Bài 12: Áp suất và động năng phân tử khí
Từ các va chạm vi mô, suy ra áp suất và mối liên hệ năng lượng với nhiệt độ.
Lý thuyết · Ví dụ · Sơ đồ tư duy
Học xong bài này, em sẽ
- Giải thích bản chất vi mô của áp suất
- Đọc các đại lượng trong công thức động học
- Tính động năng tịnh tiến trung bình khi biết T
Kiến thức và cách hiểu
Công thức trọng tâm và điều kiện áp dụng
Động năng tịnh tiến trung bình
Mỗi phân tử khí lí tưởng có ba bậc tự do tịnh tiến.
Áp suất từ mô hình động học
Khí lí tưởng có chuyển động hỗn loạn, phân bố đẳng hướng.
Mô hình vi mô của áp suất
Trong mô hình khí lí tưởng, các hạt va chạm đàn hồi lên thành bình. Áp suất phụ thuộc mật độ hạt và độ lớn của tốc độ bình phương trung bình. Với ρ là khối lượng riêng khí, biểu thức động học p = (1/3)ρ⟨v²⟩.
Tốc độ căn quân phương
Căn của trung bình bình phương tốc độ v_rms = √⟨v²⟩ khác với trung bình cộng tốc độ. Việc dùng v_rms cho phép biểu diễn công thức gọn p = ρv_rms²/3. Tốc độ không có hướng cố định vì chuyển động hỗn loạn.
Động năng và Kelvin
Động năng tịnh tiến trung bình của mỗi phân tử trong khí lí tưởng bằng 3kBT/2 với kB ≈ 1,381×10⁻²³ J/K. Do đó tỉ số động năng của hai mẫu khí lí tưởng có nhiệt độ T₂/T₁, không phụ thuộc phân tử nặng nhẹ khi so ở cùng nhiệt độ.
Nội năng của khí đơn nguyên tử
Với khí lí tưởng đơn nguyên tử và bỏ qua các mức năng lượng khác, U = 3nRT/2. Công thức này không dùng nguyên dạng cho khí lưỡng nguyên tử hoặc khi có các bậc tự do quay, dao động đáng kể.
Ví dụ có lời giải
Một phân tử khí lí tưởng ở 300 K có động năng tịnh tiến trung bình E = 1,5 × 1,381×10⁻²³ ×300 ≈ 6,21×10⁻²¹ J. Khi T tăng gấp đôi, động năng tịnh tiến trung bình cũng tăng gấp đôi.
Bài 12: Kiến thức nâng cao và hướng dẫn giải
Nội dung được viết lại theo tiến trình: khái niệm → điều kiện áp dụng → lập hệ thức → kiểm tra kết quả. Những mục sau mở rộng phần tổng kết hiện có, giúp em ôn đủ dạng trong Chương 2.
Nắm vững lý thuyết và điều kiện áp dụng
Từ xung lượng vi mô đến áp suất
Trong mô hình khí lí tưởng, phân tử va chạm đàn hồi với thành bình, mỗi va chạm truyền xung lượng. Với chuyển động hỗn loạn đẳng hướng, kết quả thống kê cho p=(1/3)n0m₀⟨v²⟩=(1/3)ρvrms². Ở đây n0=N/V là mật độ phân tử, m₀ là khối lượng một phân tử, ρ=n₀m₀ là khối lượng riêng của khí.
Hệ số 1/3 xuất hiện do trung bình ba thành phần vận tốc vuông góc nhau; không phải một phần ba phân tử chuyển động theo mỗi trục theo nghĩa cố định.
Động năng trung bình và nhiệt độ
Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử khí lí tưởng là ⟨Eₖ⟩=(3/2)kBT, với kB≈1,380649×10−23 J/K. Nhiệt độ tăng gấp đôi tính theo kelvin làm động năng tịnh tiến trung bình tăng gấp đôi. Tuy nhiên tốc độ căn quân phương chỉ tăng √2 lần.
Động năng trung bình không phụ thuộc trực tiếp loại phân tử khi T bằng nhau; phân tử nặng hơn có tốc độ điển hình thấp hơn vì (1/2)m₀⟨v²⟩=(3/2)kT.
Tốc độ căn quân phương
Từ quan hệ trên suy ra vrms=√(3kT/m₀)=√(3RT/M), trong đó M là khối lượng mol tính bằng kg/mol. Với cùng khí và T₂/T₁=4, tốc độ căn quân phương tăng gấp đôi. Với hai khí ở cùng T, tỉ số tốc độ căn quân phương tỉ lệ nghịch căn bậc hai khối lượng mol.
Phân biệt vrms với tốc độ trung bình và tốc độ có xác suất lớn nhất. Các giá trị có công thức khác nhau, vì vậy không tráo đổi khi bài hỏi chính xác định nghĩa.
Nội năng khí lí tưởng
Ở khí lí tưởng đơn nguyên tử, bỏ qua mức kích thích điện tử, nội năng U=(3/2)nRT. Với khí lưỡng nguyên tử ở điều kiện thông thường, bậc tự do quay có thể đóng góp làm U gần (5/2)nRT; đây là gần đúng phụ thuộc miền nhiệt độ. Không áp công thức khí đơn nguyên tử cho mọi khí.
Đối với lượng khí lí tưởng không đổi, nội năng phụ thuộc T; ở đẳng nhiệt ΔU=0. Nếu bài tính nhiệt và công, cần dùng nhất quán quy ước dấu của định luật I.
Đọc và kiểm tra dữ kiện
Khi cho p,ρ và cần tốc độ vrms, giải vrms=√(3p/ρ). Nếu p đo kPa phải đổi sang Pa. Với kT, nhiệt độ phải là kelvin tuyệt đối; chia 0 °C trực tiếp làm công thức mất ý nghĩa.
Nếu dùng khối lượng nguyên tử theo u thì đổi 1 u≈1,66054×10−27 kg; với M theo g/mol hãy chia 1.000 để về kg/mol trước khi thế số.
Tám dạng bài tính có lời giải từng bước
Em nên tự xác định công thức và làm trên giấy trước khi bấm mở lời giải.
⟨E⟩=3kT/2
Khí có nhiệt độ T=400 K. Năng lượng tịnh tiến trung bình của 1 phân tử tính theo ×10⁻²¹ J là bao nhiêu? k=1,38×10⁻²³.
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị ×10⁻²¹ J, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: ⟨E⟩=3kT/2.
- Dữ kiện để thế số: t = 400.
- Kết luận: 8.28 ×10⁻²¹ J. Soát lại đơn vị.
p=(1/3)ρv_rms², chia 1000 ra kPa
Khí có ρ=1.5 kg/m³ và v_rms=500 m/s. Áp suất khí theo mô hình là bao nhiêu kPa?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị kPa, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: p=(1/3)ρv_rms², chia 1000 ra kPa.
- Dữ kiện để thế số: rho = 1.5; v = 500.
- Kết luận: 125 kPa. Soát lại đơn vị.
v_rms=√(3p/ρ) với p đổi sang Pa
Khí có p=120 kPa và ρ=1.2 kg/m³. Tốc độ căn quân phương v_rms là bao nhiêu m/s?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị m/s, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: v_rms=√(3p/ρ) với p đổi sang Pa.
- Dữ kiện để thế số: p = 120; rho = 1.2.
- Kết luận: 547.72 m/s. Soát lại đơn vị.
U=(3/2)nRT
Khí đơn nguyên tử lí tưởng có n=2.5 mol ở T=450 K; R=8,31. Nội năng U là bao nhiêu kJ?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị kJ, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: U=(3/2)nRT.
- Dữ kiện để thế số: n = 2.5; t = 450.
- Kết luận: 14.023 kJ. Soát lại đơn vị.
v_rms∝√T khi khí không đổi
Cùng một khí có v_rms ban đầu 400 m/s, nhiệt độ tuyệt đối tăng lên 9 lần. v_rms cuối xấp xỉ bao nhiêu?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị m/s, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: v_rms∝√T khi khí không đổi.
- Dữ kiện để thế số: v = 400; k = 9.
- Kết luận: 1200 m/s. Soát lại đơn vị.
v_rms∝1/√M
Hai khí cùng T: khí A có M_A=36 g/mol và khí B có M_B=144 g/mol. Tỉ số v_rms(A)/v_rms(B) bằng bao nhiêu?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị lần, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: v_rms∝1/√M.
- Dữ kiện để thế số: a = 36; b = 144.
- Kết luận: 2 lần. Soát lại đơn vị.
v_rms=√(3RT/M), M kg/mol
Khí có T=400 K, M=32 g/mol; R=8,31. v_rms bằng bao nhiêu m/s?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị m/s, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: v_rms=√(3RT/M), M kg/mol.
- Dữ kiện để thế số: t = 400; m = 32.
- Kết luận: 558.23 m/s. Soát lại đơn vị.
ΔU=(3/2)nRΔT
Khí đơn nguyên tử có n=2.5 mol tăng nhiệt độ 50 K, R=8,31. Độ tăng nội năng bằng bao nhiêu J?
Xem phương pháp và đáp án
- Đọc yêu cầu: tìm đại lượng theo đơn vị J, kiểm tra điều kiện bài.
- Áp dụng: ΔU=(3/2)nRΔT.
- Dữ kiện để thế số: n = 2.5; dt = 50.
- Kết luận: 1558.12 J. Soát lại đơn vị.
Cách xử lí hiện tượng và lỗi sai thường gặp
Khí nhẹ khuếch tán nhanh
Ở cùng T, khí H₂ có tốc độ căn quân phương cao hơn N₂ vì M nhỏ hơn, nhưng tốc độ khuếch tán qua môi trường còn chịu tác động tương tác và hình học.
Nhiệt động học động cơ
Mô hình vi mô giải thích khi khí nhận nhiệt độ tăng thì áp suất và nội năng có thể thay đổi tùy điều kiện cơ học.
Ba câu hỏi tự soát trước khi nộp
- Em có mắc lỗi: Quên hệ số 1/3 trong công thức áp suất.? Nếu có, xem lại định nghĩa và điều kiện vừa học.
- Em có mắc lỗi: Đổi T gấp hai thì cho rằng v_rms cũng gấp hai.? Nếu có, xem lại định nghĩa và điều kiện vừa học.
- Em có mắc lỗi: Áp U=(3/2)nRT cho mọi khí mà không xét bậc tự do.? Nếu có, xem lại định nghĩa và điều kiện vừa học.
Tám câu mẫu tự kiểm trước khi vào Học & Thi
Các câu dưới đây chỉ để kiểm tra nhanh sau khi đọc; bộ Học & Thi đầy đủ có thêm các câu vận dụng và tự luận.
Trong mô hình động học khí, áp suất có hệ thức nào?
Đáp án và lời giải
B. p=1/3ρ⟨v²⟩.
v_rms là gì?
Đáp án và lời giải
D. v_rms=√⟨v²⟩.
Trung bình động năng tịnh tiến một phân tử khí lí tưởng có biểu thức gì?
Đáp án và lời giải
C. Hệ thức động năng theo nhiệt độ tuyệt đối.
Khí đơn nguyên tử có n=1 mol tăng nhiệt độ 20 K, R=8,31. Độ tăng nội năng bằng bao nhiêu J? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân nếu cần.)
Đáp án và lời giải
A. Bước 1 – Xác định điều kiện và công thức: ΔU=(3/2)nRΔT. Bước 2 – Đổi đơn vị theo yêu cầu, dữ kiện: n = 1; dt = 20. Bước 3 – Thế số: (((1.5 × 1) × 8.31) × 20) = 249.3 J. Bước 4 – Đối chiếu xu hướng của đại lượng, thứ nguyên và phạm vi áp dụng trước khi kết luận.
Xét nhóm nhận định 5 về Áp suất và động năng phân tử khí, chú ý điều kiện mô hình và đơn vị. Chọn Đúng/Sai cho từng ý.
Đáp án và lời giải
a: Sai; b: Đúng; c: Sai; d: Đúng. a) Sai — Phát biểu không đúng. Kiến thức cần thay vào là: Động năng tịnh tiến trung bình một phân tử khí lí tưởng bằng 3kT/2.
b) Đúng — Động năng tịnh tiến trung bình một phân tử khí lí tưởng bằng 3kT/2. Đây là quy tắc phù hợp với các điều kiện trong bài.
c) Sai — Phát biểu không đúng. Kiến thức cần thay vào là: Khối lượng mol trong v_rms=√(3RT/M) phải dùng kg/mol.
d) Đúng — Khối lượng mol trong v_rms=√(3RT/M) phải dùng kg/mol. Đây là quy tắc phù hợp với các điều kiện trong bài.
Khí có T=350 K, M=28 g/mol; R=8,31. v_rms bằng bao nhiêu m/s? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân nếu cần.) Chỉ nhập số, không nhập đơn vị.
Đáp án và lời giải
558.23. Bước 1 – Xác định điều kiện và công thức: v_rms=√(3RT/M), M kg/mol. Bước 2 – Đổi đơn vị theo yêu cầu, dữ kiện: t = 350; m = 28. Bước 3 – Thế số: √((((3 × 8.31) × 350) ÷ (28 ÷ 1000))) = 558.23 m/s. Bước 4 – Đối chiếu xu hướng của đại lượng, thứ nguyên và phạm vi áp dụng trước khi kết luận.
Khí đơn nguyên tử có n=1.5 mol tăng nhiệt độ 30 K, R=8,31. Độ tăng nội năng bằng bao nhiêu J? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân nếu cần.) Chỉ nhập số, không nhập đơn vị.
Đáp án và lời giải
560.93. Bước 1 – Xác định điều kiện và công thức: ΔU=(3/2)nRΔT. Bước 2 – Đổi đơn vị theo yêu cầu, dữ kiện: n = 1.5; dt = 30. Bước 3 – Thế số: (((1.5 × 1.5) × 8.31) × 30) = 560.93 J. Bước 4 – Đối chiếu xu hướng của đại lượng, thứ nguyên và phạm vi áp dụng trước khi kết luận.
Cùng một khí có v_rms ban đầu 400 m/s, nhiệt độ tuyệt đối tăng lên 9 lần. v_rms cuối xấp xỉ bao nhiêu? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân nếu cần.) Trình bày rõ các bước, công thức, đổi đơn vị và kết luận.
Đáp án và lời giải
Tự luận – chấm theo các bước trình bày. Bước 1 – Xác định điều kiện và công thức: v_rms∝√T khi khí không đổi. Bước 2 – Đổi đơn vị theo yêu cầu, dữ kiện: v = 400; k = 9. Bước 3 – Thế số: (400 × √(9)) = 1200 m/s. Bước 4 – Đối chiếu xu hướng của đại lượng, thứ nguyên và phạm vi áp dụng trước khi kết luận.
Sơ đồ tư duy đầy đủ 6 nhánh
Sơ đồ SVG được biên soạn theo các ý trọng tâm của bài, phóng to vẫn sắc nét, có thể mở xem riêng.
Điểm dễ nhầm và cách tránh
- Nhầm v_rms với trung bình tốc độ
- Dùng °C trong Eₖ = 3kBT/2
- Suy công thức khí đơn nguyên tử cho mọi chất khí
Đọc thêm phần lý thuyết và ví dụ đã có
Nhiệt độ tuyệt đối liên hệ với động năng tịnh tiến trung bình của phân tử. Kí hiệu trung bình là quan trọng: các phân tử có tốc độ khác nhau, và căn của trung bình bình phương tốc độ không phải trung bình số học của tốc độ.
Các hệ thức vi mô
p=(1/3)(N/V)m₀⟨v²⟩=(1/3)ρ⟨v²⟩. Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử khí lí tưởng ε=(1/2)m₀⟨v²⟩=(3/2)kBT; vì vậy p=(2/3)(N/V)ε. Tốc độ hiệu dụng vrms=√⟨v²⟩=√(3RT/M), M tính kg/mol. Không thay vrms bằng tốc độ trung bình số học nếu không có căn cứ.
So sánh và nội năng
Các khí cùng T có cùng động năng tịnh tiến trung bình một phân tử nhưng khí có M nhỏ hơn có vrms lớn hơn. Tăng T theo hệ số a>0 thì vrms tăng √a. Với khí lí tưởng đơn nguyên tử, U=(3/2)nRT nếu bỏ các dạng năng lượng khác; không áp hệ số 3/2 cho mọi khí có chuyển động quay, dao động đáng kể.
Lỗi thường gặp và ghi nhớ
Không dùng tổng khối lượng khí thay khối lượng một phân tử trong ε; không dùng g/mol với R theo SI. Nhiệt độ liên hệ với động năng trung bình, không khẳng định mỗi phân tử có cùng năng lượng. Ôn chương theo chuỗi mô hình → đại lượng → định luật → điều kiện → đồ thị → đơn vị.
Đọc đúng kí hiệu trung bình
⟨v²⟩ là trung bình của bình phương tốc độ; vrms = √⟨v²⟩. Không thay ⟨v²⟩ bằng ⟨v⟩². Áp suất tăng khi mật độ hạt tăng hoặc khi chuyển động nhiệt mạnh hơn, theo p = (1/3)(N/V)m₀⟨v²⟩.
Từ một phân tử đến cả khối khí
εtịnh tiến = 32kBT; Etịnh tiến = Nεtịnh tiến = 32nRT.
Hệ số 3/2 của động năng tịnh tiến đúng trong mô hình cổ điển này cho một phân tử khí lí tưởng. Muốn gọi đó là toàn bộ nội năng phải xét loại khí và các bậc tự do được kích hoạt.
Mở rộng: bậc tự do và nội năng
Nếu i bậc tự do có thể áp dụng phân bố đều năng lượng và không đổi trong khoảng nhiệt độ xét, U = (i/2)nRT. Khí đơn nguyên tử có i = 3; phân tử hai nguyên tử ở nhiệt độ thường thường dùng i ≈ 5 khi bỏ qua dao động. Không gán một giá trị i cho mọi phân tử và mọi nhiệt độ.
Bảng kiến thức cần nhớ
| Nội dung | Ghi nhớ | Điều kiện |
|---|---|---|
| Áp suất | p = 13ρ⟨v²⟩ | ρ: khối lượng riêng |
| Động năng tịnh tiến | ε = 32kBT | Trung bình một phân tử |
| Tốc độ hiệu dụng | vrms = √(3RT/M) | M: kg/mol; T: K |
Phóng to hình ↗
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1. Động năng phân tử ở 300 K
Dùng kB = 1,381 × 10⁻²³ J/K: ε = 1,5 × 1,381 × 10⁻²³ × 300 ≈ 6,21 × 10⁻²¹ J. Đây là động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử, không phải của cả mẫu.
Ví dụ 2. So sánh H₂ và O₂
Hai khí cùng nhiệt độ, M của H₂ là 2 g/mol và của O₂ là 32 g/mol. Tỉ số tốc độ hiệu dụng v(H₂)/v(O₂) = √(32/2) = 4. Động năng tịnh tiến trung bình của một phân tử ở hai khí vẫn bằng nhau.
Luyện tập và đề ôn liên quan
Tự kiểm tra
Cùng loại khí, tăng T từ 300 lên 1200 K thì v rms tăng mấy lần?
Xem đáp án và cách kiểm
Tỉ số bằng √(1200/300) = 2.
Sơ đồ tư duy cuối bài
Phóng to hình ↗
Đọc sơ đồ bằng chữ
- Vi mô: Dùng khối lượng một phân tử; Không thay bằng khối lượng mẫu.
- Nhiệt độ: ε = 3k_BT/2; Cùng T: cùng ε tịnh tiến.
- Tốc độ: v rms tỉ lệ √(T/M); Khí nhẹ chuyển động nhanh hơn.
- Nội năng: U = 3nRT/2 cho đơn nguyên tử; Không áp hệ số cho mọi khí.
Sơ đồ tư duy Bài 12
Nhìn từ trung tâm ra bốn nhánh, phân biệt định nghĩa – công thức – điều kiện – ứng dụng. Sơ đồ vector sắc nét trên PC và điện thoại.
Ôn tập sau khi học
Ghi nhớ công thức trong điều kiện áp dụng, thử tự giải ví dụ và kiểm tra câu chưa chắc trước khi mở lời giải.