Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Góc nội tiếp có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường tròn đó. Với ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ trên đường tròn, $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp. Đỉnh của góc là $A$; hai dây tương ứng là $AB$, $AC$.

Cung bị chắn bởi $\widehat{BAC}$ là cung $BC$ nằm bên trong góc và không chứa đỉnh $A$. Hai điểm $B$, $C$ chia đường tròn thành hai cung, vì thế cần chỉ rõ cung không chứa $A$ trước khi tính.

Số đo một góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn. Nếu cung $BC$ không chứa $A$ có số đo $\alpha$ thì $\widehat{BAC}=\frac{\alpha }{2}$. Ngược lại, số đo cung bị chắn bằng hai lần số đo góc nội tiếp.

Khi góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung nhỏ thì góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm. Chẳng hạn, nếu $A$ thuộc cung lớn $BC$ thì $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$, trong đó $\widehat{BOC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$.

Trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Các góc nội tiếp chắn những cung có số đo bằng nhau cũng bằng nhau. Điều kiện cùng chắn một cung rất quan trọng: hai góc có chung hai đầu mút dây nhưng đỉnh ở hai cung khác nhau có thể không bằng nhau.

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, vì nửa đường tròn có số đo ${180}^{°}$. Nếu $AB$ là đường kính và $C$ là một điểm khác $A$, $B$ trên đường tròn thì $\widehat{ACB}={90}^{°}$. Sau khi nhận ra tam giác vuông, có thể dùng định lí Pythagore hoặc tam giác đồng dạng.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua cả ba đỉnh của tam giác. Tâm $O$ là giao điểm của ba đường trung trực và thỏa mãn $OA=OB=OC=R$. Một tam giác không suy biến luôn có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.

Để dựng đường tròn ngoại tiếp, dựng hai đường trung trực của hai cạnh và lấy giao điểm $O$. Sau đó vẽ đường tròn tâm $O$, bán kính bằng khoảng cách từ $O$ đến một đỉnh. Tâm có thể nằm trong, trên cạnh hoặc ngoài tam giác, tùy dạng tam giác.

Với tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền; bán kính bằng một nửa cạnh huyền. Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $M$ là trung điểm $BC$ thì $MA=MB=MC=\frac{BC}{2}$.

Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cả ba cạnh. Tâm $I$ là giao điểm của ba đường phân giác trong; tâm luôn nằm trong tam giác. Bán kính $r$ là khoảng cách vuông góc từ $I$ đến một cạnh, không phải khoảng cách từ $I$ đến một đỉnh.

Trong tam giác đều cạnh $a$, đường cao có độ dài $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp cùng là trọng tâm. Do trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$, ta có $R=\frac{2h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, nên $R=2r$.

Nối tâm nội tiếp $I$ với ba đỉnh, ta chia tam giác thành ba tam giác có cùng chiều cao $r$ ứng với ba cạnh ban đầu. Vì vậy $S=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)=pr$, trong đó $p=\frac{AB+BC+CA}{2}$ là nửa chu vi. Khi biết diện tích và các cạnh, có thể tính $r=\frac{S}{p}$.

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có cả bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Chỉ có ba đỉnh nằm trên đường tròn thì chưa đủ để kết luận tứ giác nội tiếp.

Với tứ giác nội tiếp $ABCD$, hai cặp góc đối thỏa mãn $\widehat{DAB}+\widehat{BCD}={180}^{°}$ và $\widehat{ABC}+\widehat{CDA}={180}^{°}$. Cần nhận đúng hai góc đối: chúng không chung một cạnh của tứ giác.

Tính chất trên được giải thích bằng góc nội tiếp. Hai góc đối chắn hai cung hợp thành cả đường tròn. Tổng số đo hai cung là ${360}^{°}$, nên tổng số đo hai góc nội tiếp bằng $\frac{{360}^{°}}{2}={180}^{°}$.

Nếu kéo dài một cạnh của tứ giác nội tiếp, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện. Thật vậy, góc ngoài bù với góc trong kề nó; góc ở đỉnh đối diện cũng bù với góc trong đó.

Hình chữ nhật và hình vuông đều nội tiếp được một đường tròn. Tâm là giao điểm của hai đường chéo, vì hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Bán kính bằng nửa đường chéo; với hình vuông cạnh $a$, bán kính bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, có thể tìm điểm $O$ cách đều cả bốn điểm. Một cách thường dùng là nhận ra hai tam giác vuông có chung cạnh huyền: trung điểm cạnh huyền cách đều hai đầu mút và hai đỉnh góc vuông. Luôn kiểm tra các điểm phân biệt và nêu rõ tâm, bán kính.

Đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau được gọi là đa giác đều. Cả hai điều kiện đều cần thiết. Hình thoi có thể có bốn cạnh bằng nhau nhưng các góc không bằng nhau; hình chữ nhật có thể có bốn góc bằng nhau nhưng các cạnh không bằng nhau.

Các đỉnh của một đa giác đều cùng nằm trên một đường tròn. Tâm đường tròn là tâm của đa giác đều. Các đỉnh liên tiếp chia đường tròn thành những cung bằng nhau, nên đa giác đều $n$ cạnh có góc ở tâm chắn một cạnh bằng $\frac{{360}^{°}}{n}$.

Nối tâm với các đỉnh của đa giác đều, ta được các tam giác cân bằng nhau. Mỗi góc trong của đa giác đều bằng ${180}^{°}–\frac{{360}^{°}}{n}$. Chẳng hạn, mỗi góc trong của lục giác đều bằng ${120}^{°}$. Tam giác đều và hình vuông lần lượt là đa giác đều ba cạnh và bốn cạnh.

Một phép quay được xác định bởi tâm quay, góc quay và chiều quay. Phép quay tâm $O$ giữ nguyên $O$; điểm $A$ khác $O$ chuyển thành điểm $A\prime$ sao cho $OA\prime =OA$ và tia $OA$ quay đến tia $OA\prime$ đúng góc, đúng chiều đã nêu. Hai chiều quay là thuận và ngược chiều kim đồng hồ.

Phép quay $0^{°}$ hoặc ${360}^{°}$ giữ nguyên mọi điểm. Phép quay ${180}^{°}$ tâm $O$ biến một điểm thành điểm đối xứng với nó qua $O$. Với góc quay khác $0^{°}$, ${180}^{°}$, ${360}^{°}$, cần nói rõ chiều quay để xác định đúng ảnh của điểm.

Với đa giác đều $n$ cạnh tâm $O$, các phép quay cùng một chiều có góc $\frac{k·{360}^{°}}{n}$, với $k=\mathrm{1,2,}\dots ,n$, giữ nguyên hình đa giác. Một phép quay như vậy đưa mỗi đỉnh đến một đỉnh của hình. Giữ nguyên hình không có nghĩa là từng đỉnh đều đứng yên; dấu hoặc màu trang trí trên hình cũng cần được xét riêng.