Toán 9 HKII – Hình trụ, hình nón và hình cầu

Sơ đồ kiến thức của chương

Một số hình khối trong thực tiễn

Hình trụ

$S_{x q} = 2 π r h$ ; $V = π r^{2} h$ . Đọc đúng bán kính và chiều cao.

Hình nón

$l^{2} = r^{2} + h^{2}$ ; $S_{x q} = π r l$ ; $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ . Không thay chiều cao cho đường sinh.

Hình cầu và mặt cầu

$S = 4 π R^{2}$ ; $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ; đường kính bằng $2 R$ .

Vận dụng đo lường

Đưa về cùng đơn vị; diện tích dùng đơn vị vuông, thể tích dùng đơn vị khối; giữ $π$ hoặc làm tròn theo yêu cầu.

Bài 31

Hình trụ và hình nón

Nhận biết bán kính đáy, chiều cao, đường sinh của hình trụ và hình nón.
Tính diện tích xung quanh, diện tích phần bề mặt cần dùng và thể tích.
Giải bài toán vật liệu, sức chứa hoặc hình ghép; đổi đúng đơn vị diện tích, thể tích.

Bên trái là hình trụ có bán kính r, chiều cao h. Bên phải là hình nón đỉnh S, tâm đáy O, bán kính OA bằng r, chiều cao SO bằng h và đường sinh SA bằng l. Các cạnh khuất, trục bên trong được vẽ nét đứt.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Khi quay một hình chữ nhật quanh đường thẳng chứa một cạnh, ta được hình trụ. Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song. Bán kính đáy kí hiệu $r$ , chiều cao kí hiệu $h$ ; mỗi đường sinh của hình trụ có độ dài bằng $h$ .

Cắt mặt xung quanh hình trụ theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được hình chữ nhật có một cạnh bằng $h$ , cạnh kia bằng chu vi đáy $2 π r$ . Vì vậy diện tích xung quanh là $S_{x q} = 2 π r h$ và thể tích là $V = π r^{2} h$ .

Khi tính diện tích vật liệu của hình trụ, phải xác định số đáy có trong vật thể. Hình trụ kín cả hai đáy có $S_{t p} = 2 π r h + 2 π r^{2}$ . Vật chứa hở miệng, có một đáy, cần diện tích $2 π r h + π r^{2}$ nếu bỏ qua độ dày và mép nối.

Khi quay một tam giác vuông quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông, ta được hình nón. Đỉnh nón là đầu mút cố định phía trên; đáy là hình tròn bán kính $r$ . Chiều cao $h$ vuông góc với mặt đáy, còn đường sinh $l$ nối đỉnh với một điểm trên đường tròn đáy. Tam giác tạo bởi $h$ , $r$ , $l$ vuông, nên $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

Hình nón có diện tích xung quanh $S_{x q} = π r l$ và thể tích $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ . Diện tích toàn phần, gồm mặt xung quanh và một đáy, là $S_{t p} = π r l + π r^{2}$ . Công thức diện tích xung quanh dùng đường sinh $l$ ; công thức thể tích dùng chiều cao $h$ .

Các độ dài trong một công thức phải cùng đơn vị. Diện tích ghi bằng đơn vị vuông, thể tích ghi bằng đơn vị khối; $1$ dm³ bằng $1$ lít và $1$ m³ bằng $1000$ lít. Với hình ghép, cộng thể tích các phần không chồng lên nhau; khi tính diện tích bên ngoài, không cộng các mặt tiếp xúc bên trong.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Đường sinh của hình trụ có độ dài chiều cao $h$ .
Diện tích xung quanh hình trụ bán kính $r$ , chiều cao $h$ là .
Hình nón có bán kính $r$ , chiều cao $h$ , đường sinh $l$ thì .
Diện tích xung quanh hình nón là .
Thể tích hình nón là .
$0, 75$ m³ bằng lít.

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một hộp kín có dạng hình trụ bán kính đáy

4

cm, chiều cao

15

cm. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích. Bỏ qua độ dày của vỏ hộp.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Các kích thước đã cùng đơn vị cm: $r = 4$ , $h = 15$ .
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = 2 π r h = 2 π \cdot 4 \cdot 15 = 120 π$ cm².
Hộp kín có hai đáy, mỗi đáy có diện tích $π \cdot 4^{2} = 16 π$ cm². Vậy $S_{t p} = 120 π + 2 \cdot 16 π = 152 π$ cm².
Thể tích: $V = π r^{2} h = π \cdot 4^{2} \cdot 15 = 240 π$ cm³.

Ví dụ 2

Một hình nón có bán kính đáy

8

cm và chiều cao

15

cm. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích.

Hình nón có bán kính đáy OA bằng 8 cm và chiều cao SO bằng 15 cm. Đường sinh SA chưa biết. Tam giác SOA vuông tại O.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi $S$ là đỉnh, $O$ là tâm đáy, $A$ thuộc đường tròn đáy. Tam giác $S O A$ vuông tại $O$ , với $S O = 15$ cm, $O A = 8$ cm.
Đường sinh $l = S A = \sqrt{15^{2} + 8^{2}} = \sqrt{289} = 17$ cm.
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = π r l = π \cdot 8 \cdot 17 = 136 π$ cm².
Diện tích toàn phần gồm một đáy: $S_{t p} = 136 π + π \cdot 8^{2} = 200 π$ cm².
Thể tích dùng chiều cao $15$ cm: $V = \frac{1}{3} π \cdot 8^{2} \cdot 15 = 320 π$ cm³.

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Hình trụ có đường kính đáy

12

cm, chiều cao

7

cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Bán kính đáy là $r = 12 : 2 = 6$ cm.
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = 2 π \cdot 6 \cdot 7 = 84 π$ cm².
Thể tích: $V = π \cdot 6^{2} \cdot 7 = 252 π$ cm³.

Bài 2Cơ bản

Hình nón có bán kính đáy

7

cm và đường sinh

25

cm. Tính chiều cao, diện tích xung quanh và thể tích.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Từ $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ , ta có $h = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = \sqrt{576} = 24$ cm.
Diện tích xung quanh: $S_{x q} = π \cdot 7 \cdot 25 = 175 π$ cm².
Thể tích: $V = \frac{1}{3} π \cdot 7^{2} \cdot 24 = 392 π$ cm³.

Bài 3Thông hiểu

Một bình hình trụ và một cốc hình nón có cùng bán kính đáy

3

cm, cùng chiều cao

10

cm. Tính thể tích mỗi hình. Cần bao nhiêu cốc nước đầy để đổ đầy bình, nếu không có nước hao hụt?

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Thể tích bình hình trụ: $V_{1} = π \cdot 3^{2} \cdot 10 = 90 π$ cm³.
Thể tích cốc hình nón: $V_{2} = \frac{1}{3} π \cdot 3^{2} \cdot 10 = 30 π$ cm³.
Số cốc đầy cần dùng là $V_{1} : V_{2} = 90 π : 30 π = 3$ . Vậy cần ba cốc nước đầy.

Bài 4Thông hiểu

Một bể hở miệng hình trụ có bán kính trong

0, 4

m, chiều cao trong

1, 2

m. a) Tính diện tích mặt trong cần phủ, gồm thành và đáy. b) Tính sức chứa bằng lít; lấy

π \approx 3, 14

và làm tròn đến lít.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Mặt trong cần phủ gồm mặt xung quanh và một đáy. Diện tích là $S = 2 π \cdot 0, 4 \cdot 1, 2 + π \cdot 0, 4^{2} = 1, 12 π$ m².
b) Thể tích bên trong: $V = π \cdot 0, 4^{2} \cdot 1, 2 = 0, 192 π$ m³.
Đổi sang lít: $V = 192 π$ lít. Với $π \approx 3, 14$ , ta được $V \approx 602, 88$ lít.
Làm tròn đến lít, sức chứa khoảng $603$ lít.

Bài 5Vận dụng

Một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước

24 π

cm và

18

cm. Cuộn tấm bìa sao cho hai cạnh có độ dài

18

cm trùng khít để được mặt xung quanh của hình trụ; không chồng mép. Tính bán kính đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Hai cạnh có độ dài $18$ cm được ghép với nhau nên chúng tạo thành đường sinh; chiều cao là $h = 18$ cm.
Cạnh còn lại quấn trọn một vòng đáy, nên chu vi đáy bằng $24 π$ cm. Từ $2 π r = 24 π$ , suy ra $r = 12$ cm.
Diện tích xung quanh bằng diện tích tấm bìa: $S_{x q} = 24 π \cdot 18 = 432 π$ cm².
Thể tích hình trụ là $V = π \cdot 12^{2} \cdot 18 = 2592 π$ cm³.

Bài 6Vận dụng

Một kho chứa gồm thân hình trụ bán kính

2

m, cao

5

m và mái hình nón cùng bán kính, cao

1, 5

m; bên trong không có vách ngăn. Bỏ qua độ dày. a) Tính thể tích kho. b) Tính diện tích sơn bên ngoài gồm thành trụ và mái nón, không sơn đáy. Với cả hai câu, cho kết quả chính xác và gần đúng khi

π \approx 3, 14

Kho gồm thân hình trụ bán kính 2 m, chiều cao 5 m và mái hình nón cùng bán kính, chiều cao 1,5 m. Không có vách ngăn giữa hai phần.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

a) Thể tích thân trụ là $V_{1} = π \cdot 2^{2} \cdot 5 = 20 π$ m³. Thể tích mái nón là $V_{2} = \frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5 = 2 π$ m³.
Hai phần chỉ tiếp xúc ở mặt đáy, nên thể tích kho bằng tổng: $V = 22 π$ m³, xấp xỉ $69, 08$ m³.
b) Đường sinh mái nón là $l = \sqrt{2^{2} + 1, 5^{2}} = \sqrt{6, 25} = 2, 5$ m.
Diện tích thành trụ là $2 π \cdot 2 \cdot 5 = 20 π$ m². Diện tích mái nón là $π \cdot 2 \cdot 2, 5 = 5 π$ m².
Diện tích cần sơn là $S = 25 π$ m², xấp xỉ $78, 5$ m². Không cộng đáy dưới hoặc mặt tiếp xúc giữa hai phần.

↑ Danh mục chương X

Bài 32

Hình cầu

Phân biệt hình cầu, mặt cầu; nhận biết tâm, bán kính, đường kính và mặt cắt.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu với đúng đơn vị.
Vận dụng công thức trong bài toán thay đổi kích thước, đúc lại vật liệu và hình cầu trong hình trụ.

Hình cầu tâm O có bán kính OM bằng R, đường kính AB bằng 2R. Nửa đường tròn xích đạo ở phía sau và các đoạn bên trong được vẽ nét đứt.

Đọc lý thuyết đầy đủ

Khi quay một nửa hình tròn quanh đường thẳng chứa đường kính cố định, ta được hình cầu. Biên của hình cầu gọi là mặt cầu. Có thể hình dung mặt cầu là lớp vỏ rất mỏng, còn hình cầu gồm cả lớp biên và phần bên trong.

Mặt cầu tâm $O$ , bán kính $R$ gồm các điểm cách $O$ một khoảng đúng bằng $R$ . Đường kính đi qua tâm và có độ dài $d = 2 R$ . Khi đề cho đường kính, cần tính $R = \frac{d}{2}$ trước khi thay vào công thức diện tích hoặc thể tích.

Một mặt phẳng cắt qua phần bên trong hình cầu tạo mặt cắt là một hình tròn; giao với mặt cầu là đường tròn biên của hình tròn ấy. Nếu mặt phẳng đi qua tâm, đường tròn mặt cắt có bán kính $R$ và được gọi là đường tròn lớn. Nếu không đi qua tâm, bán kính mặt cắt nhỏ hơn $R$ .

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S = 4 π R^{2}$ . Diện tích này gấp bốn lần diện tích hình tròn lớn. Công thức dùng để tính diện tích lớp phủ, lớp sơn hoặc vỏ bên ngoài khi mô hình hóa vật thể bằng hình cầu.

Thể tích hình cầu bán kính $R$ là $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ . Phân biệt đơn vị diện tích như cm² với đơn vị thể tích như cm³. Khi thay bán kính bằng $k R$ với $k > 0$ , diện tích được nhân với $k^{2}$ , còn thể tích được nhân với $k^{3}$ .

Khi đúc lại một khối cầu thành các khối khác mà không hao hụt, tổng thể tích được bảo toàn. Với một quả cầu nằm trong vật chứa, phần thể tích còn trống bằng thể tích vật chứa trừ thể tích quả cầu nếu quả cầu nằm trọn bên trong. Chỉ làm tròn ở bước cuối và theo yêu cầu của đề.

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Bấm vào từng ô, chọn một trong 2–3 phương án rồi kiểm tra.

Phần biên bên ngoài của hình cầu được gọi là .
Hình cầu có đường kính $16$ cm thì bán kính bằng .
Mặt phẳng đi qua tâm hình cầu bán kính $R$ tạo mặt cắt là hình tròn có bán kính .
Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là .
Thể tích hình cầu bán kính $R$ là .
Khi bán kính hình cầu tăng gấp đôi, thể tích tăng gấp lần.

Từ phương pháp đến cách trình bày

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Một quả bóng được coi là hình cầu đường kính

18

cm. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Bán kính quả bóng là $R = 18 : 2 = 9$ cm.
Diện tích mặt cầu: $S = 4 π R^{2} = 4 π \cdot 9^{2} = 324 π$ cm².
Thể tích hình cầu: $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 9^{3} = 972 π$ cm³.
Đề không yêu cầu làm tròn nên giữ kết quả chính xác theo $π$ .

Ví dụ 2

Một mặt phẳng cắt hình cầu tâm

O

, bán kính

13

cm, theo hình tròn tâm

H

. Biết

O H = 5

cm. Lấy

M

trên đường tròn mặt cắt; khi đó

O H ⊥ H M

. Tính bán kính và diện tích mặt cắt.

Hình phẳng thể hiện O, H, M. OM là bán kính hình cầu bằng 13 cm, OH bằng 5 cm và vuông góc HM. HM là bán kính đường tròn mặt cắt cần tìm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

$M$ thuộc mặt cầu nên $O M = 13$ cm. Bán kính mặt cắt là $H M$ , không phải $O M$ .
Tam giác $O H M$ vuông tại $H$ . Theo Pythagore, $H M^{2} = O M^{2} - O H^{2} = 13^{2} - 5^{2} = 144$ .
Vì $H M > 0$ , bán kính mặt cắt là $H M = 12$ cm, nhỏ hơn bán kính hình cầu $13$ cm.
Diện tích mặt cắt là $S = π \cdot 12^{2} = 144 π$ cm².

Cơ bản → thông hiểu → vận dụng

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu bán kính

4

cm.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Diện tích mặt cầu: $S = 4 π \cdot 4^{2} = 64 π$ cm².
Thể tích hình cầu: $V = \frac{4}{3} π \cdot 4^{3} = \frac{256 π}{3}$ cm³.

Bài 2Cơ bản

Một hình cầu có đường kính

14

dm. Tính chu vi đường tròn lớn và diện tích mặt cầu.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Bán kính hình cầu và bán kính đường tròn lớn đều bằng $14 : 2 = 7$ dm.
Chu vi đường tròn lớn là $C = 2 π \cdot 7 = 14 π$ dm.
Diện tích mặt cầu là $S = 4 π \cdot 7^{2} = 196 π$ dm².

Bài 3Thông hiểu

Một mặt cầu có diện tích

100 π

cm². Tính bán kính và thể tích hình cầu tương ứng.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Từ $4 π R^{2} = 100 π$ , chia hai vế cho $4 π > 0$ , ta được $R^{2} = 25$ .
Vì bán kính dương nên $R = 5$ cm.
Thể tích hình cầu: $V = \frac{4}{3} π \cdot 5^{3} = \frac{500 π}{3}$ cm³.

Bài 4Thông hiểu

Hai hình cầu có bán kính lần lượt

3

cm và

6

cm. Không cần tính riêng từng diện tích, thể tích, hãy tìm tỉ số diện tích mặt cầu lớn với mặt cầu nhỏ và tỉ số thể tích tương ứng.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Gọi $S_{1}$ , $V_{1}$ là diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu nhỏ; $S_{2}$ , $V_{2}$ ứng với hình cầu lớn. Tỉ số hai bán kính là $\frac{6}{3} = 2$ .
Từ $S = 4 π R^{2}$ , tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số bán kính: $\frac{S_{2}}{S_{1}} = 2^{2} = 4$ .
Từ $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ , tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số bán kính: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 2^{3} = 8$ .

Bài 5Vận dụng

Một khối kim loại hình cầu bán kính

9

cm được đúc lại thành

27

viên bi hình cầu bằng nhau, không hao hụt. Tính bán kính mỗi viên bi và tổng diện tích mặt cầu của

27

viên. So sánh tổng diện tích đó với diện tích mặt cầu ban đầu.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Thể tích khối kim loại ban đầu là $V = \frac{4}{3} π \cdot 9^{3} = 972 π$ cm³.
Thể tích mỗi viên bi bằng $972 π : 27 = 36 π$ cm³. Gọi bán kính mỗi viên là $r > 0$ , ta có $\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$ .
Suy ra $r^{3} = 27$ , nên $r = 3$ cm.
Tổng diện tích mặt cầu của các viên bi là $27 \cdot 4 π \cdot 3^{2} = 972 π$ cm².
Diện tích mặt cầu ban đầu là $4 π \cdot 9^{2} = 324 π$ cm². Tổng diện tích mới gấp $972 π : 324 π = 3$ lần diện tích ban đầu. Thể tích được bảo toàn nhưng diện tích không được bảo toàn.

Bài 6Vận dụng

Một quả cầu đặc bán kính

3

cm đặt vừa khít trong một bình hình trụ: quả cầu chạm thành bình, đáy dưới và mặt phẳng miệng bình. Bỏ qua độ dày bình. Tính thể tích phần bên trong bình không bị quả cầu chiếm chỗ.

Quả cầu bán kính 3 cm đặt vừa khít trong hình trụ có cùng bán kính đáy 3 cm và chiều cao 6 cm. Các đường khuất được vẽ nét đứt.

Ghi bài làm của em

Có thể gõ cách giải, kết quả hoặc điều cần hỏi giáo viên.

Tự lưu khi em nhập bài.

Xem lời giải từng bước

Vì quả cầu vừa khít nên bán kính đáy bình bằng $3$ cm và chiều cao bình bằng đường kính quả cầu, tức $6$ cm.
Thể tích hình trụ là $V_{1} = π \cdot 3^{2} \cdot 6 = 54 π$ cm³.
Thể tích quả cầu là $V_{2} = \frac{4}{3} π \cdot 3^{3} = 36 π$ cm³.
Quả cầu nằm trọn trong bình, nên phần thể tích còn trống là $V_{1} - V_{2} = 54 π - 36 π = 18 π$ cm³.

↑ Danh mục chương X

Toán 9 HKII theo mẫu VSTAR – Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

Chương X. Một số hình khối trong thực tiễn

Sơ đồ kiến thức của chương

Hình trụ và hình nón

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài

Hình cầu

Ôn lý thuyết: chọn và điền

Ví dụ hướng dẫn

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Luyện tập

Bài 1Cơ bản

Bài 2Cơ bản

Bài 3Thông hiểu

Bài 4Thông hiểu

Bài 5Vận dụng

Bài 6Vận dụng

Tự kiểm tra cuối bài