờ. Vận tốc dự định là 12 km/h.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Lối đi rộng x mét, điều kiện $0 < x < 6$ để cả hai kích thước phần trồng cây dương. Phần trồng cây dài $18 - 2 x$ mét và rộng $12 - 2 x$ mét.
Diện tích toàn khu vườn là $18 \cdot 12 = 216$ m², nên diện tích phần trồng cây là $216 - 56 = 160$ m².
Lập phương trình $(18 - 2 x) (12 - 2 x) = 160$ . Khai triển và thu gọn: $4 x^{2} - 60 x + 56 = 0$ , hay $x^{2} - 15 x + 14 = 0$ .
Phân tích $(x - 1) (x - 14) = 0$ , được $x = 1$ hoặc $x = 14$ . Chỉ $x = 1$ thỏa $0 < x < 6$ ; $x = 14$ làm các kích thước phần trồng cây không có ý nghĩa.
Khi lối đi rộng 1 m, phần trồng cây có kích thước 16 m và 10 m; diện tích lối đi là $216 - 16 \cdot 10 = 56$ m². Vậy chiều rộng lối đi là 1 m.

Bài 6Vận dụng

Một thuyền máy đi xuôi dòng 24 km rồi ngược dòng 24 km trên cùng một khúc sông, tổng thời gian chạy là 5 giờ. Vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc của thuyền khi nước yên lặng, biết các vận tốc không đổi và không tính thời gian dừng.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi vận tốc thuyền khi nước yên lặng là $x$ (km/h), điều kiện $x > 2$ để thuyền đi ngược dòng được.
Vận tốc xuôi dòng là $x + 2$ , ngược dòng là $x - 2$ (km/h). Tổng thời gian cho phương trình $\frac{24}{x + 2} + \frac{24}{x - 2} = 5$ .
Với $x > 2$ , các mẫu khác 0. Nhân với $(x + 2) (x - 2)$ , được $24 (x - 2) + 24 (x + 2) = 5 (x^{2} - 4)$ , hay $5 x^{2} - 48 x - 20 = 0$ .
Biệt thức $Δ = (- 48)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 20) = 2304 + 400 = 2704 = 52^{2}$ . Hai nghiệm là $x_{1} = \frac{48 + 52}{10} = 10$ và $x_{2} = \frac{48 - 52}{10} = - \frac{2}{5}$ .
Chỉ $x = 10$ thỏa $x > 2$ . Kiểm tra thời gian xuôi dòng $24 : 12 = 2$ giờ, ngược dòng $24 : 8 = 3$ giờ; tổng đúng 5 giờ. Vận tốc thuyền khi nước yên lặng là 10 km/h.

↑ Danh mục chương VI

Toán 9 HKII theo mẫu VSTAR – Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Sơ đồ kiến thức của chương

Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Phương trình bậc hai một ẩn

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Định lí Viète và ứng dụng

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài